Область параметрического резонанса

Найденные неравенства приближенно определяют первую область параметрического резонанса. Это все, что можно получить из уравнений первого приближения. [c.320]

Рассматривая соотношения (р), вновь заключаем, что амплитуда колебаний математического маятника в области параметрического резонанса возрастает по экспоненциальному закону. [c.320]

Нахождение областей параметрического резонанса. Пусть величины О), в функции Гамильтона (29) зависят от некоторого иа- [c.400]

Приравняв определитель системы (7.256) нулю, получаем уравнение, из которого определяем границы главной области параметрического резонанса [c.231]

К сосредоточенной массе (рис. 7.40) приложена периодическая сила, направленная под углом а к оси Х2. Требуется определить (приближенно) уравнения границ главной области параметрического резонанса. При решении уравнения колебаний стержня воспользоваться принципом возможных перемещений, ограничившись одночленным приближением. [c.233]

Последнее выражение в точности соответствует условию существования отличной от нуля стационарной амплитуды А . Для области расстроек , удовлетворяющих неравенству — 4в для которых существует стационарная отличная от нуля амплитуда /4, состояние покоя системы неустойчиво. Следовательно, оно неустойчиво внутри области параметрического резонанса (от до Состояние покоя устойчиво вне области параметрического резонанса, когда Re>.<0 и для соотношения параметров системы получается неравенство вида > т /4 — Аналогичным образом анализируется устойчивость состояния с отличной от нуля стационарной амплитудой (А фО). После довольно громоздких вычислений находим, что эта амплитуда устойчива (КеЯ<0) во всей области расстроек, 1де она [c.167]

Нахождение областей параметрического резонанса. Пусть величины в функции Гамильтона (29) зависят от некоторого параметра а. И пусть при а = выполняется хотя бы одно из соотношений [c.553]

Ясно, что в первом приближении по е и а — ао задача об устойчивости по отношению к переменным yj j = 1, 2, 3, 4) в исходной системе с функцией Гамильтона (29) эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменным R2 в системе (51). Покажем, что в первом приближении по е область параметрического резонанса (область неустойчивости) задается неравенствами [c.558]

Используя общие формулы для областей параметрического резонанса, полученные в предыдущем пункте, найдем в первом приближении по е области неустойчивости, отвечающие резонансу [c.559]

Значительно сложнее случай параметрического возбуждения. При этом (1) является системой линейных ди(])ференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Достаточно подробная теория существует в настоящее время лишь для случая, когда коэффициенты изменяются гармонически. Даже в этом случае решения таких уравнений как правило являются непериодическими. Влияние параметрического возбуждения на спектр вибраций описать теоретически пока невозможно. Скорее всего, следует ожидать появления в спектре дополнительных гармоник, лежащих в областях параметрического резонанса колебательной системы [9]. [c.48]

Для определения областей параметрического резонанса нужно представить это выражение в стандартном виде (У.5), полагая [c.284]

Поскольку г зависит от соотношения ц и области неограниченного нарастания амплитуды поперечных колебаний стержня (т. е. области параметрического резонанса) определяются параметрами ц и [c.7]

Рис. 2. Области параметрических резонансов

Распределение областей параметрических резонансов на плоскости параметров ( л, а>/2р) представлено на рис, 2. [c.8]

Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [22] в 1935 г. рассмотрели ту же задачу в более общем виде при различных закреплениях концов стержня, находящегося под действием произвольной полигармонической силы Р (t), пользуясь вариационным методом Б. Г. Галеркина. Разлагая функцию Р (t) в ряд Фурье и применяя метод усреднений, авторы получили уравнения границ областей параметрического резонанса. [c.8]

Было также показано, что для реальных исследуемых конструкций сила трения достаточно велика, и поэтому все области параметрического резонанса, кроме основной, сокращаются настолько, что практически являются неопасными. [c.8]

Однако именно определение областей параметрического резонанса является одной из основных задач для надлежащего выбора параметров проектируемой зубчатой передачи. [c.116]

Интересно отметить, что решения (6), (7) и критерии устойчивости (8) распространяются также на случай параметрической системы с линейной упругой силой (у = 0). Как известно, решение задачи о параметрических колебаниях в линейной системе без учета свойств источника энергии позволяет установить лишь условия возникновения колебаний и определить границы области параметрического резонанса. Амплитуда колебаний остается неопределенной, обычно указывается, что она может неограниченно возрастать. [c.91]

Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распределенной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полученных для отдельных [c.254]

Рис. 6.10.4. Области параметрического резонанса

Вне областей параметрического резонанса поведение решения уравнения (3.6) исследовалось в работах [91, 93, 109, 171, 423, 671] и др. Из теории уравнения Матье известно (см. также [91, 93, 171]), что при достаточно больших значениях частоты и амплитуды колебаний оси подвеса (уо > I, q> q ) верхнее положение равновесия маятника становится устойчивым (при этом нижнее положение равновесия также остается устойчивым). Аналитически оценку границы устойчивости верхнего положения равновесия удобно произвести, если пренебречь затуханием а и записать уравнение (3.6) при малых = х — л в виде [c.278]

Из полученных соотношений для передаточной матрицы видно, что в спектре колебаний помимо частот возмущений (Oj имеются частоты (oj 0д. Наличие переменных коэффициентов в уравнениях оказывает влияние и на резонансные свойства вибрации. При параметрическом резонансе колебания с возрастающей амплитудой имеют место в некоторых интервалах значений параметров системы, в то время как при обычном резонансе они наступают при определенных значениях параметров системы. Кроме того, амплитуды возрастающих колебаний при параметрическом резонансе изменяются по показательному закону, а при точечном резонансе — по степенному. Обычный резонанс наступает при совпадении частот возмущений с частотами собственных колебаний. Параметрический резонанс возможен, когда частоты изменения параметров 0 кратны собственным частотам системы. Границы главных областей неустойчивости определяются зависимостями, представленными в работе [П4]. Введение демпфирования сужает области параметрического резонанса. [c.684]

Существенными для параметрического резонанса являются два свойства 1) находящаяся в равновесии система не начинает сама раскачиваться 2) существует сколь угодно много областей параметрического резонанса у данной системы. [c.549]

Колебания в области параметрического резонанса [c.85]

Будем искать первую гармонику колебаний в области параметрического резонанса в виде [c.85]

Периодическое решение уравнения (36.6) будем искать по методу Фурье. Основной области параметрического резонанса соответствует, как известно, движение с частотой, равной половине частоты возбуждения. Поэтому полуцелое периодическое решение можно представить в виде разложения Фурье [c.256]

Обе границы области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, при вс О стремятся к угловой точке Р3 области допустимых значений параметров. Вблизи точки Р7 граничные кривые задаются уравнениями [c.542]

Используя известные результаты исследования областей параметрического резонанса для уравнения (1.3.31), можно легко построить границы областей неустойчивости на плоскости параметров В у, к. [c.51]

Области параметрического резонанса для уравнения Хилла центрально симметричны относительно начала координат плоскости ( , т]). Они получаются после исключения из единичного квадрата полосы, заключенной между наклонными прямыми. Левый верхний и правый нижний углы квадрата принадлежат резонансной области при любых отличных друг от друга положительных значениях шь Ш2- [c.247]

Этот результат вполне очевиден и из качественных соображений. В самом деле, чем меньше у, тем при большей амплитуде колебаний средняя частота собственных колебаний системы за счет ее неизохронности изменится на величину, достаточную для выведения системы из области параметрического резонанса. [c.137]

Рнс. 4.24. Области параметрического резонанса для разных значений коэффнциен-тоа не, 1 иней нос гн (4, н 5. [c.166]

Из этого выражения отчетливо видна несимметрия области параметрического резонанса, о которой речь шла выше. Несимметрию области параметрического резонанса для колебательной системы с нелинейным реактигным параметром и генератором накачки можно объяснить также качественно. Дело в том, что в рассматриваемом нелинейном колебательном контуре при воздействии на него напряжения накачки возникают вынужденные колебания, которые изменяют среднее значение емкости системы, чем и объясняется начальная расстройка контура в отсутствие параметрически возбужденных колебаний (несимметрия и относительно оси ординат). [c.178]

Рис. 3. Области параметрического резонанса и кривые резонансов до четвертого порядка включительно. Области параметрического резонанса заштрихованы. В неза-штрихованных областях прецессия Гриоли орбитально устойчива в первом приближении

Аналитическое и численное исследование показало, что существует только две области параметрического резонанса. На рис. 3 эти области заштрихованы. Они исходят из точек Р4( /3/3, /3) и Р7(2 5/5,2У /5), лежащих на отрезке Р1Р2. В малых окрестностях этих точек (когда вь = 9с для границ об- [c.541]

Нелинейный анализ орбитальной устойчивости. Если значения параметров вь, вс не принадлежат областям параметрического резонанса, то для строгого решения задачи об орбитальной устойчивости прецесии Гриоли недостаточно первого приближения. Необходим анализ нелинейных уравнений возмущенного движения. [c.542]

На кривых Р4Р5 и Р4Р6 имеет место резонанс первого порядка Л = 2, а на границах области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, — резонанс второго порядка 2Л = 3. Внутри областей устойчивости в первом приближении существуют две кривые резонансов третьего порядка (ЗЛ = 5 и ЗЛ = 4) и две кривые резонансов четвертого порядка (4Л = 7 и 4Л = 5). Они начинаются (см. рис. 3) [c.543]

Результаты. Ниже описываются (см. также рис. 4) результаты численного и аналитического исследования орбитальной устойчивости прецессии Гриоли для значений параметров 9ъ, Ос, не принадлежащих областям параметрического резонанса. Вычисления проводились для значений 9с, не меньших 0,01. [c.543]

На левой границе Р4Р5 области параметрического резонанса, исходящей из точки Р4, прецессия Гриоли орбитально неустойчива всюду, кроме точки Pi2(0,578, 0,57175), где вопрос об устойчивости остался открытым. На правой границе Р4Р6 также имеет место неустойчивость всюду, кроме точки Pis(0,65635, 0,444957). В этой точке прецессия орбитально устойчива. [c.543]

Левая граница области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, разбивается точкой Р14(0,853, 0,604) на два участка. На участке Р7Р14 имеет место орбитальная устойчивость в точке Р14 вопрос об устойчивости остался открытым в остальных исследованных точках прецессия неустойчива. Правая граница точкой Р15 (0,87876, 0,678) также разбивается на два участка. К точке Р7 [c.543]

Для значений параметров вь, 9с, лежащих вне областей параметрического резонанса и не принадлежащих рассмотренным выше кривым резонансов до четвертого порядка включительно, прецессия Гриоли орбитально устойчива всюду, кроме, быть может, кривой, на которой нарушается условие Арнольда-Мозера изоэнергетической невырожденности гамильтониана возмущенного движения. Эта кривая состоит из пяти участков, показанных на рис. 4 штриховыми линиями участок, проходящий через точку Р2б(0,56776, 0,56776) и точку Р12 участок, соединяющий точки Ре и Р26(0,83902, 0,16098) участки Р14Р3 и Р15Р9 петлеобразный участок, лежащий между кривой ЗЛ = 4 и вертикалью вь = 1- [c.544]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...