Границы области устойчивости

Конечное состояние показанной на рис. 5 системы должно, следовательно, зависеть от того, зафиксировано положение поршня или нет, т. е. являются параметрами Т, V или Р, V. Надо, конечно, иметь в виду, что этот вывод получен для приближенной модели. В реальной системе, строго говоря, нельзя поддерживать постоянными термодинамические параметры. При испарении или конденсации вещества, например, чтобы обе фазы в соответствии с принятой моделью оставались однородными, требуется бесконечно большая скорость диффузии вещества, иначе поведение системы зависит от локальной плотности пара над поверхностью жидкости. Даже в термодинамически однородной системе имеют место флюктуации параметров. Подобные трудно учитываемые детали внутреннего строения системы могут влиять на ее состояние, в особенности если это состояние находится вблизи границы области устойчивого равновесия. На последнем замечании следует остановиться особо. [c.119]

На рис. 16.11 показано влияние эксцентриситета е на предел устойчивости пластин с гибкостями г=171>1 т и 1 = 60<1 т. Как видно, докритическое выпучивание пластин принципиально отличается друг от друга. На рис. 16.12 построены кривые чувствительности пределов устойчивости по отношению к начальному несовершенству (эксцентриситету). Эти кривые отвечают границам области устойчивости пластин. [c.360]

При определении границ областей устойчивости принимались следующие размерные значения параметров системы / = 400 см (3ш=0 12)ор = 600 см/с Лзз = 2-10 кг/см 11=50-10 кг-с -см- 12=75-10 [c.274]

Для выделения границ областей устойчивости в плоскости координат и 2 участки вблизи соответствующих линий штрихуются с соблюдением следующего правила. Перемещаясь вдоль линии в сторону увеличения со штриховку наносят с левой стороны, если Д > 0, и справа, если А < 0 при этом штриховка будет направлена внутрь области устойчивости (рис. [c.289]

Определения. Пространство ростков вещественных векторных полей в особой точке разделяется на три части область устойчивости, область неустойчивости и граница области устойчивости. Эта граница состоит из таких ростков, оператор линеаризации которых не имеет собственных значений строго в правой полуплоскости, о имеет хотя бы одно собственное значение на ее границе. [c.39]

Определение 1. Росток v векторного поля в особой точке О, принадлежащий границе области устойчивости, мягко теряет устойчивость при деформации 1/= Z)e О В, [c.39]

Теорема. В типичных трехпараметрических семействах встречаются только такие ростки векторных полей в особой точке, лежащие на границе области устойчивости, которые принадлежат одному из классов, перечисленных в таблице 3 Если росток устойчив, он мягко теряет устойчивость, если не- [c.40]

Опасные и безопасные зоны границы области устойчивости (при переходе через которые происходит соответственно жесткая. и мягкая потеря устойчивости) впервые исследованы [c.42]

Значение t = Тр, при котором станет К (t) = , будет являться ресурсом изделия по данному параметру или по их совокупности. При оценке границы области устойчивости могут быть два подхода — вероятностный, когда она ограничивается наибольшим значением параметра, соответствующего заданной вероятности его появления (область 0 ), и физический (область G ), когда оценивается наибольшее значение параметра при экстремальных условиях эксплуатации. Если изделие находится в области устойчивости, то гарантируется его безотказная работа Однако такое состояние достигается, как правило, за счет большого запаса надежности элементов изделия и за счет большой избыточности элементов, что связано со значительными материальными затратами при его производстве. [c.49]

Границы областей динамической неустойчивости. Границам областей устойчивости и неустойчивости соответствуют кратные корни Х1 = Ха = 1 или Х = Хг = — 1. В обоих случаях этим корням отвечают периодические решения соответственно с периодами Т и 2Т. Два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, а два решения разного периода — область устойчивости. [c.462]

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допуш.ения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций. [c.7]

Из условия существования отличных от нуля решений этого однородного уравнения находим границу области устойчивости [c.31]

Действительно, повторив рассуждения, приведенные в 2, и проделав несложные выкладки, нетрудно установить, вдо при + 2 2 исходное вертикальное положение стержня устойчиво, а при PJ + 2 2 > k это положение неустойчиво. В координатах Pi, Р граница области устойчивости (рис. 1,19, б) является прямой линией, пересекающей оси Р и Р в точках, соответствующих критическим значениям (Pi)kp и (Ра)кр- Заметим, что в данном случае уравнение границы области устойчивости можно записать в виде [c.31]

Если на систему с одной степенью свободы одновременно действуют N сил Pi, то граница области устойчивости, очевидно, описывается уравнением [c.31]

На рис. 1.20, б в координатах f i, изображена гипербола, описываемая уравнением (1.35). Ближайшая к началу координат ветвь гиперболы, показанная сплошной линией, является границей области устойчивости в данной задаче. Следуя намеченному в предыдущем параграфе пути, можно доказать, что все точки плоскости, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению стержневой системы, а точки, лежащие справа, — неустойчивому вертикальному положению. В данной задаче (как и в предыдущей) граница принадлежит области устойчивости. [c.32]

При нагружении силы и могут возрастать пропорционально одному параметру. В координатах Р- Р такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат. Так, например, на рис. 1.20, б изображен луч, соответствующий Pi = Ра- Точка пересечения луча с границей области устойчивости А соответствует критической точке бифуркации исходного положения равновесия. [c.32]

В рассмотренных выше примерах граница области устойчивости незамкнутая кривая и поэтому часть лучей, исходящих [c.32]

Приравняв нулю определитель полученной системы уравнений, найдем уравнение границы области устойчивости в координатах Pj, Р . [c.33]

На рис. 1.22, б в координатах РР изображена граница области устойчивости. В данном случае область устойчивости ограничена замкнутой кривой (для дискретной модели стержня это эллипс). Вернувшись к исходной задаче устойчивости упругого стержня (см. рис. 1.21, а), нетрудно установить физический смысл замкнутости найденной границы области устойчивости потерю устойчивости могут вызывать внешние силы Pi и Pj. действующие как вправо, так и влево. [c.34]

Этот подход к определению границ областей устойчивости применим для более сложных упругих систем, в том числе для систем с распределенными параметрами. В общем случае граница области устойчивости может состоять из набора прямо-и криволинейных участков, часть из которых принадлежит области устойчивости, а часть — области неустойчивости. [c.34]

Общие свойства границ областей устойчивости детально исследованы П. Ф. Папковичем [311. В частности, им доказана важная теорема о выпуклости границы области устойчивости. Согласно этой теореме граница области устойчивости не может быть обращена выпуклостью к области устойчивости. Так, для случая действия на систему двух независимых нагрузок граница области устойчивости может состоять из криволинейных участков, обращенных выпуклостью к области неустойчивости, и отрезков прямых. [c.34]

Теоремой о выпуклости области устойчивости часто пользуются для приближенного построения границы области устойчивости. Если известны только отдельные точки этой границы, то соединяя их отрезками прямых, можно получить надежную аппроксимацию истинной границы. (Когда на упругую систему одновременно действуют более двух независимых нагрузок, то аналогичные построения проводят в соответствующем многомерном пространстве). [c.34]

Но необходимо подчеркнуть, что теорема о выпуклости области устойчивости (как и остальные теоремы П. Ф. Папковича о границах областей устойчивости) доказывается только для линейной задачи устойчивости. Эта теорема верна, если докритическое напряженно-деформированное состояние упругой системы определено по линейной теории и при расчете на устойчивость докритические перемещения системы не учитываются. В противном случае граница области устойчивости может иметь участки, обращенные выпуклостью в сторону области устойчивости [23]. Более того, в общем случае, когда для описания докритического состояния упругой системы необходимо использовать нелинейную теорию, области устойчивости могут иметь самые причудливые очертания. [c.34]

Границы областей устойчивости для всех рассматриваемых типов опор определим, пользуясь критерием Гурвица, который при положительных коэффициентах (13) дает следующее необходимое и достаточное условие устойчивости [c.118]

При решении системы уравнений (6.88), (6.89), определяющих границы динамической устойчивости с учетом конкретных данных, нередко возможны существенные упрощения. Так, в частности, при Qo О в уравнении (6.89) обычно последние два слагаемых, заключенные в квадратные скобки, по сравнению с нелинейной функцией Л(, оказываются малыми, а при / = /а. — строго равны нулю. При этом, как правило, удается непосредственно выразить Л о через Су, после чего из уравнения (6.88) может быть определено одно неизвестное j. При Qo = О уравнение (6.88) принимает вид = 0. Расчетная практика свидетельствует о том, что в этом случае при определении границ области устойчивости в качестве первого приближения можно пользоваться результатами, полученными при Ло = О (см. режимы j = Vgi /г. ) Разумеется, на современном уровне развития вычислительной техники отмеченные упрощения не являются столь необходимыми, однако даже при машинном счете они существенно облегчают оценку и контроль результатов, получаемых с помощью ЭВМ (порядок величин, контрольные точки, характер изменения функций и т. п.). [c.285]

При i2 О нетрудно найти границу области устойчивости. С этой целью необходимо [24], положив X = ip в (П.41), приравнять нулю по отдельности вещественную и мнимую части уравнения. Область устойчивости расположена слева от точки на оси (О, соответствующей значению [c.60]

При отсутствии осевой симметрии подшипника условия (V.18) не выполнены однако можно показать, что и в этом случае граница области устойчивости находится вблизи со == 2со, р. [c.61]

Границы области устойчивости на плоскости параметров Ь, , соответствующие этому уравнению, будут такие (см. рис. IV.8) [c.63]

Анализ этой системы в общем виде весьма сложен [102] нетрудно лишь показать, что к числу границ области устойчивости принадлежат такие два значения угловой скорости (о со = соц где oj—положительный корень уравнения [c.64]

Обычный метод разыскания возможных границ области устойчивости установившегося движения некоей механической системы (произвольное движение которой, мало отклоняющееся от исследуемого, описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) заключается в построении так называемого D-разбиения в пространстве параметров [24]. [c.104]

H i случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические peujeHHH периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла. [c.242]

Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме [c.242]

Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, но имею1цем большое значение случае, когда разложение (7.74) функции p(t) в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т. е. [c.245]

Область 3 характеризуется прямолинейным движением сплющенных в виде эллипсоида вращения пузырей. Наблюдения за воздушными пузырьками в воде показывают, что эта область охватывает значения Re от 300—400 до приблизительно 500 (R 0,6—0,8 мм). По данным Харпера [59], верхняя граница рассматриваемой области для маловязких жидкостей соответствует We = 3,2—3,7. При больших значениях We движение пузырей становится неустойчивым. В работе Хабермана и Мортона нет прямого указания о верхней границе области устойчивого прямолинейного всплывания эллипсоидальных пузырей в вязких жидкостях. На рис. 5.6 эта граница обозначена, исходя из условия We = 3,5. [c.207]

Определение 2. Росток v векторного поля в особой точке О, принадлежащей границе области, устойчивости, жест,ко теряет устойчивость при деформации V= v e fi R, 0С5, Vq— = t> , если существуют такая окрестность U особой точки О и определенное для всех достаточно малых ефО семейство начальных условий Хе, л е ->0 при е->0, такое что положительная полутраектория поля Ve с начальным условием Хе покидает окрестность U. [c.39]

Методы контроля склонности материалов в МКК. Определение склонности коррозионно-стойких сталей к МКК производится по ГОСТ 6032 -75. Испытания, проводимые в соответствии с этим ГОСТом, дают удовлетворительные результаты. Однако в ряде случаев отмечается, что материалы, не показавшие склонность к МКК при стандартных испытаниях, в производственных условиях подвергаются уЧКК- Это может происходить по различным причина.м. В одних случаях в связи с тем, что в металле произошло незначительное обеднение хромом границ зерен. При этом они могут и не утратить способности к пассивированию в контрольной среде, но плотность тока в пассивном состоянии, пололшние и границы области устойчивого пассивного состояния все же изменяются. В этом случае обедненные зоны хоть и будут разрушаться быстрее, чем основной металл, но МКК пойдет медленнее и при испытаниях не проявится, так как для этого могут потребоваться не десятки, а сотни часов. Поэтому, учитывая несовершенство методов оценки результатов испытаний (загиб, изменение звука и др.), часто приходится в сомнительных случаях повторять испытания. Кроме того, получаемый результат может быть неодинаков для разных образцов одного материала, даже в пределах одного образца часто отмечается различие в устойчивости границ зерен. [c.62]

Таким образом, для нахождения границ области устойчивости необходимо, положив все столбцы внешних сил = О (/fe = 1, 2, п), решать методом матричной прогонки полученную систему однородных уравнений и приравнять нулю определитель последней прогоночной матрицы, аналогичной матрице b n + i в (II.93), который зависит от Я, со и других параметров системы и является некоторой комплексной функцией этих параметров [c.105]

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части этого уравнения, п-олучим параметрические уравнения возможных границ области устойчивости фактическое построение этих границ выполняется путем численных расчетов при задаваемых %, оз и других параметрах. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...