Теорема Арнольда

Теорема (Арнольд — Мозер [179]). Если в автономной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно и в нормальной форме (195) [c.236]

Будем рассматривать случай, когда корни Oj, hi простые. Это, очевидно, эквивалентно случаю, когда первые интегралы независимы на своих совместных уровнях. По теореме Арнольда [4] эти уровни будут и-мерными торами, которые несут на себе условно-периодические решения. [c.219]

Новые переменные (рх,. .., (рп являются угловыми переменными на инвариантных п-мерных торах приведенной системы, равномерно изменяющимися со временем. Существование таких переменных вытекает из теоремы Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах. [c.220]

Теорема Арнольда о существовании [c.801]

Теорема Арнольда [80]. Если массы планет, эксцентриситеты и наклоны их орбит достаточно малы при некотором / = 0, то для большинства начальных условий движение планет имеет условно-периодический характер для всех вещественных значений времени —оо < / < оо ы мало отличается от лагранжева движения с подходящими начальными условиями. [c.840]

Таким образом, теорема Арнольда позволяет утверждать, что движения в планетной задаче устойчивы в смысле Лагранжа для большинства начальных условий не только в первом, но и в любом приближении. [c.841]

Замечание 2. Теорема Арнольда доказывается при условии, что области, в которых происходит движение каждой планеты, не пересекаются. Это условие необходимо и в классической теории возмущений. [c.841]

Теоремы Арнольда об устойчивости решения [c.841]

К НИМ, следовательно, применима теорема Арнольда об устойчивости в эллиптическом случае (см. 3.11). Таким образом, [c.847]

Теорема Арнольда об условно-периодических движениях 801 [c.859]

Теоремы Арнольда об устойчивости решения гамильтоновой системы 841, 842 [c.860]

Итак, обозначим через Р = Е < ) зависимость функции тока Р от потенциальной завихренности Тогда имеет место третья теорема Арнольда предположим, Е < ) удовлетворяет неравенству для малых возмущений [c.661]

Во многих приложениях при решении задачи об устойчивости теоремы Арнольда —Мозера недостаточно. Необходимо более полное исследование, когда условия (1.3), (1.4) не выполнены. [c.70]

Пусть теперь а Ь. Докажем устойчивость положения равновесия при выполнении этого неравенства. В тривиальном случае > = О устойчивость следует из теоремы Арнольда — Мозера, так как нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона (3.7) при > = О не содержит тригонометрических членов, а условие ] а О означает выполнение неравенства [c.76]

Если h (е) ф О, то говорят, что имеет место общий эллиптический случай. В условиях теоремы Арнольда — Мозера неравенство h (е) фО обнаруживается по коэффициенту при в многочлене [c.86]

Сформулированная теорема является простым обобщением теоремы Арнольда — Мозера на случай, когда исследование в гамильтониане (1.2) форм не выше четвертого порядка не может привести к строгим выводам об устойчивости положения равновесия Qi = Pi = О системы (1.1). [c.86]

Тогда, согласно теореме Арнольда — Мозера об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы (см. главу 4), исследуемое периодическое движение (5.15) будет устойчиво. Если Ж (Q , — й , 0) = О, то вопрос об устойчивости членами этого порядка не решается. [c.230]

Теорема. (В. И. Арнольд, 1984). В окрестности точки складки проектирования медленной поверхности системы общего положения с двумя медленными и одной быстрой переменной семейство интегральных кривых уравнения медленных движений расслоенным диффеоморфизмом медленной поверхности приводится к одной из следующих нормальных форм [c.177]

Теорема 1.5 (В. И. Арнольд). Пусть [c.42]

П.З. Теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера [c.361]

П.З. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА — АРНОЛЬДА — МОЗЕРА 363 [c.363]

В последнее время появились некоторые новые результаты, которые серьезно активизировали исследования в этой области. Прежде всего надо назвать чисто аналитические результаты. Они содержатся в теореме, сформулированной Колмогоровым в 1954 г. и доказанной Арнольдом и независимо Мозером в 1963 г., поэтому обычно эту теорему кратко называют КАМ-теоремой ). Речь идет о результате теории возмущений, относящемся к следующей задаче. Рассмотрим интегрируемую систему, описываемую гамильтонианом Нд (/). Она характеризуется набором торов, покрытых эргодическими траекториями. Попытаемся ответить на вопрос, что произойдет, если вводится малое возмущение, т. е. если теперь рассматривается система с модифицированным гамильтонианом [c.363]

Независимо теорема КАМ была доказана Арнольдом и Мозером] [c.389]

В случае двух степеней свободы при выполнении неравенства (7) имеет место устойчивость по Ляпунову (теорема Арнольда-Мозера 24]). Отметим егце, что если система (1) неавтономна, то условие ее устойчивости для больгиинства начальных условий сводится к неравенству (6). [c.117]

Теорема Арнольда. Пусть гамильтониан H(p,q) = Я (ро, р., Яо, g ) зависит от параметра ц (О < р, [c.801]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

А. М. Леонтович, опираясь на общие теоремы Арнольда (см. 3.11), доказал, что для всех значений масс гПо и гп, удовлетворяющих условию (10.3.37), кроме, быть может, множества лебеговой меры нуль, лагранжево треугольное решение ограниченной круговой задачи трех тел устойчиво [82]. [c.844]

Теорема 12.3.1 (теорема Арнольда). Для данных чисел с>О, г> I, существует такое е>0, что если число а (с, й)-диофантово (см. определение 2.8.1), и — аналитическая в кольце А = г еС /г < г < г функция, и(г) < е на А , а отображение г) = е г-Ь (2) сохраняет единичную окружность 5 и его число вращения равно а на 5 , то / аналитически сопряжено к преобразованию поворота на угол а. [c.410]

Теорема Арнольда впервые появилась в [21] и положила начало важному направлению в исследованиях. Мозер (например, в [215], [216]) и Рюсмаи получили аналогичные результаты для случая конечной дифференцируемости. Конечно, требуемая степень дифференцируемости и допустимый размер возмущения зависят от ограничений снизу иа скорость приближения числа вращения рациональными числами. Например, для почти всех чисел вращения Рюсмаи предполагает лишь гладкость порядка Арнольд выдвинул гипотезу, что любое анали- [c.731]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

Теорема Арнольда—Мозера об устойчивости гамильтоновой системы с одной степенвю свободы в общем эллиптическом случае [c.58]

V можно взять в этом случае функцию Гамильтона Я). Пусть, однако, Яг не является знакоопределенной квадратичной формой, но система (1.1) устойчива в первом (линейном) приближении. Тогда при некоторых ограничениях на частоты со , сОг линейной системы и на коэффициенты форм Яз и Нц вопрос об устойчивости можно решить при помощи следующей теоремы Арнольда — Мозера [2, 3, 72]. [c.69]

Исследуем теперь устойчивость положения равновесия системы (1.1), когда не вылолняется условие (1.4) теоремы Арнольда — Мозера. Сначала рассмотрим пример (см. [57]), показываюш ий, что при невыполнении этого условия устойчивость положения рав новесия может быть разрушена членами сколь угодно высокого порядка в разложении функции Гамильтона (1.2). [c.85]

Таким образом, применив в рассматриваемой задаче результаты Арнольда и Мозера по теории гамильтоновых систем, Депри показали [111J, что треугольные точки либрации устойчивы при всех ц из области (2.2), кроме, быть может, трех значений (i = = 1,2, 3), при которых неприменима теорема Арнольда—Мозера. [c.128]

Далее, для геодезического потока на многообразиях отрицательной кривизны всегда реализуется первая из двух возможностей альтернативы для потоков Аносова (см. п. 2.3). А именно, поток -S перемешивает. Это утверждение можно вывести из одной теоремы Арнольда или доказать прямыми рассуждениями (см. [42]). Теперь описание топологических и эргодичес- [c.158]

Для иллюстрации этого утверждения приведем формулировку теоремы В. И. Арнольда [52], установленной им для двухчастот-ной системы вида (9(у (м = 2). [c.42]

Принциниальпым является вопрос о сходимости последовательности канонических нреобразований. В классической постановке (применительно к рядам, представляющим решение, а пе к последовательностям преобразований) этот вопрос рассматривался Пуанкаре [12], который получил отрицательный результат. Другие авторы фактически уточняли результаты Пуанкаре. В метрической концепции оказалось возможным доказать сходимость последовательности канонических преобразований. Основные результаты в этом направлении получили В. И. Арнольд 86] для гамильтоновых систем и Ю. Мозер [121] для уравнений -В частных производных эллиптического вида. Пе имея возможности излагать в полном объеме теоремы указанных авторов, рассмотрим два существенных момента в вопросе о сходимости канонических нреобразований (259). [c.245]

Каданова теория критический явлений I 371 КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера) теорема II 361 Канонические преобразования I 24, 30, 55, 65 Канонический ансамбль I 140 Канонически сопряженные переменные I 20 Каца потенциал I 336 Кинетический оператор эволюции II 178, 192 [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...