Уравнение Матье

Волновое уравнение и уравнение Лапласа являются двумя из трех типов основных уравнений мате- f H . 177 [c.587]

Где ш, е, п — постоянные параметры. Используем результаты предыдущего примера и проанализируем возможность появления резонанса для уравнения Мейсснера, аналогичного уравнению Матье [c.248]

Одним из способов получения приближенных условий резонанса для уравнения Матье [c.250]

Подставим это выражение в уравнение Матье [c.250]

Уравнение (11.313)—дифференциальное уравнение Матье. Его можно также получить, рассматривая малые колебания маятника при условии, что ось вращения маятника колеблется по синусоидальному закону ). [c.317]

Параметрический резонанс. Найти решение уравнения Матье л +(й)о —й os о)г )л = 0, fe< (oo , в первом приближении метода усреднения. [c.299]

Уравнение (7.224) называется уравнением Матье. [c.220]

Изложенный метод решения уравнения Матье наряду с достоинствами (удалось, не решая уравнений, установить значения параметров а я д, приводящих к неустойчивым режимам) имеет и недостатки. Первый недостаток заключается в том, что исходное уравнение (7.224), несмотря на большое число прикладных задач, сводящихся к нему, является весьма частным (системы [c.223]

Уточненные границы области, полученные из уравнения (7.244), показаны на рис. 7.27 штриховыми линиями. Для второго приближения пересечение границ областей происходит при больших значениях параметра а . В зависимости от конкретного вида коэффициентов п, а/ уравнения (7.235) области неустойчивости могут существенно отличаться по своей форме от областей, полученных для уравнения Матье. Полученные приближенным методом Рэлея области неустойчивости являются приближенными, поэтому интересно выяснить, насколько они точно соответствуют истинным областям при точном решении исходного однородного уравнения (7.235). Метод точного численного определения областей неустойчивости изложен, например, в книге [12]. [c.227]

Общее решение уравнения Матье может быть получено с применением специальных функций Матье или же посредством разложения в ряды Фурье. [c.175]

По уравнению (12,57) можно исследовать устойчивость дни-Н<ения, используя свойства коэффициентов уравнения Матье. При этом исследовании достаточно предположить, что положе-1 1ие динамического равновесия, т. е. значение угла ад, находится в пределах рабочего диапазона ). Для определения самой величины ад, характеризующей динамическую ошибку механизма ( увод стрелки прибора), можно использовать приближенный метод, основанный на близости величин ао и ад. [c.254]

Уравнение Матье. Уравнением Матье называют дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами вида 2 [c.559]

Мы рассмотрим уравнение Матье для случая, когда оно мало отличается от дифференциального уравнения гармонического осциллятора [c.559]

Подставив это значение ip в уравнение (37) п. 230 и произведя его линеаризацию относительно х, получим, что с точностью до первой степени е линейное уравнение возмущенного движения будет иметь вид уравнения Матье [c.560]

Пульсация функции p (t) по гармоническому закону (уравнение Матье). Пусть [c.148]

Это уравнение называют неоднородным уравнением Матье. В частном случае, если направление вибрации совпадает с направлением, характеризующим положение статического равновесия маятника (Р = 0, или Р = л), получим однородное уравнение Матье [c.25]

Примерно так же ставится задача о динамической устойчивости системы. Только при этом идет речь об устойчивости того или иного движения системы, а не того или иного положения ее равновесия. Пусть точка подвеса маятника вибрирует по гармоническому закону в вертикальном направлении. Мы уже знаем, что при этом движение маятника описывается однородным уравнением Матье, которое мы запишем так [c.33]

Уравнение Матье. Это уравнение запишем так [c.52]

Найдем, пользуясь приведенной выше теорией уравнений с периодическими коэффициентами, общий функциональный характер решения уравнения Матье. Пусть известны два частных, линейно независимых решения У и г/2 уравнения (2.24), причем они образуют фундаментальную систему, удовлетворяющую начальным условиям [c.52]

Четный характер периодического коэффициента дает возможность представить общее решение уравнения Матье в виде [c.53]

ОТ ПОСТОЯННЫХ параметров а w q уравнения Матье и не зависит от начальных условий. [c.54]

Таким образом, в случаях кратных корней одно из частных решений уравнения Матье оказывается периодическим с периодом я или 2п. [c.55]

Уравнение Матье имеет периодические решения только в том случае, если параметры а и q (см. уравнение (2.24)) связаны определенной зависимостью. Эту зависимость между а W q представляют в виде ряда [c.56]

Подставляя в уравнение Матье ряды (2.27) и (2.28) или (2.27) и (2.29) и собирая члены, содержащие одинаковые степени q, получают систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, при помощи которой определяют и с, х) либо а и S х). [c.56]

Линии характеристических чисел функций Матье делят плоскость а, q на ряд областей или зон. Ниже показано, что в зависимости от того, в какую из этих областей попадает характеристическая точка (а, q) уравнения Матье, решение уравнения оказывается либо устойчивым, либо неустойчивым. Вследствие этого рис. 2.1 часто называют картой устойчивости. [c.60]

Связь между li, а и <7 в уравнении Матье. [c.60]

Возбуждающая функция равна os т, а ее период равен 2п. В соответствии с примечанием к (7.79) будем искать те значения б и е, при которых существуют периодические решения периодов 2л и 4п. Из самой формы уравнения (7.89) видно, что если функл,ия х = х (г) есть решение уравнения (7.89), то функцин х = х (—т) и а = = —X (т) будут также решениями этого уравнения. Из отого следует, что среди периодических решений уравнения Матье имеются четные и нечетные решения. Четные периодические решении периода 2л будем искать в форме [c.246]

Таким путем определяются области устойчивости для уравнения Матье результаты приведены на диаграмме Айнса — Стретта (рис. 7.8), где областям устойчивости соответствуют затптрихованные поля, а областям неустойчивости — белые поля. Диаграмма дана только для е > 0 для е < О она получается зеркальным отображением относительно оси б. Отдельные области смыкаются между собой в точках б п /А и е = О, где п — целое число. [c.249]

Это уравнение совладает с уравнением Матьо (7.89), если положить [c.254]

Здесь m, Dm —постоянные, e2m(0,/ii), se2m+2(0, < 2) — периодические решения Матье, Fel<2m(p,/ei),Gel<2m(p,/22) — вторые решения уравнения Матье. [c.356]

Уравнение Матье. К частным видам уравнения (9.51) отно- сится уравнение Матье, в котором /(/) есть периодическая функция, а р (0 — гармоническая функция. Например, при ис следовании динамики шарнирных механизмов с упругими звеньями уравнения движения в некоторых случаях приводятся к уравнению Матье [c.175]

Это так называемое уравнение Матье. Если изменение силы подчиняетсл периодическому, но не гармоническому закону [c.461]

Некоторые свойства уравнений Матье и Хилла. Особенностью уравнений Матье и Хилла является то, что при некоторых соотношениях между их коэффициентами они имеют неограниченно возрастающее решение — в системе возникают и развиваются с неограниченно возрастающей амплитудой резонансные поперечные колебания. Иными словами, при таких комбинациях коэффициентов система находится в состоянии динамической неустойчивости. Такие комбинации коэффициентов непрерывно заполняют целые об-ласти на плоскости в системе осей (й д/2р) -На рис. 18.113 показана эта плоскость и на ней штриховкой отмечены области комбинаций параметров, соответствующих динамической неустойчивости решения уравнения Матье (18.172). [c.461]

Периодические и полупериодические решения уравнения Матье, имеющие важное значение для различных приложений, получили название функций Матье первого рода. [c.56]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.248 ]

Теоретическая механика (1990) -- [ c.405 ]

Механика стержней. Т.2 (1987) -- [ c.220 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.559 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 (1981) -- [ c.461 ]

Механизмы с упругими связями Динамика и устойчивость (1964) -- [ c.25 , c.52 , c.53 , c.65 , c.288 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.106 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.86 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.217 ]

Небесная механика (1965) -- [ c.371 ]

Общая теория анизотропных оболочек (1974) -- [ c.387 , c.390 ]

Введение в теорию механических колебаний (0) -- [ c.183 ]

Теория волновых движений жидкости Издание 2 (1977) -- [ c.372 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...