Оболочки Уравнения—см. Теория оболочек

Уравнения — см. Теория оболочек (тонких) — Уравнения [c.820]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

Порядок полученной системы дифференциальных уравнений в обобщенных перемещениях (2.1) равен десяти, что на две единицы выше порядка соответствующей системы уравнений классической теории оболочки Кирхгофа—Лява (см. далее 6). [c.40]

Система (3) — это система уравнений технической теории оболочек [37]. Все упрощения, которые были сделаны при ее написании, вносят в силу (1), (2) погрешность порядка т. е. в рамках применимости гипотез Кирхгофа — Лява при сделанных выше предположениях (см. (1) и = 1/2) эта система может считаться точной. [c.30]

При выводе уравнений моментной теории оболочек вращения используются гипотезы Кирхгофа — Лява (см. гл. 8, 1). [c.395]

Такие быстро затухающие решения уравнений теории оболочек можно (если они для данного контура существуют) легко найти (см. 36), и они по форме практически не отличаются от решений краевого эффекта для осесимметричных оболочек вращения. Сочетание основного напряженного состояния и краевого эффекта часто позволяет получить сравнительно простые и достаточно точные результаты при решении практически важных задач. [c.259]

Для цилиндрической и конической оболочек можно получить общие интегралы уравнений безмоментной теории, не прибегая к разложению в ряды (см, 32). [c.292]

Как следует йз сопоставления характеристических показателей дифференциального уравнения (7,29) а = а (1 i) с характеристическими показателями уравнения моментной теории цилиндрической оболочки (см. 27), полубезмоментная теория правильно описывает медленно изменяющиеся по а деформации [c.320]

Анализ прочности и ресурса конструкций и машин осуш ест-вляется на последней, четвертой стадии исследования по величинам вычисленных выше деформаций для различных номеров времени с использованием деформационно-кинетических критериев малоциклового разрушения или условных упругих напряжений и расчетных уравнений кривых малоцикловой усталости, В последнем случае оценке прочности и ресурса должна предшествовать обработка напряжений в соответствии с принятой классификацией для мембранных 0 , изгибных o и пиковых 0д, напряжений, определенных с учетом концентрации 0к (см. г л. 2 и 11). Поскольку нормы [2] основываются на расчетах сосудов давления и трубопроводов по теории оболочек, распределение 0(обол) напряжений 0 и 0и в любом из сечений получается непосредственно из расчета (см. рис. 12.1, а). [c.257]

При переходе от точных формул общей теории оболочек (см. п. 9-4.1) к уравнениям эластики порядки величин оценивают с помощью соотношений [c.139]

С учетом оценок (9.4.22) основные уравнения квадратичной теории непологих оболочек могут быть получены непосредственно из уравнения эластики (см. п. 9.4.3) путем разложения тригонометрических функций в степенные ряды с удержанием в окончательных результатах квадратичных слагаемых порядка не вьппе е . [c.142]

Для решения задачи о комбинированном нагружении цилиндрической оболочки, подкрепленной гофром й шарнирно опертой по торцам на упругие кольца жесткостью ЕТ) , воспользуемся полубезмоментной теорией оболочек. Линеаризованные уравнения этой теории можно получить, относя уравнения гл. 9.6 к деформированной поверхности, как это принято в геометрически нелинейных теориях (см. гл. 9.4) [1]. [c.166]

Т2 - -pR, S 0=0. Для не слишком коротких оболочек простое и надежное решение дает полубезмоментная теория оболочек (см. п. 9.6.3), Рассмотрев условия равновесия элемента оболочки в отклоненном от начального состояния и удерживая только первые степени бифуркационных перемещений, можно вместо разрешающего уравнения (9.6.17) получить однородное линеаризованное уравнение [c.212]

Пространство Т усеченное, так как оно определяет с помощью (3) подпространство в Е. Хотя все рассматриваемые функциональные пространства имеют одну и ту же—счетную —размерность [1.2], Т обычно содержит меньше параметров, чем Е. Например, три уравнения равновесия в теории оболочек связывают шесть функциональных неизвестных — усилий, а их общее решение выражает эти неизвестные через три функции напряжений (см. гл. 4). [c.35]

Выведем для этой задачи уравнения линеаризованной теории тонких оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа—Лява. Принцип виртуальной работы для этой задачи записывается следующим образом (см. уравнение (4.84)) [c.269]

Будет удобно считать, что на срединной поверхности установлена система координат, подобная географической, причем краям = ц и j = 12 соответствуют параллели, а 2 является аналогом долготы. Тогда можно принять, что область, где надо строить решения уравнений теории оболочек, представляет собой бесконечную полосу, разбитую на прямоугольники G (см. рис. 51) прямыми [c.304]

Предлагаемый вариант теории асимптотического интегрирования основан на использовании экспоненциального представления решения (см. формулу П.2.2). Этот прием хорошо известен в теории асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, где его называют методом ВКБ. Для уравнений с частными производными, встречающихся в теории оболочек, метод экспоненциального представления применялся в [48, 51. 52, [c.469]

Заметим, что метод осреднения ураннений теории упругости и шестое уравнение рассматривались в работах В. В. Новожилова и Р. М. Финкельштейна (см. [141]), выполненных в начале 40-х годов и посвященных анализу погрешности классической теории оболочек Кирхгофа — Лява. Эти фундаментальные работы содержат ряд плодотворных идей в области построения уточненных теорий оболочек, в частности способ определения напряжений <7,3 из уравнений равновесия упругости (1.1.12) и представление перемещений и напряжений в виде квадратичных полиномов по координате ъ. Аналогичные методы получили развитие и реализацию в работах многих авторов, занимавшихся построением уточненных теорий оболочек, например в работах С. А. Амбарцумяна. [c.91]

В классической теории оболочек кинематические соотношения (2.43), в свою очередь, исключают применение уравнений из (1.4) для Охг и Оуг- Указанные напряжения вычисляются статически из условий равновесия для элемента оболочки (см., например, [8, 32]). По отношению к физическим соотношениям напряжения <Ухг и Оуг, таким образом, являются неопределенными величинами, что находит свое отражение в формальном допущении бесконечно больших значений соответствующих жесткостей материала оболочки, а именно [118] [c.99]

Таков в общих чертах путь развития линейной теории оболочек в той части, которая касается формирования систем разрешающих уравнений. При этом осталась в стороне не менее важная проблема интегрирования уравнений теории оболочек, в которую внесли весомый вклад многие представители советской школы теории оболочек (см., например, краткий очерк развития теории оболочек [133]). Заметим, однако, что формирование системы уравнений, адекватно описывающих работу тонкостей- [c.9]

В главе последовательно выводятся все уравнения линейной теории упругих тонких оболочек на основе единого подхода, свя-ванного с пренебрежением слагаемыми порядка A/J o по сравнению с единицей, что соответствует (как было установлено в работах 1122,123]) погрешности исходных допущений — гипотез Кирхгофа (см. введение, допущения kw kk). При этом замечено, что геометрическое допущение (k) нуждается в некотором уточнении, а именно следует пренебрегать сдвигами е , не вообще (что в соответствии с законом Гука привело бы к пренебрежению перерезывающими силами Гщ, Tgn), а лишь при вычислении деформаций параллельной поверхности. [c.15]

Использование комплексных вспомогательных функций (комплексных усилий и комплексных смещений) позволяет вдвое понизить порядок разрешающей системы уравнений и значительно уменьшить в них число членов. В результате уравнения становятся менее громоздкими и, значит, более обозримыми, что позволяет легче обнаруживать возможности их преобразования и упрощения. Всякие преобразования и выявление общих свойств решений гораздо удобнее выполнять, основываясь на уравнениях в комплексной форме. Наглядными примерами этому являются исследование уравнений теории оболочек вращения (см. гл. 4) [c.66]

Тот факт, что при принятых краевых условиях безмоментная теория дает быстро изменяющееся поле усилий, свидетельствует, что в этих областях ею, по существу, пользоваться нельзя (см. п. 2.3). Чтобы в рассматриваемой задаче получить правильное представление о работе оболочки вблизи ее углов, необходимо для данных зон учитывать моментные члены в уравнениях теории оболочек. Это в некоторой мере снижает ценность полученных выше результатов. [c.140]

Дискретный учет ребер. В литературе, посвященной теории оболочек, известен целый ряд вариантов уравнений статики и динамики ребристых оболочек (см., например, [47, 58, 931). Классификацию большинства из этих вариантов производят по способам А. И. Лурье (1948 г.) и В. 3. Власова [18] (1949 г.). Названные способы вывода уравнений ребристых оболочек (применительно к задачам статики) заключаются в следующем [c.504]

Тем не менее все эффективно используемые уравнения ребристых оболочек (см., например, [50, 61, 93, 147, 164, 165]) построены именно на объединении уравнений теории оболочек и теории стержней. [c.505]

Теория оболочек является асимптотической теорией, существенно опирающейся на малость относительной толщины Л. С этим обстоятельством связаны положенные в основу вывода двухмерных уравнений гипотезы Кирхгофа-Лява и их модификации [80] для случая больших деформаций оболочек из нелинейно-упругого материала. Система двухмерных уравнений теории оболочек является сингулярно возмущенной — она содержит малый параметр Л при старших производных. В результате асимптотического анализа этой системы (главным образом, в линейном приближении) получены решения многих задач статики (см. [13, 52] и др.), динамики [3, 5, 14, 30, 89] и устойчивости [16, 65, 67, 71]. [c.328]

Более устойчивыми при решении краевых задач эллиптического типа оказываются (см. [283 ]) конечно-разностные методы. Однако и их применение в задачах неклассической теории оболочек встречает затруднение удовлетворительная аппроксимация производных быстропеременных решений конечными разностями требует малого шага сетки, что приводит к системам алгебраических уравнений высокой размерности. Наконец, обращаясь к методам третьей группы, приведем выразительную характеристику, данную им авторами монографии [36, с. 255] ... успешное или неудачное применение указанного выше метода. .. сильно зависит от выбора координатных функций. Скорость сходимости и практическая осуществимость соответствующих численных расчетов обусловлены главным образом этим выбором . Данную точку зрения разделяют и авторы монографии [283, с. 255] Метод разложения иногда приводит к серьезным неудачам, а иногда к блестящим успехам. В будущем он может оказаться вполне эффективным . [c.110]

Не имея возможности подробно остановиться на этом круге вопросов, упомянем лишь работы И. Н. Векуа, в которых метод комплексного представления решения распространен на обширный класс дифференциальных уравнений эллиптического типа, к которому принадлежат и уравнения плоской теории упругости (в статическом случае). Сводное изложение этих работ дано в книге И. Н. Векуа [1] поэтому мы их перечислять не будем, ограничиваясь указанием на его работы, относящиеся к теории упругих оболочек [4, 5] см. также И. Н. Векуа и Н. И. Мусхелишвили [1]. [c.382]

Система основных уравнений общей теории оболочек, которая замыкается уравнениями равновесия (ем. 24), является веаьма громоздкой. Анализ структуры этих уравнений и возможных способов их решения дан в 25. Наиболее полно могут быть проанализированы уравнения для круговой цилиндрической оболочКи. Такой анализ (см. 27) позволяет оценить пределы применимости различных приближенных теорий, рассмотренных далее в гл. 7. [c.233]

Таким образом, при помощи метода нормированных моментов поля напряжений задача равновесия оболочки постоянной тол-1ЦИНЫ в случае Л =0 приводится к системе уравнений безмоментной теории оболочек (см. [2а], гл. 6). Следовательно, для исследования задачи в этом случае можно использовать хорошо разработанный аппарат мембранной теории оболочек. [c.62]

Следует заметить то важное обстоятельство, что для каждой координатной поверхности. У ж =соп81 уравнения (2.26а, Ь) составляют систему уравнений мембранной теории оболочек (см. [2а], гл. 6, 3). [c.164]

В Л a с о в В. 3. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек. Прикладная математика и механика, т. VIII, № 2, 1944. См. также [68], стр. 301. [c.380]

Связанная система уравнений (50) и (51) по своей структуре аналогична системе, описывающей большие прогибы однородных пластин (см. работу Тимошенко и Войновского-Кригера [163] с. 418), включающей в отличие от системы (50), (51) нелинейные операторы, а также основным уравнениям линейной теории пологих оболочек ([163 ], с. 559). В нелинейной теории пластин й в теории пологих оболочек связь между уравнениями осуществляется через коэффициенты, зависящие от кривизны, а в рассматриваемом здесь случае слоистых анизотропных пластин эта связь вызвана неоднородностью материала (она осуществляется с помощью оператора включающего элементы матрицы 5 /, которые зависят, в свою очередь, от элементов матрицы Ац и матрицы Вц, входящих в исходные соотношения упругости). Это означает, что при постановке граничных условий на краях слоистой анизотропной пластины необходимо одновременно рассматривать силовые факторы и перемещения, соответствующие как плоскому, так и изгибному состояниям. При этом на каждом краю следует сформулировать по четыре граничных условия. [c.178]

Поэтому число независимых перемещений (а значит и обобщенных сил) равно четырем, и на границе можно сформулировать только четыре, граничных условия, что соответствует восьмому порядку уравнений теории оболочек. Ситуация аналогична имеющейся в теории изгиба пластин (см. гл. 2), где нельзя накладывать граничные условия на поперечную силу и крутящий момент в отдельности, - а необходимо вводить в рассмотрение приведенную поперечнуку силу. - [c.255]

Анализ матрицы жесткости перекрестно армированных оболочек (см. п. 4.3) приводит к мысли, что традиционно используемая для их расчета теория ортотропных оболочек может давать в отдельных случаях качественно неверную картину напряженно-деформированного состояния. Так, пренебрежение влиянием мембранно-изгибных жесткостей (в дальнейшем будем говорить об эффекте анизотропии) при расчете малослойных перекрестно армированных оболочек приводит к недопустимым погрешностям, искажающим напряженное состояние конструкции, особенно на границе раздела слоев. Исследование эффекта анизотропии сопряжено с большими трудностями даже в задачах осесимметричной деформации перекрестно армированных оболочек, так как в зтом случае приходится интегрировать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка в теории оболочек типа Тимошенко и двенадцатого порядка в уточненной теории. [c.209]

В этой главе рассматривается осесимметричная деформация тонких нелинейно-упругих оболочек вращения. Исходя из трехмерных уравнений теории упругости дается вывод приб.чиженных соотношений упругости двухмерной теории оболочек, основанный на асимптотических разложениях. Ползгченные соотношения упругости для ряда упругих потенциалов сравниваются с вытекающими из модифицированных гипотез Кирхгофа-Лява (см. гл.З). Кроме того, приводятся решения ряда частных задач о нелинейном деформировании оболочек вращения, используюыще асимптотические разложения. [c.328]

Напомним (см., налример, [15]), что в линейной теории при рассмотрении тонкой оболочки как трехмерного упругого тела напряженное состояние складывается из внутреннего напряженного состояния и пограничного слоя. Последний локализуется в окрестности края оболочки на расстоянии порядка ее толщины Л и не описывается двухмерными уравнениями. Показатель изменяемости пограничного слоя t = 1. Внутреннее состояние с погрешностью, неограниченно убывающей вместе с толпщной оболочки, может быть описано двухмерными уравнениями теории оболочек. Во многих случаях (в частности, для рассматриваемой задачи о растяжении полусферы внутренним давлением) внутреннее состояние складывается из безмоментного состояния с изменяемостью = О и простого краевого эффекта с изменяемостью t = 1/2, локализующегося в окрестности края s = S2 оболочки и приближенно описываемого уравнением [c.366]

Разрешающее уравнение для оболочечной конструкции при ее произвольном локальном нагружении получим, используя основные зависимости прикладных теорий оболочек вращения и круговых колец (см. гл. 1). Ниже приведем соотношения для использованного варианта прикладной теории цилиндрических оболочек — полубез-моментной теории. [c.111]

Среди таких моделей наиболее полно разработана модель прямой линии (модель С.П. Тимошенко), составившая основу многих теоретических и прикладных исследований в области механики слоистых оболочек и широко используемая в расчетной практике. Однако область пригодности ее уравнений ограничена (см. параграф 3.10), поэтому корректный расчет многих практически важных классов многослойных оболочек (с сушественным различием жесткостных характеристик слоев, сильной анизотропией деформативных свойств и т.д.) требует отказа от нее и обрашения к моделям более высоких порядков, имеющих более широкие области применимости. Важно подчеркнуть, что при отказе от классической модели или модели С.П. Тимошенко и переходе к той или иной корректной математической модели высокого порядка одновременно приходится отказываться и от традиционных процедур численного интегрирования краевых задач классической теории оболочек. Дело в том, что такой переход сопровождается не только формальным повышением порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений, но и качественным изменением структуры ее решений, появлением новых быстропеременных решений, описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали (подробнее этот вопрос рассматривается в параграфе 3.7). На этом классе задач оказывается практически непригодным для использования, например, метод дискретной ортогонализации С.К. Годунова [97], известный [118, 162 и др.] своей эффективностью на классе краевых задач классической теории и теории типа [c.11]

Итак, переход от классической модели деформирования слоистых тонкостенных пластин к той или иной корректной уточненной модели сопровождается увеличением не только порядка системы дифференциальных уравнений, но и спектрального радиуса матрицы ее коэффициентов и, как следствие, появлением быстропеременных решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Такая ситуация характерна не только для балок или для длинных прямоугольных пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности, но, как будет показано ниже, и для элементов конструкций других геометрических форм — цилиндрических панелей, оболочек вращения и др. Отметим, что стандратные методы их решения, которые согласно известной (см, [283 ]) классификации делятся на три основные группы (методы пристрелки, конечно-разностные методы, вариационные методы, метод колло-каций и др.), на этом классе задач малоэффективны. Так, группа методов пристрелки, включающая в себя, в частности, широко используемый и весьма эффективный в задачах классической теории оболочек метод дискретной ортого-нализации С.К. Годунова [97 ], на классе задач уточненной теории оболочек оказывается практически непригодной. Методами этой группы интегрирование краевой задачи сводится к интегрированию ряда задач Коши, формулируемых для той же системы уравнений. Для эллиптических дифференциальных уравнений теории оболочек такие задачи некорректны (см., например, [1]), что при их пошаговом интегрировании проявляется в форме неустойчивости вычислительного [c.109]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...