Интегралы их обобщения

Используя формулу (19), легко вычислить нормировку обобщенных сферических функций и другие интегралы от их произведения [c.227]

Здесь обобщенный функциональный символ на данной стадии должен включать в себя не только алгебраические комбинации переменных (зависящих от времени), их временные производные и интегралы, но [c.97]

Предполагаем, что все записанные интегралы существуют. Формулы (5.127)—(5.129) представляют собой обобщение формул (5.22)— (5.24) на случай ненулевых начальных условий. Не требуем выполнения условий нормировки типа t/(l 0) = 1, поскольку в дальнейшем их не используем. Во втором интеграле (5.128) / зг / > О, так что расходимость интеграла при Iq О также не служит ограничением. [c.200]

Второе слагаемое в левой части описывает свободное движение частиц, а третье — их взаимодействие через среднее поле. Правую часть уравнения (3.1.10) можно назвать обобщенным интегралом столкновений. [c.166]

Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвелловское распределение (5.4). [c.125]

Уравнение Гейзенберга (2) и уравнение (9), на котором основана теория сверхпроводимости, обнаруживают очень близкое сходство. Соответственно, и в теории Гейзенберга, в случае притяжения между первичными частицами, происходит спонтанное нарушение симметрии в результате образования куперовских пар первичных частиц и их бозе-конденсации с появлением параметра порядка, подобного (8). К этому выводу ведет применение к уравнению (2) стандартного аппарата теории сверхпроводимости, которое дает соотношения, представляющие собой релятивистское обобщение обычных сверхпроводящих формул. Необходимо только провести обрезание расходящихся интегралов на некоторой предельной энергии. Любопытно отметить, что аналогичное обрезание имеется и в обычной теории сверхпроводимости, где оно имеет прямой физический смысл, отвечая предельной энергии (энергии Дебая) фононов, переносящих взаимодействие между электронами. Этот механизм спонтанного нарушения симметрии (называемый далее для краткости механизмом БКШ) решает важную проблему массы первичной частицы. Как уже отмечалось в п. 3, требование максимальной симметрии фундаментального уравнения (2) ведет к отсутствию в нем массового члена, неинвариантного относительно масштабного и 75-преобразований. С другой стороны, то же требование означает, что взаимодействия первичных частиц должны обладать максимальной симметрией. Поэтому отсутствие массы у первичной частицы было бы серьезной трудностью для программы Гейзенберга — единственная известная нам частица с массой нуль и со спином 1/2 (нейтрино) не участвует в наиболее симметричном сильном взаимодействии. [c.185]

Теорема 1 допускает (с некоторыми уточнениями) обобщение на системы с n > 2 степенями свободы. Предположим, что все точки множества Д расположены на / n прямых, проходящих через начало координат, причем их направляющие векторы линейно независимы. Тогда можно утверждать, что гамильтонова система с функцией Г амильтона i/o + имеет п однозначных аналитических интегралов, независимых при всех достаточно малых значениях е, в том и только том случае, когда эти I прямых попарно ортогональны (в метрике (, )). При I = 1 система, очевидно, интегрируема. [c.215]

Можно указать простые необходимые условия однозначности общего решения систем с экспоненциальным взаимодействием (их частный случай — обобщенные цепочки Тоды из п. 1) и связать их с наличием дополнительных полиномиальных интегралов. Рассмотрим гамильтонову систему с функцией Г амильтона [c.355]

Если массовые силы отсутствуют или постоянны, то при решении плоских статических задач теории упругости (задач о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии) часто пользуются функцией напряжений Эри (если массовые силы отличны от нуля, то их вклад в решение может быть учтен дополнительно при помощи принципа суперпозиции путем нахождения частных интегралов системы линейных дифференциальных уравнений). [c.210]

Под общими законами динамики понимаются законы изменения количества движения, момента количества движения и кинетической энергии, а также различные условия, при выполнении которых из этих законов могут быть получены интегралы движения. Несмотря на значительные успехи аналитической механики, общие законы динамики и получающиеся из них интегралы движения играют до настоящего времени очень важную роль. Н. Е. Жуковский в своих исследованиях широко использовал общие законы динамики. В 1893 г. была решена сложная задача о движении без скольжения по горизонтальной плоскости полого шара с гироскопом внутри. В 1897 г. С. А. Чаплыгин указал на ряд новых условий, при выполнении которых имеют место интегралы движения, представляющие собою обобщение известных интегралов сохранения количества движения и момента количества движения. Одновременно он проиллюстрировал их применение на ряде систем, состоящих из нескольких катающихся и скользящих друг по другу твердых шаров. В 1903 г., опираясь на найденное им обобщение закона сохранения момента количества движения (теоремы площадей), С. А. Чаплыгин дал блестящее решение общей задачи о катании симметричного шара по горизонтальной плоскости. [c.48]

Отметим, что добавление в систему (3.1) постоянного гиростатического момента, т.е. построение обобщения задачи Жуковского-Вольтерра, не приводит к новой интегрируемой задаче уже при п = — 1. Вообще, вопрос о других возможных обобщениях счетного семейства интегралов /4 (например, на во(4), гиростат и пр.) пока не является решенным. Возможно, что их просто не существует. [c.204]

Отметим, что линейные интегралы в общих уравнениях динамики твердого тела вокруг неподвижной точки изучались Д. Н. Горячевым в работе [62]. В ней он привел три типичные рассмотренные ниже возможности, которые, в некотором смысле, являются единственными (доказательство последнего, видимо, не является простым). В 3, 4 соответствующие редукции применены к линейным инвариантным соотношениям, систематическое введение которых в динамику принадлежит Т. Леви-Чивита, который также пытался использовать их в динамике твердого тела (наряду с небесной механикой) [ИЗ]. Однако наиболее явное и значительное развитие идей Леви-Чивита получается при рассмотрении инвариантных соотношений типа Гесса, которые, как оказывается, имеются у многих родственных задач динамики твердого тела. В этом случае также существует некоторая циклическая переменная, возможно понижение порядка и имеется аналогия со случаем Лагранжа и его обобщениями. Из нее, в частности, вытекает ряд качественных особенностей движения обобщенных случаев Гесса (например, наблюдение [c.221]

Такие функции следует считать обобщенными функциями, и их дельтаобразный характер будет проявляться в связанных с ними интегралах. При этом уравнение (6.28) показывает, что предельный переход при v -> оо для таких величин эквивалентен замене процесса z ( f) на гауссовский дельта-коррелированный процесс. Эта ситуация совершенно аналогична аппроксимации гауссовского случайного процесса с конечным радиусом корреляции То дельта-коррелированным процессом при Tq 0. [c.72]

КИМ выражениям для интегралов от этих функций по объему элемента. (Явные формулировки для квадратичных элементов можно найти в [10.4] и [10.51, а для элементов с кубическим полем перемещений в [10.61.) Элементам Т48 уделяется внимание из-за их эффективности при решении прикладных задач и из-за того, что на их примере демонстрируются операции, которые нужно выполнить, если перемещения записываются в терминах обобщенных координат, а не в виде функций формы. [c.312]

В попытках решить проблему момента импульса Тамбурнно и Ви-никур [71] предложили обобщение интеграла Комара (см. Введение), позволяющее определить момент импульса через так называемые интегралы зацепления (linkage). Их обобщение состоит в следующем [c.166]

Если t обобщенных координат будут циклическими, то из i первых интегралов (61.42) можно определить i обобщенных скоростей qh k=, . .., i) и подставип, их в функцию Лагранжа. Тогда функция L зависит от 5—i переменных qu и, следовательно, общее число дифференциальных уравнений движения уменьшается, что упрощает задачу интегрирования этих уравнений. [c.88]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

В [2] мы выделили из е (х у ) явно выделямую особую часть. Остаток оказывается гладкой функцией ео (х у ). Можно написать формулы вариации, включающие в себя гладкую функцию ео вместо е (см. пп. 1,2), При этом мы выделяем из интегралов, понимаемых в смысле обобщенных функций, слагаемые с известной сингулярностью, и остается только описать такой способ их вьиисления, который не нарушает устойчивости точного уравнения. Основная техническая сторона предлагаемого нами способа — это введение определенным образом регуляризованных расходящихся интегралов. Из формул вариации удается выделить часть, сходящуюся в несобственном смысле, а остаток выразить через такие расходящиеся интегралы. В пп. 3,4 приводится эффективный метод численного расчета этих интегралов, а в п. 5 — вычисления несобственного интеграла. Эти вычислительные методы имеют второй порядок по числу точек разбиения границы дЗ (напомним, что 5 не разбивается). В п. 6 мы доказываем устойчивость метода. [c.187]

Первые два метода дают одинаковые значения средней интен-сйрности на границе, вторые два — при больших значениях оп- йческой глубины, т. е. в глубоких слоях атмосферы. Который из трех методов более точен, выясним впоследствии. Заметим, что вторые два метода, в отличие от первого, допускают непосредственное обобщение (с большими значениями п). Заметим также, что метод Эддингтона был бы тождествен методу Чандрасекара, если бы при формулировании граничных условий в первом из них в представ-л шдх поток интегралах из равенств (45) и (46) выносились не средние косинусы, а среднеквадратичные их значения. [c.57]

Раскрепление статически неопределимой системы должно производиться так, чтобы основная система получалась наиболее простой и удобной для расчета. Геометрически симметричные системы с прямосимметричной (рис. 173, а) и косо или обратно симметричной (рис. 174, а) нагрузками целесообразно раскреплять путем их рассечения по плоскости симметрии. Это приводит к снижению числа искомых лишних неизвестных обобщенных сил и позволяет рассматривать только одну отсеченную часть системы (рис. 173, б и рис. 174, б). В сечении, совпадающем с плоскостью симметрии, при прямосимметричной нагрузке обращаются в нуль кососимметричные усилия Q и Мк, а при кососимметричной нагрузке — прямосимметричные усилия N п М (рис. 175). Для прямолинейных элементов системы интегралы, входящие в уравнение (193), можно раскрывать способом перемножения эпюр. [c.257]

Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных рещений так называемые эллипсоидальные и ги-перболоидальные орбиты [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсопда. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137]. [c.848]

Причина вырождения может быть в том, что число первых интегралов, определенных во всем фазовом пространстве, больше п (но не все они, разумеется, находятся в инволюции). Так, например, в задаче Эйлера о вращении твердого тела по инерции, имеющей три степени свс ды, существует четыре независимых первых интеграла. Их совместные уровни расслаивают трехмерные инвариантные торы на друмерные торы. Эта ситуация описывается обобщением теоремы 8. Обозначим Fu...,Fn+k независимые первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом Н и пусть по-прежнему М,= = хбЛ1 Fi x)=fi, Считаем Mf связным н ком- [c.131]

В дискретном случае, т. е. при рассмотрении векторов u=(ui, ua,. ..) вместо функций и х), интегралы заменяются соответствующими суммами. Одно из обобщений — это р-нормы показатели 2 и V2 заменяются иа р а 1р. Неравенство треугольника выполняется (и мы имеем норму) и для Эти прост )анства становятся интересными и ценными при решении нелинейных задач в линейной теории мы не считаем их существенными. [c.336]

Цель книги —описание во. бужаения, распространения и приема сейсмических поли а различных аспектах, причем во многих случаях с большой детальностью При этом от читателя не требуется знания соответствующих разделов высп1ей математики во всей их полноте. Например, не применяются формализованные векторные операции, не используется символика и операции с тензорами. Хотя предполагается знакомство с алгеброй комплексных чисел, но автор избегает использования функций комплексного переменного, а об интегрировании в комплексной плоскости Даже пе упоминается, В связи с этим преобразования Фурье для любой функции приводятся в таком виде, чтобы читатель имел возможность сверять результаты по таблицам интегралов. Знания дифференциального и интегрального исчисления, а также курса дифференциальных уравнений вполне достаточно для понимания обсуждаемых в книге проблем. Очевидно, при таком способе изложения материала мы чем-то поступились Так, некоторые выражения могли бы быть написаны более компактно. Кроме того, теряются возможности обобщения некоторых результатов. Выбор математического аппарата в некоторых случаях базируется на физических соображениях, хотя можно было бы дать 6o.iee точное и общее решение. Если такой подход позволит воспринять обсуждаемые принципы и применить нх к интересующим проблемам, он будет оправдан. [c.5]

При нанисании монографии мы отдавали себе отчет в том, что современное видение механики разрушения не будет полным без указания на место законов сохранения для нелинейно упругого сингулярного ноля в ряду других физических теорий ноля. Компактное математическое представление поля осуществляется с помощью функционала действия, из которого могут быть выведены как уравнения ноля, так и естественные граничные условия. Поэтому в книгу и был включен раздел, в котором, в частности, приводится вывод пнварпант-ных интегралов (и их далеко идущих обобщений) нелинейной упругости путем иримепепия теоремы Петер [ ] к функционалу действия. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...