Функция Лагранжа приведенная

Замечание 8.11.1. Система уравнений Эйлера в приведенном виде совпадает по форме с системой уравнений Лагранжа второго рода. Однако по смыслу в уравнениях Лагранжа функция Лагранжа должна удовлетворять обязательному условию невырожденности по обобщенным скоростям. Вместе с тем в уравнениях Эйлера, применяемых для решения задач на экстремум функционера, аналогичное условие невырожденности подынтегральной функции относительно первых производных может не выполняться. Кроме того, в уравнениях Эйлера под t следует понимать любую независимую переменную (не только время). [c.601]

Приложение этих уравнений к циклическим системам, которое и имел в виду Раус при их выводе, заключается в следующем. Мы принимаем, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно (согласно стр. 262), не входят в функцию Лагранжа в таком случае они не входят также и в функцию Рауса. Вследствие этого, соответствующие pk оказываются постоянными (согласно верхнему уравнению из правой группы уравнений Рауса или так же, как мы уже замечали на стр. 263, согласно уравнениям Лагранжа). Подставляя эти постоянные значении pk и соответствующие им (вообще говоря, не постоянные) значения qk в выражение (42.2), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы Qk и от qk. Для этих координат справедлива левая группа приведенных уравнений (42.5), благодаря чему задача сводится к / — г уравнениям типа Лагранжа. [c.298]

Легко видеть, что в этом случае исключение циклических координат q t.= , 2,, т) введет в приведенную функцию Лагранжа 2 некоторое число линейных относительно qf h = m- -I,. .., п) членов, которые имеют гиростатический характер. [c.304]

Приведенная функция Лагранжа на основании формулы (56) определится равенством [c.305]

Так как приведенная функция Лагранжа (гл. V, п. 46) имеет здесь вид [c.413]

Функцня I, которую автор называет приведенной функцией Лагранжа, называется также функцией Рауса. [c.419]

Этот иной способ рассмотрения приводит нас к системе, состоящей из материальной точки, имеющей массу, равную сумме масс первоначальных материальных точек, и расположенной в центре их масс, и из материальной точки, имеющей приведенную массу системы и лежащей в точке г = (Г2 — Гх). Однако этот прием является искусственным. Его смысл состоит в том, что при обычно осуществляющихся ограничениях член функции Лагранжа, равный потенциальной энергии, разбивается на два слагаемых подобно тому, как это имеет место в равенстве (4.5). Тогда мы имеем [c.39]

Результаты, изложенные в этом разделе с помощью методов Лагранжа и Гамильтона, в своей сущности тождественны результатам, приведенным в предыдущих разделах. Следует, однако, отметить, что при такой ковариантной форме записи требуются значительно более простые исходные выражения. Функция Лагранжа, определенная формулой (10.37), является одним из наиболее простых скалярных выражений, которые можно составить при этом мы предполагаем, что данная функция зависит от таких величин, как Хц, Пц и Лд. Такая точка зрения оказалась весьма полезной при изучении более сложных систем. В следующей главе в связи с этим будут рассмотрены элементы теории поля. [c.149]

Итак, получена система дифференциальных уравнений (2.7) и (2.15), описывающая оптимальное движение ТМ в промежуточные моменты , т < I < Ьр. Анализ (2.15) дает повод считать, что режим оптимального движения ТМ допускает интерпретацию в виде движения ТМ в некотором потенциальном поле, причем функция Лагранжа равна мощности У. Задача 2.2 требует приведения ТМ в состояние [c.164]

Приведение к одной степени свободы. Интегрирование случая Лагранжа наиболее просто производится с помощью углов Эйлера в,(р,гр и сопряженных им канонических импульсов р51,Действительно, записывая функцию Лагранжа (см. (4.28) гл. 1), находим, что переменные (р,ф циклические, а соответствующие им импульсы — интегралы движения [c.102]

Воспользуемся выражением плотности функции Лагранжа для упругого стержня, приведенным в книге Лича [78] [c.107]

Применим первый из указанных способов для приведения к гамильтоновой форме уравнений движения непотенциальной системы, динамика которой определяется функцией Лагранжа [c.160]

Трансляционное движение является свободным, полностью задается формулой (16) из 6.1.3 и не представляет поэтому дальнейшего интереса, внутреннее же движ,ение оказывается описываемым такой же функцией Лагранжа 1и- как для движения одной материальной точки с приведенной массой р. во внешнем поле и г). [c.52]

Вернемся теперь к задаче двух тел. В 8 мы отделили в ней движение центра инерции и установили некоторые асимптотические соотношения. Теперь нам надлежит заняться оставшейся задачей об относительном движении. Она эквивалентна задаче о движении одной частицы с приведенной массой р, в центрально-симметричном поле и г), или, как кратко выражаются, задаче о движении в центральном поле. Соответствующая функция Лагранжа имеет, согласно 8, вид [c.62]

Обратимся к приведенному выше примеру (рис. 4.10) и воспользуемся уже построенной функцией Лагранжа (4.102). Циклическими координатами здесь будут углы 61 и 9а. Следовательно, [c.231]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Уравнения (9,4) и (9,5) называют дифференциальными уравнениями движения агрегата (машины), они также могут быть получены из уравнения Лагранжа второго рода, так как Р и М являются обобщенными силовыми параметрами, а s и ф—обобщенными координатами. Обычно их интегрируют численно или графически и получают таблицу одной из функций, определяющих закон движения, например ф=ф( . Численное или графическое дифференцирование этой функции позволяет определить законы изменения других кинематических параметров, определяющих закон движения звена приведения. [c.304]

Применяя теорему Лагранжа к приведенной системе, мы фиксировали постоянные значения циклических импульсов р —р1(р. = т- -, . .., п). Однако критерий сохраняет свою силу и при варьировании импульсов р1. Для того чтобы -установить это, достаточно в качестве функции Ляпунова взять интеграл движения [c.289]

Вполне присоединяясь к приведенным выше замечаниям, мы предлагаем следующее толкование вывода, полученного Лагранжем если в формулах, дающих значения х, у, л, мы будем рассматривать а, [i, у как заданные функции х, у, z, а (i), ф, ij/— как произвольные переменные, то это приведет к рассмотрению всех движений системы, при которых деформация к концу бесконечно малого промежутка времени останется одной и той же ибо если, например, определить производную расстояния двух точек системы но времени, то можно легко установить, что эта производная совершенно не зависит от произвольных величин <о, <р, ij) и, следовательно, сохраняет одну и ту же величину, когда эти произвольные величины принимают любые возможные значения. Стало быть, теорема Лагранжа может быть выражена следующим образом. [c.374]

Приведенное предложение играет основную роль в большом количестве применений. Рассмотрим, в частности, проблему бесконечно малых колебаний метод, которым пользовался Лагранж, сводился к тому, что все переменные, от которых зависит положение системы, выражаются в функции новых переменных [c.579]

Приведение уравнений Лагранжа второго рода к системе уравнений первого порядка. Система S совместных уравнений второго порядка (32.42) относительно s неизвестных функций времени может быть заменена системой 2.S совместных уравнений первого порядка, содержащих 2s неизвестных функций времени. С этой целью мы обратимся к уравнениям (32.40) и выразим множители и входящие в величины через q , и t, так, как это было указано выше затем решим полученные таким образом уравнения относительно ускорений тогда мы придём к уравнениям вида [c.334]

Уравнения (9) очень похожи на обычные уравнения Лагранжа II рода и отличаются от них по форме лишь наличием добавочной силы Di, которая включает в себя не только обобщенную реактивную силу Р,-, включающую импульсную, кориолисову и силу инерции относительного движения, но и группу членов, учитывающих изменение массы в функции разных переменных. Кроме этого, Б уравнениях (9) кинетическая энергия включает в себя массу, изменяющуюся в зависимости от параметров qi, приведенных масс механизма сильно усложняет и запутывает задачу. Рассмотрим другой вид уравнений Лагранжа для систем с переменными массами, используя идею затвердевания системы. Покажем, как в данном случае использование затвердевшей системы избавляет от громоздких вычислений, связанных с составлением уравнений движения. [c.16]

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного функцио- [c.142]

Не смущаясь приведенными выше парадоксами, ученые сумели правильно получить, по крайней мере качественно, лобовое сопротивление и подъемную силу, оставаясь в рамках уравнений движения Эйлера. Вся хитрость заключается в том, чтобы избежать употребления гипотезы (D), которую применяли Эйлер и Лагранж, а это можно сделать, используя разрывные и многозначные потенциалы. (Такие функции, правда, часто рассматриваются практиками как патология ) [c.29]

Переменные хо, уо, го и 1 называют переменными Лагранжа. Совокупность приведенных функций (3.1) описывает траектории движений частиц жидкости. Из уравнений (3.1) можно найти проекции на координатные оси скоростей и ускорений всех жидких частиц. Если обозначить через и вектор скорости жидкой частицы, то проекции скоростей [c.57]

Все приведенные выше уравнения движения твердого тела могут быть записаны и в форме уравнений Лагранжа. Чтобы составить уравнения Лагранжа второго рода, следует определить кинетическую энергию тела, обобщенный потенциал и диссипативные силы как функции независимых переменных. Используя соотношения (4.64), (8.4) и учитывая, что Г =0, найдем [c.342]

Следует отметить, что приведенные соотношения могут быть получены также дедуктивным путем из квантовой электродинамики [2.13-1]. При этом следует исходить из поля Дирака, взаимодействующего с электромагнитным полем. Путем соответствующего преобразования позитронная компонента отделяется, а применение формализма Лагранжа позволяет сформировать функцию Гамильтона с электронной компонентой метод включает последовательное разложение величин по степеням элементарного заряда и обратной скорости света в вакууме. Применение квантования поля для этой [c.181]

Самый общий случай, в котором для уравнений Лагранжа можно подобрать множители М1(д1,. .., д ), с помощью которых можно составить такую комбинацию левых частей уравнений Лагранжа, которая была бы полной производной некоторой функции V, линейной относительно скоростей д[,. .., может быть приведен переходом к новым переменным к случаю системы, содержащей несущественную координату дг, когда все множители, кроме одного Мг, равны нулю, а Мг равен единице. [c.55]

Оказывается, что интеграл типа Лагранжа существует для почти всех задач динамики твердого тела, представляющих теоретический интерес, а его наличие приводит к интегрируемым случаям, как правило, имеющим важное прикладное значение. Например, аналог случая Лагранжа для уравнений Кирхгофа был указан самим Кирхгофом, который также проинтегрировал его и указал наиболее простые движения. Для уравнений Пуанкаре-Жуковского (на во(4)) аналог случая Лагранжа указал Пуанкаре для обоснования своих теоретических выводов относительно прецессии оси вращения Земли. В двух указанных случаях, как и в классической задаче Лагранжа, можно получить явную (эллиптическую) квадратуру для угла нутации в, определяемую гироскопической функцией, а также использовать все результаты качественного анализа движения, приведенные нами в 3 гл. 2. [c.232]

Для итегрирования уравнений движе (ия с помощью Программы, приведенной в 3.4, необходимо подготовить текст подпрограммы TUQ, позволяющей но. заданным значениям q , <7/, Т вычиащть значения кинетической энергии, функции Лагранжа TU = Т П и обобщенных сил Q . Подпрограмма должна быть офорьшена в виде, представленном на рис. 10. [c.73]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле. [c.414]

Приведенное утверждение очевидно. Во-первых, из уравнений (8) следует, что скорость системы тем больше, чем больше grad W, т. е. больше там, где W-nonepxiio TH сближаются, или, что то же салюе, где мало значение и. Во-вторых, величина IV представляет собой, по определению, интеграл по времени от функции Лагранжа, вследствие чего эта величина изменяется во время движения (за время dt на (Т — V) dt), так что мы не можем все время сопоставлять точке, изображающей систему, одни и те же W-поверх-пости. [c.683]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Составим уравнения Лагранжа для каждой из двух частей машины, разделенных упругим звеном. Часть, связанная с двигателем, имеет приведенный момент инерции /д(дд), являюш ийся периодической функцией с периодом 2ягд вторая часть агрегата имеет приведенный момент инерции /м( м), имеюш ий период 2лг . Момент Ма является движущим моментом для исполнительных механизмов, а момент —Ма — моментом сил сопротивления для двигателя. Момент создается силами, действующими на звенья исполнительных механизмов естественно поэтому, что он может считаться функцией q и представленной в форме (3.34). Учитывая все это, составляем уравнения Лагранжа. Используя выражения (3.30), (3.36) и (3.37), получаем [c.52]

В нашу задачу входит составление уравнения движения для указанного механизма с учетом переменности масс и трения в кинематических парах, а также выражение всех переменных величин в функции угла поворота звена приведения. Так как это звено связано со стойкой вращательной кинематической парой, то, принимая во внимание переменность передаточных отношений, масс и приведенных моментов, учитывая также указанные выше допущения, уравнение движения выразим в форме уравнения Лагранжа второго рода сР <р о4с1 ] [c.46]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Таким образом, метод приведения сил и масс позволяет свести задачу о движении многозвенного механизма, нагруженого многими силами и моментами сил, к движению одной точки В или звена АВ (см. рис. 6,2.4), При составлении уравнений движения механизма эти функции т к Jj, можно подставлять лишь в уравнения, содержащие кинетическую энергию. Обычно используют либо уравнение кинетической энергии, либо уравнение Лагранжа второго рода. [c.490]

В зависимости от характера параметров конструкции, варьируемых в процессе оптимизации, модели оптимизации можно отнести к двум классам. В моделях параметрической оптимизации варьируемые параметры рассматриваются как величины, имеющие постоянные значения для всей конструкции. Для этого наиболее простого класса моделей оптимизации поиск оптимума конструкции сводится к анализу и упорядочению однозначно определяемого моделью оптимизации множества точек конечномерного вещественного пространства. В моделях оптимального управления, в отличие от моделей параметрической оптимизации, варьируемые параметры (или часть из них) рассматриваются как функции, имеющие в общем случае кусочногладкий характер. Исторически изучение этого класса моделей ОПК началось задолго до появления моделей параметрической оптимизации (работы Г. Галилея, Ж. Лагранжа, Т. Клаузена, Е. Л. Николаи и др.), однако применение их в задачах ОПК из композитов началось сравнительно недавно (см., например, [3, 11]). Поскольку основное содержание данной книги посвящено моделям параметрической оптимизации оболочек из композитов, мы не будем далее касаться вопросов, относящихся к моделям оптимального управления. Необходимую информацию читатель может почерпнуть из монографий [И, 137] и работ, приведенных в библиографических ссылках к этим книгам. [c.10]

После того, как мы нашли силы Q и составили выражение функции и, позволяютцее определить посредством (1.15) силы деформации пневматиков и, следовательно, силы реакции, действуюгцие на баллонное колесо со стороны дороги, нам известны все силы, действующие на рассматриваемую систему. Для системы, освобожденной от кинематических связей (1.14) с заменой их соответствующими силами реакции, уравнения движения записываются в виде обычных уравнений Лагранжа 2-го рода. При этом существенным является то, что после приведения сил деформации -го пневматика к точке /Сг, положение которой определяется через обобщенные координаты Я] и = 1,2,..., п)у уравнения Лагранжа 2-го рода следует составлять лишь для координат используя уравнения кинематических связей для выражения сил реакций. Найдем выражения обобщенных сил R ( , ф, %) реакций кинематических связей, обусловленных деформацией пневматиков. Для этого составим выражение виртуальной работы сил и моментов (1.15) [c.324]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...