Расщепление сепаратрис

Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания. [c.12]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера-Пуансо [c.98]

Теорема о расщеплении сепаратрис 99 [c.99]

Если неустойчивые периодические решения невозмущенной задачи не вырождены, то они не исчезнут при добавлении возмущения ([1, гл. III]), и через их траектории снова пройдут пары сепаратрис ([1, гл. VII]). Однако возмущенные сепаратрисы не обязательно совпадут. Это явление, обнаруженное впервые Пуанкаре [13, 19], называется расщеплением сепаратрис. Оно коренным образом рознит поведение траекторий невозмущенной и полной систем. Из существования расщепленных сепаратрис вытекает, например, расходимость рядов многочисленных вариантов теории возмущений. Таким образом, расщепление сепаратрис также является динамическим эффектом, препятствующим интегрируемости уравнений динамики. [c.99]

Теорема о расщеплении сепаратрис 101 [c.101]

Теорема о расщеплении сепаратрис 103 [c.103]

Чтобы сформулировать условия расщепления сепаратрис, введем функцию [c.243]

Видно, что / — 27г/Л-периодическая функция от а. Оказывается, если 1 а) ф О, то возмущенные сепаратрисы расщепляются. Более того, если функция а 1 а) имеет простые нули, то расщепленные сепаратрисы пересекаются, причем трансверсально (см. [16]). Картины трансверсально пересекающихся сепаратрис показаны па рис. 2. [c.243]

Картина расщепленных сепаратрис показана на рис. 19. [c.264]

Хорошо видно, как начинают осциллировать расщепленные сепаратрисы при приближении к неустойчивой периодической траектории. [c.271]

Поскольку поведение расщепленных сепаратрис устойчиво относительно малых изменений параметров, то при малых значениях ц > О уравнения Эйлера — Пуассона будут также иметь гиперболическую периодическую траекторию с пересекающимися асимптотическими поверхностями. Согласно теореме 1 из 2, это не совместимо с наличием дополнительного интеграла и нетривиальной группы симметрий. Отметим, что при fi = 1 и fi = 2 уравнения Эйлера — Пуассона интегрируемы (случай полной динамической симметрии и случай Ковалевской). [c.272]

На рис. 25 этот результат иллюстрируется численными расчетами для значений Г, а и Л, равных единице. Отмечены положения выделенных частиц жидкости через промежутки времени, равные 2тг. Рис. 25, а соответствует невозмущенной задаче. Явления расщепления сепаратрис и образования стохастических слоев хорошо видны на рис. 25, б, в (им отвечают соответственно значения е = = 0,1 и е = 0,5). На рис. 25, г показана отдельная траектория для значения е = О, 5. [c.279]

Расщепление сепаратрис в рассматриваемой задаче при малых значениях О обсуждалось в п, 3 3. Выло показано, что лишь при некоторых значениях параметров расщепленные сепаратрисы пересекаются. Тем не менее, справедливо [c.290]

С помощью теоремы 1 можно установить наличие семейств невырожденных долгопериодических решений в гамильтоновых системах, неинтегрируемость которых установлена методом расщепления сепаратрис. Ряд примеров таких систем указан в 3, 4. [c.296]

Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть). [c.363]

Однако не следует думать, что все отличие движений в невозмущенной и возмущенной системе сводится к возникновению островов фазовых колебаний. В действительности явление гораздо сложнее, чем описанное выше первое приближение. Одним из проявлений этого сложного поведения фазовых кривых возмущенной задачи является расщепление сепаратрис, обсуждавшееся в добавлении 7. [c.374]

Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) — русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г). В цикле работ, объединенных в монографии Методы качественного анализа в динамике твердого тела (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера-Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений — расщепление сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования закрыли проблему Пуанкаре, поставленную им в Новых методах небесной механики (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры. [c.26]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Иевырождеппость периодических решений (5.1) задачи Эйлера-Пуансо, установленная в 1, позволяет рассмотреть задачу о расщеплении сепаратрис (5.2) при малых значениях параметра /х. [c.99]

Расщепление сепаратрис — типичная картина в фазовом пространстве возмущенной задачи. Однако в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой сепаратрисы расщепляются не всегда. Рассмотрим случай Гесса-Аппельрота, выделяемый условием [36] [c.105]

Расщепление сепаратрис и периодические решения. Предположим, что фазовый портрет певозмущеппой системы содержит петлю сепаратрис или пару сдвоенных сепаратрис. Оказывается, при малых значениях е ф д эти сепаратрисы, как правило, расщепляются (перестают быть сдвоенными), и это явление, обнаруженное Пуанкаре, приводит к появлению областей с квазислучайным поведением траекторий (см. [9, 10, 16]). Как показано в [17], расщепление сепаратрис тесно связано с рождением бесконечного числа пар различных долгопериодических решений, одно из которых эллиптическое, а другое — гиперболическое. [c.242]

В теореме о расщеплении сепаратрис утверждается, что функция 1 а) имеет на периоде два простых пуля (в которых I ф 0). Пусть о — простой пуль и l ao) > 0. Тогда периодические решения, о которых идет речь в теореме из работы [17], будут гиперболическими и, следовательно, неустойчивыми. Если же sI ao) < О, то получим бесконечное семейство эллиптических периодических решений. С помощью результата работы [11] С. А. Довбыш показал, что при выполнении дополнительного условия [c.245]

В задаче о быстром вращении тяжелого несимметричного волчка расщепленные сепаратрисы пересекаются, по-видимому, не всегда. Однако здесь применима теорема 4 из 2, с помощью которой можно установить отсутствие дополнительного аналитическо- [c.269]

Е. А. Ивин [67] методом расщепления сепаратрис доказал, что в общем случае обсуждаемая задача неинтегрируема. Точнее, он рассмотрел вращение твердого тела с ротором малой массы. Невозмущенной задачей является интегрируемая задача Эйлера [c.274]

Результат о расщеплении сепаратрис был ранее получен Ж. Марсденом и П. Холмсом [205] при дополнительных упрощающих предположениях в точном выражении функции Г амильтона отброшены некоторые слагаемые. [c.274]

Ясно, что невозмущенное стационарное поле скоростей имеет две гиперболические особые точки ( /За, 0), соединенные тремя парами сдвоенных сепаратрис (фазовый портрет системы изображен на рис. 8). Как показано выше, эти пары сепаратрис расщепляются и трансверсально пересекаются при добавлении малого возмущения еН = ехсозХЬ для почти всех значений Л. При малых е ф О вблизи расщепленных сепаратрис будем иметь острова с хаотическим поведением траекторий частиц жидкости. [c.279]

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 26. Здесь приняты следующие значения для диагональных элементов матриц А и В ai = 1/3, яг = 1/2, яз = 1 61 = 3, Ьг = 2, Ьз = 1- Видно, что условие (4.2) заведомо выполнено. На рис. 26, а изображены траектории в интегрируемом случае Стеклова, когда i = 3, сг = = 8, Сз = 1. Затем параметр i начинает увеличиваться. Рис. 26, б отвечает значению i = 5, а рис. 25 в — значению j = 10. Хорошо видно, что картина интегрируемого поведения фазовых траекторий начинает разрушаться как раз вблизи сепаратрис. По мере удаления от интегрируемой задачи стохастический слой около расщепленных сепаратрис начинает расплываться . На рис. 26, г изображена картина пересечения сепаратрис при следующих значениях параметров bi = 0,1, Ьг = Ьз = 0 i = 3, сг = 8, сз = 1. Ясно видно, что гетероклинная сеть пересекающихся сепаратрис повторяется с периодом тт. Это — следствие инвариантности задачи при подстановке m -m, р -р (ср. с п. 1). Результаты расчетов показывают, в частности, что условие (4.2) не является достаточным для интегрируемости уравнений Кирхгофа. [c.283]

Еще один способ обнаружения гомоклинной структуры предложен в [87]. Пусть а = а2 ф a-i, В = О, С = diag( i, 2, 3) и i = С2 -Ь е. При.е = О имеем интегрируемый случай Кирхгофа. В этой невозмущенной задаче имеются неустойчивые периодические траектории и гомоклинные решения. С помощью результатов 1 можно установить расщепление сепаратрис при малых ненулевых значениях е. В [150] рассмотрена более общая задача, в которой матрица С имеет недиагональные элементы порядка е. [c.286]

Функции lg встречались при анализе расщепления сепаратрис Г и Г" в 1. Отметим, что они аналитические и 2тг-периодические. Для случая гомоклинных движений их средние по периоду равны нулю. Однако в рассматриваемой ситуации это вовсе не обязательно. Необходимым условием непересечения возмущенных сепаратрис Г и Г является отсутствие перемен знака у функции Это условие предполагается выполненным. Более точно будем считать, что /1 О и /г 0. В этом случае картина расположения расщепленных сепаратрис именно та, что изображена на рис. 28 при малых положительных значениях е. При = О в окрестности точки Z2 можно выполнить такое каноническое преобразование Биркгофа ж, у - ,г], что (в новых переменных) Щ х,у) = Fo( ), С = и [c.289]

Довбыш С. А. Расщепление сепаратрис неустойчивых равномерных вращений и неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем., механ. —1990, К 3, 70-77. [c.419]

Зиглин С. Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Труды Моск. Мат. О-ва. —1980, т. 41, 287-303. [c.419]

Однако две кривые Г+ и Г", обе близкие к прямой МдНд, отнюдь не обязаны совпадать. В этом и состоит явление расщепления сепаратрис, коренным образом отличающее поведение траекторий укороченной и полной систем. [c.362]

Величина расщепления сепаратрис при малых е экспоненциально мала, поэтому явление расщепления легко пропустить при вычислениях по той или иной схеме теории возмущений . Однако это явление весьма важно в принципиальном отношении. Например, из его существования сразу следует рас-кодимостъ рядов многочисленных вариантов теории возмущений (так как если бы ряды сходились, расщепления бы не было). [c.362]

Эти две поверхности и есть сепаратрисы, о которых шла речь выше в утверждениях 4, 5, 6, стр. 360. При их пересечении с нашей трансверсальной площадкой получаются инвариантные кривые и Г отображения А. Эти две кривые при своем пересечении образуют запутанную сеть, о которой А. Пункаре, впервые обнаруживший явление расщепления сепаратрис, писал Пересечения образуют нечто вроде решетки, или ткани, или сетки с бесконечно тесными петлями ни одна из двух кривых никогда не должна сама себя пересекать, но она должна изгибаться столь сложным образом, чтобы пересечь бесконечное число раз все петли сети. [c.363]

При переходе от укороченной системы с гамильтонианом к полной сепаратрисы расщепляются подобно тому, как описано выше для резонанса порядка 3. Величина расщепления сепаратрис экспоненциально мала (порядка однако расщепление имеет принципиальное значение для исследования устойчивости, особенно в лшогомерном случае. [c.364]

Из этого вытекает, что движение тела будет вечно близким к комбинации движения Эйлера — Пуансо с азимутальной прецессией, исключая, однако, случай, когда начальные значения кинетической энергии и полного момента близки к таким, для которых тело может вращаться вокруг средней оси симметрии. В этом последнем случае, реализующемся лишь при специальных начальных условиях, вследствие расщепления сепаратрис вблизи средней осп возникает более сложное кувыркание около средней осп, чед1 в движении Эйлера — Иуансо. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...