Лагранжа уравнения второго

Лагранжа уравнения второго рода 19, 394, 397 и д., 630 и д. [c.639]

Лагранжа уравнения второго рода 302, 303 [c.333]

Лагранжа уравнения второго рода 451, 468,485,486 [c.636]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Уравнения Лагранжа II рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций q,, q ,. .. q . [c.396]

Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме (29)) равен 2п. Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать 2п начальных данных. Этими начальными данными являются значения п координат qi, q и п скоростей (ji,. .., q в начальный момент t = t . [c.141]

Уравнения (1 ) называются уравнениями Лагранжа второго рода ) При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы. Система (1 ) состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.472]

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные коорди наты Qu Qi, , как функции времени и 2s произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.19) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени t и 2s произвольных постоянных интегрирования. [c.60]

Следствие 8.4.1. С использованием функции Лагранжа уравнения Лагранжа второго рода принимают вид [c.556]

Из (30) получим уравнения Лагранжа второго рода, или просто уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода — уравнения с неопределенными множителями Лагранжа — получены для одной точки в 8 гл. 1. Уравнения Лагранжа первого рода можно получить и для системы. [c.393]

Уравнения Лагранжа составляют систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций q-, (1), Но эту систему уравнении можно преобразовать в эквивалентную систему уравнений первого порядка относительно 2п функций — обобщенных координат и обобщенных импульсов p . [c.402]

Система (1.22) состоит из 3 дифференциальных уравнений второго порядка. В эти уравнения как неизвестные входят 3/г координат точек системы и й + / множителей Х, и рз. Для определения этих неизвестных следует присоединить к уравнениям (I. 22) уравнения геометрических и кинематических связей вида (1.2), (1.4). Количество уравнений связей равно й + . В случае односторонних связей неравенства не следует рассматривать, так как при освобождении точек системы от какой-либо односторонней связи соответствующий множитель Лагранжа становится равным нулю. [c.30]

В результате получим систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Интегрируя их, найдем решение задачи о движении несвободной системы материальных точек. После этого множители Лагранжа определяются как некоторые функции времени. Зная множители Лагранжа, найдем реакции связей, пользуясь формулами (1.18а) и (I. 18Ь). [c.31]

Подставляя в уравнения (11.200) функцию Лагранжа L и функцию рассеяния Я, получим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка [c.257]

Эта задача в общем случае решается посредством интегрирования нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, вытекающего из дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода. Имеем [c.275]

К аналогичным результатам можно прийти, исходя из системы уравнений Лагранжа второго рода, так как систему дифференциальных уравнений второго порядка всегда можно заменить эквивалентной системой уравнений первого порядка. [c.329]

В общем случае кинетическая энергия системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени и поэтому ее частные производные по qi и qi будут функциями тех же переменных. Так как частные производные кинетической энергии но обобщенным скоростям дифференцируются еще раз по времени, то левые части уравнений Лагранжа будут содержать обобщенные координаты, их первые и вторые производные по времени д , qi, ij,. Следовательно, эти уравнения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат. [c.303]

Уравнение движения подвижной системы, на основании решения уравнения Лагранжа (1. 97), имеет вид однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами [c.99]

Затухающие колебания. Рассмотрим уравнения движения подвижной системы, совершающей затухающие колебания, для случая, когда силы сопротивления пропорциональны скорости д в первой степени. Этот случай колебаний представляет наибольший интерес, так как он имеет место в большинстве механизмов с успокоителями. Обозначая силу сопротивления через Р — (д) и учитывая, что она направлена в сторону, противоположную скорости движения подвижной системы, из уравнения Лагранжа получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэ ициентами [c.100]

Эти уравнения проще, чем написанные для той же задачи уравнения Лагранжа [см. уравнение (12) на стр. 348], так как в каждом из них содержится 7+1 членов вместо гпт - = р членов в уравнениях Лагранжа. Уравнения (10) осложнены только коэффициентами и появляющимися в связи с необходимостью рассматривать те перемещения, для которых работа реакций связей второго рода равна нулю, и нисколько не обусловленными неголономными связями. [c.354]

Так как они являются уравнениями второго порядка, то для однозначного определения движения системы необходимо задать начальные значения всех п координат q-, и всех п производных qi. В этом смысле координаты qi и скорости qi образуют полную систему 2п независимых переменных, необходимых для описания движения системы. Поэтому метод Лагранжа (в нерелятивистской механике) может рассматриваться как метод описания системы посредством обобщенных координат и скоростей. В методе, к которому мы сейчас переходим, независимыми переменными будут обобщенные координаты qi и обобщенные импульсы pi, определяемые равенствами [c.240]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Резюме. Принцип Гамильтона приводит к системе дифференциальных уравнений второго порядка — уравнениям движения Лагранжа. Эти уравнения обладают замечательным свойством инвариантности относительно произвольных преобразований координат. [c.145]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно позиционных координат qi. Однако, введя в качестве промежуточных величин импульсы [c.195]

Мы попросту назвали некоторую совокупность величин импульсами с целью упростить форму записи уравнений Лагранжа. Однако введение pi привело к замене первоначальной системы из п дифференциальных уравнений второго порядка системой из 2п дифференциальных уравнений первого порядка, а именно из уравнений (6.3.1) и (6.3.2). Введение р,- привело к тому, что для записи уравнений не требуются производные выше первого порядка. Эта процедура аналогична тому, как в векторной механике, определив импульс как произведение массы на скорость , мы заменяем произведение массы на ускорение на скорость изменения импульса . [c.195]

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются каноническими уравнениями . [c.197]

Покой есть частный случай движения. Та часть механики, которая его рассматривает, называется статикой. Для перехода к случаю покоя мы должны предположить, что начальные скорости равны нулю, что связи Ф = с, т) = е,. .. не зависят от времени и что действующие силы таковы, что вызываемые ими ускорения обращаются в нуль. О таких силах говорят, что они находятся в равновесии. Как условие равновесия найдем из уравнений Лагранжа (17) второй лекции [c.31]

Лагранжа уравнения второго рода 256, 271 Ламповый генератор 129—131 Линейные осцилляторы 46—53, 77—90 Линия скачка 133, 134 Логарифмический декремент затухания 84—85 Льенара метод 74, 75 [c.296]

Выражение (4.13) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно обобщеннон координаты q и называется дифференциальным уравнением движения механиз1ма. Оно может быть также получено из уравнения Лагранжа второго рода. [c.123]

Систему S дифференциальных уравнений (125.6) называют урт-нсниями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q , q , q . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах [c.343]

Следовательно, общий случай сводится к интегрированию N — г дифференциальных уравнений второго порядка, по внещ-нему виду напоминающих дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода. Как видно из предыдущего, метод Раута позволяет исключить циклические скорости из уравнений Лагранжа второго рода. [c.350]

Ураппения (11) называются уравнениями Лагранжа второго рада ). Опи образуют систему п уравнений второго порядка от[юси-тельсю п функций qi t). Порядок этой системы равен 2п. Заметим, что это наименьший возмо7кный порядок дифференциальных урав-понпп движения рассматриваемой системы, так как начальные знамения величин б/i, ( = > 2,. .., п) могут быть произвольными. [c.228]

Уравнения Лагранжа представляют, таким образом, систему дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих переменные д в функции от t. Эту систему можно было бы сразу же привести к другой системе 2к уравнений первого порядка, принимая д за вспомогательные неизвестные функции. Но к тому же результату, только в гораздо более удобной для приложений форме, можно прийти, принимая за вспомогательные неиз- [c.231]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Две материальные точки с массами mi и пи. связаны нитью, ijpaxo-дящей через отверстие в гладком столе , причем гп находится на поверхности стола, а m2 — ниже этой поверхности. Предполагая, что Шг движется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнения Лагранжа для нее Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, получите его первый интеграл. Каков его физический смысл (Движение рассматривается лишь до тех пор, пока масса mi или гпг не пройдет через отверстие.) [c.40]

Гамильтон (1805—1865). Совершенно новый мир, скрывавшийся за достижениями Лагранжа, открылся в исследованиях сэра Уильяма Роуанн Гамильтона. Уравнения Лагранжа были довольно сложными дифференциальными уравнениями второго порядка. Гамильтон сумел преобразовать их в систему дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным числом переменных позиционные координаты и импульсы рассматривались при этом как независимые переменные. Дифференциальные уравнения Гамильтона линейны и разрешены относительно производных. Это простейшая и наиболее удобная форма, к которой могут быть приведены уравнения вариационной задачи. Отсюда название канонические уравнения , данное им Якоби. [c.391]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...