Исследование устойчивости периодических движений

Исследование устойчивости периодических движений в нелинейных системах, как правило, также приводит к линейным дифференциальным уравнениям с перио- [c.116]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ [c.133]

В главе 12 подробно исследуются периодические движения, близкие к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Существование рассматриваемых периодических движений следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49]. Во введении к главе 12 дана краткая история исследований, связанных с построением и анализом устойчивости периодических движений, близких к треугольным точкам либрации. Затем предлагается новый способ их построения и алгоритм исследования их орбитальной устойчивости. Подробно рассмотрены различные резонансные ситуации, возникающие в задаче об устойчивости. В последнем параграфе главы 12 приведены результаты численного исследования устойчивости периодических движений. [c.15]

Результаты исследования устойчивости периодических движений I, II и III типов показаны на рис. 24, 25 и 26 соответственно [c.233]

Рис. 24. Результаты исследования устойчивости периодических движений

Рис. 25. Результаты исследования устойчивости периодических движений II типа а) плоская задача, 6 пространственная задача.

Для исследования устойчивости периодического движения х = f (t),y = (t) в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить д = ср ( ) -[- , у = a (О + у], подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений — функции Р(ср-[- , i + 1]) и Q( f + , + — в ряды ПО степеням 5 и и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения ( уравнения первого приближения ) для координат возмущения и [c.326]

Исследование устойчивости периодических решений впервые было выполнено А. М. Ляпуновым в его диссертации Общая задача об устойчивости движения" (гл. III). [c.425]

Устойчивость периодических движений. Для исследования устойчивости периодических режимов движения воспользуемся методом конечных разностей с использованием условий припасовывания [4]. [c.146]

Неравенства Шура [3,57]. При исследовании устойчивости периодических режимов движения виброударных систем приходится оценивать корни характеристического уравнения. Если все корни этого уравнения по модулю меньше единицы, то движение устойчиво. Приведем здесь одну теорему высшей алгебры, называемую теоремой Шура. Согласно этой теореме необходимые и достаточные условия того, что все корни полинома [c.76]

Отыскание неподвижных точек преобразования полуплоскости Л + или Л и исследование их устойчивости, проводимые обычным образом [10], [13], приводят к исследованию некоторого характеристического уравнения х (2) = О 117]. Устойчивому периодическому движению соответствуют корни уравнения, модуль которых меньше единицы. Следовательно, при изменении параметров системы со, и р устойчивость нарушается, когда 1 2 = 1. В пространстве параметров этому соответствуют поверхности Nи N , уравнения которых получаются из условия X (4 = О подстановкой Z = +1, 2 = —1 И 2 = е Ч [11 ]. Однако основной периодический режим нарушается не только из-за потери устойчивости. Другая возможная бифуркация происходит на поверхности g, соответствующей попаданию неподвижной точки преобразования на край пластинки скользящих движений А . Подробное исследование показало [17], что бифуркация на С3 происходит раньше, чем теряется устойчивость, и основной режим возможен, если [c.238]

При исследовании устойчивости периодических режимов движения правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения оказываются также периодическими функциями времени [c.39]

Большое внимание автором уделено исследованию помпажа в распределенных системах, даны дифференциальные уравнения движения в системе и их решение. Рассмотрены устойчивость периодических движений, автоколебательные режимы, мягкий и жесткий режимы возбуждения, даны формулы для амплитуд и частот колебаний, сопоставлены результаты теоретических и экспериментальных исследований. Рассмотрены пути целенаправленного уменьшения интенсивности помпажа использованием автоматического регулирования выходного дросселя и направляющего аппарата, вынужденных колебаний, накладываемых на периодический перепуск воздуха, а также пассивные методы воздействия на помпаж. Приведена механическая модель системы, даны методы фазовой плоскости и аналитического исследования нелинейных систем. [c.4]

Устойчивость периодических движений с невырожденными соударениями. Периодические движения являются простейшим типом движений в системах с ударами, поэтому их теория разработана с наибольшей полнотой. Кроме того, ввиду практической важности таких движений они широко исследовались при помогци экспериментальных и численных методов (см. [60, 71, 73, 77, 79], и др.) Приближенные методы анализа виброударных систем описаны в [5, 6. Мы обсудим ниже точные аналитические методы исследования периодических движений с ударами. [c.243]

Что же касается до возможностей, даваемых этим методом, то вопросы, решаемые методом гармонической линеаризации, состоят в исследовании равновесных состояний, предельных циклов и поведения системы вблизи этих состояний и циклов, что, конечно, отнюдь не охватывает всех сторон анализа и синтеза поведения и свойств системы. Необходимо подчеркнуть, что отсюда явствует возможность такого рассмотрения, только в малом . Кроме того, заметим, что устойчивые периодические движения (автоколебания) при отсутствии внешних периодических воздействий в большинстве случаев вредны, и потому необходимо определить условия, при которых автоколебаний не возникает. В тех же случаях, когда автоколебания по- [c.229]

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

В главах 7—10 подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации. По-видимому, для задач, связанных с исследованием треугольных точек либрации, следующим важным вопросом является вопрос о существовании, построении и устойчивости периодических движений, близких к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая глава. [c.205]

Все вышеупомянутые работы посвящены исследованию периодических движений в рамках плоской круговой ограниченной задачи и не был рассмотрен вопрос об устойчивости периодических движений в строгой нелинейной постановке. [c.206]

Результаты исследования нелинейной устойчивости периодических движений I, II и III типов сведены в табл. 18. [c.233]

См. также определение устойчивости периодического движения по Ляпунову в гл. V, 6, 7, где изложены аналитические методы исследования устойчивости, правда, пригодные лишь для неконсервативных систем. [c.150]

Подробное рассмотрение показывает, что и в этом случае существует устойчивое периодическое движение, состоящее из двух движений с конечной скоростью и двух скачков и устанавливающееся при любых начальных условиях (это утверждение может быть доказано, например, путем построения и исследования соответствующего точечного преобразования). Эти движения представляющей точки по предельному циклу и отображают разрывные автоколебания в мультивибраторе. Амплитуда этих колебаний может быть определена сразу именно, изменения переменного х происходят в пределах от х. до —Xj, т. е. амплитуда автоколебаний переменного х равна х.2 = = 2k — 1 (тогда амплитуда колебаний напряжения и на сетке лампы Л, Ui) = (2k—1) о)- Что же касается периода автоколебаний, то его можно определить, взяв интеграл по t вдоль участков предельного цикла, по которым происходит медленное движение изображающей точки. [c.816]

Перейдем к исследованию устойчивости периодических решен Пусть Vj- положительный корень нечетной кратности = 2к Этому корню отвечает периодическое движение. Устойчиво ли оно [c.200]

Если провести аналогичным образом исследование случая k = q Ку то можно сделать следующие выводы если в отсутствие внешней силы система совершает устойчивые бигармонические движения, то при включении внешней силы устойчивый бигармонический режим сохраняется при дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы система или теряет устойчивые режимы, или в ней возникает устойчивый периодический режим с частотой внешней силы, который исчезает при достижении амплитудой внешней силы определенного значения. [c.212]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Для исследования устойчивости периодического движения можно воспользоваться диаграммой Кенигса—Лемерея (см, п. 5 гл. II). [c.172]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Для исследования устойчивости периодического движения периода т можно вместо отображения (6) воспользоваться отображением Тпереводящим любую точку окрестности точки в точку, в которую она переходит по истечении времени т. В случае неавтономной системы корни характеристических уравнений отображений и (6) совпадают, а в случае автономной системы отображение имеет дополнительный корень, равный единице (остальные корни совпадают) (Ю, И. Неймарк, 1958). [c.154]

В случае, когда уравнения (3) линейные, точечные отображения (6) могут быть получены в явном виде. По явному виду точечных отображений могут быть составлены уравнения периодических движений и характеристические уравнения для исследования устойчивости найденных периодических движений. Это было проделано для релейных и некоторых кусочно-линейных систем (Ю. И. Неймарк, 1955—1956 Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1960) и для систем с ударными взаимодействиями (В. А. Горохов, 1966). В случае, когда уравнения (3) нелинейные и получение их явных решений невозможно, характеристическое уравнение может быть составлено по уравнениям в вариациях и уравнениям (5) (Ю. И. Неймарк, 1958). В практически часто встречающемся случае, когда соотнощения (5) представляют собою сшивание решений на поверхности разрыва правых частей дифференциальных уравнений, правило составления характеристического уравнения для исследования устойчивости периодического движения было указано в упомянутой работе Ю. И. Неймарка и затем подробно развито в работах М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [c.154]

Исследование устойчивости периодических режимов, как обычно, начнем с составления законов возмущенного движения на некотором v-m интервале, ограниченном V-M и (v+1) соударениялш частей системы. Внеся соответствующие возмущения в законы движения (9.23), получим [c.336]

Знание нормальных форм позволяет не только проводить приближенное интегрирование, ио и решать вопросы устойчивости положения равновесия (причем для полной, а не только для укороченной системы), существования, построения и исследования устойчивости периодических и условпо-периодических движений в окрестности положения равновесия конкретных механических систем. [c.226]

Весьма обширные (хотя в основном нестрогие) исследования влияния нелинейностей в правых частях системы (1) на поведение ее решений вблизи начала координат были проведены егце в конце XIX — начале XX века Кортевегом [2] и Бетом [3-5]. Они, в частности, показали, что устойчивое в первом (линейном) приближении решение j = О может стать неустойчивым нри учете нелинейностей в правых частях системы (1). В работах Т. Леви-Чивита [6-8] содержится ряд строгих результатов по устойчивости периодических движений системы (1), когда она автономна и п = 2. В этих же работах содержится приложение обгцетеоретических выводов к доказательству неустойчивости резонансных орбит астероидов. [c.115]

При исследовании критических случаев устойчивости периодических движений С. В. Калинин применил метод осреднения периодических коэффициентов. Этот метод был применен им к решению задачи в критических случаях одного нулевого корля (1948—1949), пары чисто мнимых корней (1957), двух нулевых корней (1959), двух пар чисто мнимых корней (1961), нескольких нулевых и чисто мнимых корней (1961). Такой способ при использовании принципа сведения оказался эффективным и позволил решить также некоторые прикладные задачи (С.. В. Калинин, 1958, 1962, 1965). С. В. Калинин (1957) также показал, что метод Ляпунова исследования критических случаев одного нулевого и пары чисто мнимых корней можно несколько видоизменить в сторону сокращения выкладок. [c.58]

Остающийся открытым вопрос о возможности п-мерного обобщения последней геометрической теоремы Пуанкаре мы сейчас вкратце обсудим. Исследование аналитических свойств движений вблизи данного устойчивого периодического движения динамической системы с п степенями свободы и свойств соответствующего преобразования Г, порождаемого этой системой, по-видимому, указывает на существование бесконечного множества близких периодических движений. Теорема Пуанкаре оказывается лишь качественным выражением существенных элементов аналитического положения вещей нри п = 2 и, в действительности, частный случай, рассмотренный Пуанкаре, достаточен тогда для динамических приложений . Чтобы придти к надлежащему п-мерному обобщению теоремы, необходимо определить качественно существенные элементы п-мерпой аналитической проблемы. Это, вероятно, может быть сделано простым путем. [c.291]

Численное исследование этой системы удобно проводить с помощью построения отображения Пуанкаре точек секущий плоскости t = onst в себя через период То = 2тг/0 (см. гл. 15). Напомним, что устойчивому периодическому движению с периодом NTq на секущий плоскости XX соответствует N точек. Стохастическому множеству в фазовом пространстве xxt уравнения (22.22) на секущей плоскости отвечает сложное множество точек. При к > О это — аттрактор. На рис. 22.23 представлены фазовые портреты на секущей одного из таких аттракторов (при к = 0,12, 6 = 25) и стохастического множества гамильтоновой системы (к = О, Ь = 25). Размерность аттракто- [c.491]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Остальная часть главы 13 посвящена рассмотрению задачи, о существовании и устойчивости периодических движений вблизи L с учетом солнечных возмущений. Изложение опирается в основном на аналитические исследования, проведенные Брэквилом и Принг-лем [106], Шехтером [170] и Кэмилом [144]. Показано, что во вращающейся системе координат существуют устойчивые периодические орбиты их форма близка к эллипсу с полуосями 145 ООО км ж 71 ООО км, а период движения приблизительно равен синодическому месяцу (29,53 сут). [c.15]

По исследованиям устойчивости неустановившегося движения сплошных сред в трубах известно немного работ. Краткий обзор большинства этих работ приводит Т. Сарпкая перед описанием своих экспериментов по исследованию в трубе устойчивости ламинарного пульсирующего потока, не меняющего направления течения [64]. Этот обзор должен быть дополнен работой С. И. Сергеева, в которой даны результаты визуального наблюдения за периодическими колебаниями столба воды в стеклянных трубках [67]. Оба автора отмечают увеличение критического числа Рейнольдса, при котором нарушается устойчивость неустановившегося потока по сравнению с известным из гидравлики критическим числом Рейнольдса для установившегося ламинарного движения. При этом результаты экспериментов Т. Сарпкая подтверждаются экспериментами Д. Гилбреча и Г. Комбза и не согласуются с экспериментами Г. Дарлинга, который при периодически изменяющемся расходе жидкости получил критическое число Рейнольдса, равное 1500. [c.187]

Замечательным примером системы, линеаризация которой ограничивает возможности обнаружения ее важнейших колебательных свойств, могут служить обыкновенные часы с майтни-ком, приводимые в движение, например, падаюш им грузом. Линейная трактовка колебаний маятника предполагает, что отклонения маятника от вертикального положения равновесия весьма малы. Такие малые колебания маятник будет совершать, если ему сообщить достаточно малое начальное возмущение (отклонение). Но, как легко проверить, при малом начальном возмущении маятник, предоставленный затем самому себе, будет совершать затухающие колебания с быстро убывающими амплитудами, пока не остановится в вертикальном положении. Часы от такого малого начального возмущения не пойдут , так как источник пополнения расходуемой маятником энергии (падающий груз) при таких колебаниях не включается. Таким образом, линеаризация системы — часы с маятником — не дает возможности обнаружить в ней те свойства, которые являются наиболее характерными для часов как инструмента для измерения времени. Эти свойства проявляются только при достаточно большом начальном возмущении и при колебаниях с конечной амплитудой. Когда маятник получит возмущение, большее некоторого предела, в дальнейшем своем движении он ведет себя резко отлично от привычного в линейной теории поведения систем с сопротивлением. Амплитуды колебаний маятника начинают расти или убывать, приближаясь в том и другом случае к одному предельному стационарному значению, достигнув которого они дальше не изменяются, так что маятник совершает устойчивые изохронные колебания, обеспечивая тем самым более или менее точный отсчет времени. Открыть существование такого устойчивого периодического движения в системе с сопротивлением, оставаясь в пределах линейной теории, описать средствами последней свойства этого движения мы, конечно, не можем. Линейная трактовка задачи о колебаниях маятника часов связана с отказом от исследования наиболее важных с практической точки зрения колебательных свойств системы, наиболее характерных для ее назначения и использования. [c.470]

Дастся изложение основ теории усхойчпвоети движения, базирующееся на общем курсе высшей математики для втузов. Основное внимание уделено наиболее эффективным методам иссл< дова-ния — прямому методу Ляпунова, исследованию устойчивости по уравнениям первого приближения и частотным методам. Отдельные главы посвящены исследованию устойчивости движения но стру -туре действующих сил, устойчивости неавтономных систем, в тол числе систем с периодическими коэффициентами, и систем автоматическою регулирования. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...