Равновесие относительное устойчивое

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Равновесие термодинамических систем по аналогии с механическими может быть устойчивым (стабильным), неустойчивым (лабильным) и относительно устойчивым (метастабильным). Равновесное состояние называется устойчивым, если по устранении возмущения, вызвавшего некоторое отклонение системы от этого состояния, система сама по себе возвращается в первоначальное состояние равновесия. [c.15]

Относительно устойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что при достаточно малых возмущениях система сама собой возвращается к этому состоянию, но если возмущение превысит некоторую характерную для данной системы величину, система сама по себе в исходное состояние не возвратится. Механическим аналогом такого состояния является шарик, лежащий в лунке на склоне горы. [c.15]

Относительно других примеров мы отошлем к сочинению Рауса, содержащему большое число изящных упражнений, в частности примеров качения шара по сфере, по цилиндру, по конусу и малых колебаний около положения устойчивого равновесия или устойчивого движения. [c.233]

Необходимо также различать устойчивость в малом и устойчивость в большом. То есть устойчивость относительно бесконечно малых перемещений от состояния равновесия и устойчивость относительно конечных перемещений, или, что более удобно, бесконечно малых дополнительных сил и конечных дополнительных сил. Также необходимо отчетливо представлять себе такое внешнее воздействие, как приложение и последующее удаление системы сил, и рассматривать работу, проделанную таким воздействием. Неотрицательность работы, проделанной этим внешним воздействием, проясняет понятие устойчивости в малом в привычном смысле, устойчивости в малом для цикла нагрузка — разгрузка, устойчивости в большом и устойчивости в большом для цикла нагрузка— разгрузка [9, 10, 11]. [c.19]

Впрочем, кроме двух указанных состояний абсолютной устойчивости или абсолютной неустойчивости, при которых система, будучи каким-нибудь образом хоть немного выведена из состояния равновесия, либо сама собою стремится вернуться к последнему, либо стремится от него все больше и больше удалиться,— могут существовать и состояния условной и относительной устойчивости, при которых восстановление равновесия зависит от начального смещения системы. Если некоторые из значений /А являются мнимыми, то соответствующие члены в значениях переменных содержат круговые дуги и равновесие, вообще говоря, не является устойчивым но если коэффициенты этих членов оказываются равными нулю, что зависит от начального состояния системы, то круговые дуги исчезают и равновесие можно еще считать устойчивым, по крайней мере по отношению к этому частному случаю [ ]. [c.457]

Состояние равновесия, устойчивое в малом и неустойчивое в большом, аналогично относительно устойчивому, так называемому метастабильному состоянию многочастичных (например, молекулярных) систем ). Метаста-бильными являются пересыщенное состояние пара, полученное путем его охлаждения или сжатия, аморфное (стеклообразное) состояние переохлажденной жидкости сложного химического строения, состояние смеси веществ, химическая реакция между которыми задержана низкой температурой, и т. п. Наиболее устойчивым при данных внешних условиях является другое состояние системы, для достижения которого требуется преодоление более или менее высокого энергетического барьера. Можно представить себе, что в простейшем случае при данных условиях соответствующая термодинамическая функция Е каждой частицы системы имеет график, показанный на рис. 18.68, а в роли функции Е выступает свободная энергия, если заданы температура и объем системы, или термодинамический потенциал, если заданы температура и давление. Минимум функции Е в точке А соответствует метастабильному состоянию, а более глубокий минимум в точке В — наиболее устойчивому состоянию. Частица системы ввиду того, что ее энергия имеет случайные отклонения от среднего значения (флуктуации), может преодолевать барьер между состояниями А к В и переходить из одного состояния в другое. Поскольку АЕ < АЕ (см. рис. 18.68, а), то вероятность перехода частиц из состояния А в состояние В выше вероятности обратного перехода. Таким образом, при данных условиях имеется тенденция к переходу многочастичной системы из относительно устойчивого состояния в наиболее устойчивое. Все же метастабильное состояние может существовать довольно продолжительное время, а иногда и практически неограниченно долго. Так, для многих полимеров образование кристаллической фазы из переохлажденной жидкости связано с преодолением столь высоких барьеров, что аморфное состояние сохраняется без видимых изменений десятки лет. [c.406]

Если неуравновешенность ротора превышает емкость АУУ, то после исчерпания емкости шары будут соприкасаться. При этом относительное равновесие системы устойчиво, но реакции в опорах и прогибы не равны нулю. Учитывая, что для этого случая [c.282]

Определим условия устойчивости этого решения, исходя из нелинейных уравнений движения (5) в областях резонансов второго рода. Исследования показывают, что решение (6) устойчиво, если устойчивы состояния равновесия относительно некоторых из координат 0, ijj, ф. [c.112]

Наконец, состояние относительно устойчивого равновесия (метастабильное состояние) — это состояние, в котором система может находиться в течение длительного времени, причем небольшие по величине внешние воздействия (возмущения), вызываюш ие небольшие отклонения системы от метастабильного состояния, не приводят к переходу в другое состояние после того как такое внешнее воздействие снято, система возвратится в исходное метастабильное состояние. С другой стороны, достаточно сильное воздействие выведет систему из метастабильного состояния, и система перейдет в новое состояние устойчивого равновесия. Таким образом, метастабильное состояние занимает промежуточное положение по отношению к стабильному и лабильному состояниям. [c.121]

Относительно устойчивое (метастабиль-ное) состояние системы (например, переохлажденный пар, перегретая жидкость и т. п.) представляет собой состояние системы с относительным максимумом или минимумом соответствующей функции, характеризующей равновесие в данных условиях. [c.203]

Если все характеристические показатели лежат в левой полуплоскости комплексного переменного (рис.7.8.3), то относительное равновесие крыла устойчиво. Наименьшее значение скорости, при котором реализуется переход хотя бы одного из характеристических показателей в правую полуплоскость, является критической скоростью. Если переход в правую полуплоскость происходит не через начало координат (А. 0), то критическую скорость называют скоростью флаттера, и=Лу, а возникающую колебательную неустойчивость - флаттером. Если переход характеристического показателя X в правую полуплоскость происходит через начало координат (Я.=0), то реализуется статическая форма потери устойчивости - дивергенция. Критическую скорость называют скоростью дивергенции 17=11 . [c.521]

Для обеспечения прочности рассчитываемого элемента мостовой фермы недостаточно выбрать для него такое допускаемое напряжение, чтобы не получалось остаточных деформаций или явления усталости, нужны еще дополнительные исследования относительно устойчивости той формы равновесия, которая положена в основание расчета рассматриваемого элемента только при достаточном запасе в отношении устойчивости этот элемент будет представлять прочную составную часть всего сооружения. [c.415]

Результаты термодинамического исследования критериев наличия равновесия и его устойчивости совпадают с данными статистического анализа устойчивости равновесия относительно флуктуаций, полученными в 26. [c.196]

Относительный минимум свободной энергии соответствует метаста-бильному состоянию системы (состоянию относительной устойчивости)/ а абсолютный минимум — состоянию устойчивого равновесия.— Прим> перев. [c.14]

Ниже тройной точки в устойчивом равновесии с паром может существовать только одна из твердых фаз Si, выше — только S2. Если давление равно атмосферному, то температура, при которой могут сосуществовать две твердые фазы и при которой изменяется относительная устойчивость двух форм, называется точкой превращения или точкой перехода. Точка превращения имеет такое же отношение к тройной точке, как и точка плавления в системе твердая фаза — жидкость — пар. [c.49]

Для того чтобы относительное равновесие было устойчиво, суще ственно, чтобы значения q все были бы нулями, так как иначе в действительном выражении для произвольной координаты qr встретились бы члены вида at и sin от/ это указывало бы на возможность колебания с постоянно возрастающей амплитудой. [c.389]

Устойчивость положения равновесия относительно малых возмущений [c.132]

Физически совершенно ясно, что прц достаточно большой разности температур равновесие подогреваемой снизу жидкости становится неустойчивым. Это значит, что декременты X некоторых характеристических возмущений с увеличением числа Рэлея становятся отрицательными, а сами эти возмущения, затухая со временем при малых Н, начинают нарастать при больших Н. Обращение в нуль декремента выделяет условия, при которых возмущение нейтрально — не затухает и не нарастает. Очевидно, эти условия как раз и определяют границу устойчивости равновесия относительно данного возмущения. [c.25]

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся под действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических коэффициентов 0. Показано также, что если на систему помимо гироскопических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям q i. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно qi и а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия qi = i, q = О, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях. [c.38]

В этом положении на ковш действует сила Рщ, которая определяется из уравнения равновесия относительно оси напорного вала всех сил, действующих на ковш и рукоять. При этом сила подъема определяется по мощности двигателя. При многомоторном приводе в расчете устойчивости следует учесть также напорное усилие, развивающееся при взятии рукояти на себя и способствующее опрокидыванию машины. Однако это усилие учитывают только при расчете машин большой мощности, для которых проверка на устойчивость особенно важна. [c.192]

Структура серого чугуна. При весьма медленном охлаждении сплавов железа с углеродом происходит выделение графита. Для этого случая на диаграмме (рис. 58) кроме сплошных линий знакомой уже системы сплавов железо—цементит нанесены линии системы сплавов железо—графит, несколько смещенные влево и вверх. Эти линии получены построением от критических точек термического анализа сплавов системы железо—графит. Таким образом, получаются как бы две диаграммы, наложенные друг на друга цементитная — метастабильная (относительно устойчивого равновесия) и графитная — стабильная (близкая к абсолютно устойчивому равновесию). [c.81]

Относительная устойчивость различных типов решёток. Одной из важнейших задач физики кристаллов является определение относительной устойчивости различных типов структур ). Если не рассматривать вопрос о неустойчивом равновесии, то эта задача имеет простой формальный ответ — устойчивой является решётка, имеющая наименьшую свободную энергию. К сожалению, разница в свободных энергиях различных возможных модификаций может быть крайне малой и часто оказывается меньше ошибок, допускаемых при вычислении свободной энергии. Это имеет место, например, для разностей свободных энергий четырех типов структур, характерных для ионных кристаллов (см. 4). Несмотря на это, свободные энергии различных структур часто вычисляются и сравниваются между собой. Единственной надеждой в этих случаях является то, что ошибки вычислений мен 1ют результаты в одинаковых направлениях и поэтому исключаются. [c.103]

Аналогичные теоремы можно доказать и относительно устойчивости положений равновесия и эллиптических периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. В. И. Арнольд [7]). Наиболее сильный результат был получен Ю. Мозером [1]. [c.218]

Однако, если предположить, что обе фазы, находясь в точках а и 6, могут взаимодействовать между собой, образуя термодинамическую систему, находящуюся при постоянных р а Т, то выяснится, что состояние Ь, в котором потенциал выше, чем в состоянии а, является лишь относительно устойчивым — метастабильным, ибо переход вещества из состояния два приведет к уменьшению потенциала ф. Аналогичные заключения можно сделать относительно точек с н d. То же относится н к рис. 2-4. На основании этого частки изобар и изотерм на рис. 2-3 и 2-4, относящиеся к состоянию устойчивого равновесия, изобрал<ены сплошными линиями, а участки, относящиеся к метастабильным состояниям,—пунктирными. Как уже отмечалось, реальные термодинамические системы могут находиться в метастабиль ных состояниях, если приняты меры к тому, чтобы они не подвергались заметным возмущениям извне, и если возмущения, связанные с естественными флуктуациями, малы по сравнению с порогами устойчивости. Так, например, очень чистую жидкость, находящуюся при некотором постоянном давлении, меньшем критического, можно нагреть до температуры, заметно превосходящей температуру насыщения при данном давлении Т з(р), без того, чтобы йачался процесс парообразования. Такое состояние жидкости аналогично точке d на рис. 2-4,а. Наоборот, пар можно изобарно охладить до точки Ь (рис. 2-4,а) без того, чтобы он начал конденсироваться. Однако можно показать, что существуют определенные границы существования метастабильных состояний. Эти границы определяются тем, что для метастабильных состояний должны выполняться условия устойчивости, поскольку, как отмечалось, мета--стабильные состояния по отношению к малым возмущениям устойчивы, т. е. для близкой окрестности точки метастабилшого равновесия должны выполняться условия (2-37) и (2-38) [c.36]

При работе дробинок валки находятся в положении устойчивого равновесия, относительно которого происходят колебания в радиальном направлении. В случае резонанса эти колебания отрицательно влияют на качество размола. Дня иоютчения резонанса из рабочего режима нужно знать частоту собственных колебаний подпружиненного валка, которая зависит (кроме массы кояеблв1даисся деталей и жесткости пружины) от количества и качества размалываемого материала, находящегося между валками. В данной работе сделана попытка найти эту зависимость. [c.108]

Во второй части книги рассматриваются вопросы применения МКЭ к решению нелинейных задач МДТТ. Результирующие линеаризованные уравнения равновесия (движения) относительно приращений перемещений получаются из принципа возможных перемещений. При квазистатическом деформировании уравнения равновесия относительно скоростей перемещений получаются из вариационных принципов. Показана тесная связь конечноэлементных уравнений, сформулированных относительно приращений и скоростей. Приведен вывод дискретных уравнений движения (равновесия) относительно приращений (скоростей) узловых перемещений. Рассматриваются процедуры пошагового решения нелинейных задач и определения напряжений для различных моделей материалов. Предложены алгоритмы решения задач устойчивости и контактных задач. [c.12]

Состояния равновесия системы, устойчивые по отношению к ближайшим состояниям, но неустойчивые по отношению к некоторому более удаленному состоянию, называются мета-, стабильными. Метастабкльные состояния имеют место тогда, когда соответствующая характеристическая функция системы имеет несколько точек экстремума. Каждое из метаста-бильных состояний соответствует относительному, т. е. не наибольшему максимуму или не наименьшему минимуму характеристической функции. [c.103]

Состояния равновесия системы, устойчивые по отношению к некоторому более удале1нному состоянию, называются метает а бильны ми (1по-луустойчивыми). Метастабильные состояния возникают в тех случаях, К0-гда характеристические функции системы имеют несколько точек эстре-мума. Метастабильное состояние соответствует относительному экстремуму (не наибольшему максимуму и не наименьшему минимуму) характеристи че-ской функции. Система, находящаяся в метастабильном состоянии, по истечении некоторого времени и при наличии необходимы Х условий переходит в стабильное состояние. [c.68]

Если положение шарика на поверхности желоба характеризовать двумя обобщенными координатами х, s, где дуговая координата s определяет положение шарика на кривой пересечения поверхности желоба с плоскостью X — onst, то по общему определению Ляпунова равновесие шарика устойчиво относительно координаты s и неустойчиво относительно координаты X, [c.434]

Исследована устойчивость регулярных прецессий динамически симметричного спутника на круговой орбите дан анализ устойчивости плоских колебаний спутника — твердого тела на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета рассмотрена устойчивость движения динамически симметричного спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты центра масс исследована устойчивость плоских вращений спутника и плоских колебаний произвольной амплитуды на круговой орбите получены новые результаты в задаче об устойчивости относительного эавновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции. Подробная библиография приведена в [31, 94]. В [95] указаны такие случаи, когда относительное равновесие спутника устойчиво в линейном приближении, есть устойчивость для большинства начальных условий, а на самом деле это равновесие неустойчиво но Ляпунову. Это — пример конкретной задачи механики, в которой установлено существование диффузии Арнольда (правда, эта диффузия не является экпоненци-альной). [c.125]

Восстанавливающие моменты, относительно одной из направляющих, стремятся прижать вторую направляющую к поверхности обработанного отверстия, а опрокидывающие - наоборот, оторвать ее. Когда Л у > 1, равновесие является устойчивым, если Ку< 1, то равновесие отсутствует, и в случае Ку = 0- равновесие неустойчивое. В связи с тем, что у инструментов с определенностью базирования имеются, как правило, две направляющие, коэффициент устойчивости подсчитывают относительно каждой из них, причем из двух его значений выбирают минимальное, как обеспечивающее наихудщие условия базирования. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...