Выбор координатных функций

При таком выборе координатных функций х, у) любой неизвестный коэффициент йт в разложении (4.4) равен приближенному значению температуры в /п-й узловой точке. Действительно, [c.130]

В большинстве случаев, однако, ограничиваются лишь не-, сколькими членами ряда (2.80). В результате получается не точное, а приближенное решение задачи, погрешность которого в большой степени зависит от выбора координатных функций w, и от количества слагаемых п, сохраненных в выражении [c.97]

При исследовании ползучести и устойчивости оболочек в большом в дальнейшем используем вариационное уравнение (11.20), однако для полноты предлагаемой теории получаем систему дифференциальных уравнений и краевые условия, соответствующие поставленной вариационной задаче. Знание главных и естественных краевых условий необходимо для выбора координатных функций. [c.24]

Функции уп должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче, что налагает известные ограничения на выбор координатных функций. На таких линейных комбинациях функционал R превращается в функцию коэффициентов аь аз, а , которые выбираются таким образом, чтобы функция Я(а, аь , ап) принимала-наименьшее значение. Поэтому параметры оптимизации а определяются из системы уравнений [c.21]

Известно, что для решения задач теории поля, наряду с сеточными методами, широкое распространение получили вариационные методы, применение которых, однако, осложнялось рядом причин. Одной из этих причин являлась трудность построения координатных функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям при сколько-нибудь сложной границе области или при сложном характере самих условий на границе. Вопрос о выборе координатных функций решался сугубо индивидуально, отсутствовали какие-либо рекомендации по их построению. Эта трудность была преодолена в процессе разработки теории -функций [243]. [c.61]

Выбор координатных функций [c.8]

Можно выделить пять основных этапов решения задач по МКЭ расчленение системы на КЭ и выбор координатных функций построение матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой для каждого КЭ построение канонических уравнений решение канонических уравнений и определение значений степеней свободы определение компонентов напряженно-деформированного состояния (перемещений, напряжений) по области элемента. [c.28]

На практике во многих случаях приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов рядов (IV.13), (IV.15), поэтому удачный выбор координатных функций имеет решающее значение. При решении вариационных задач теории обработки металлов давлением для выбора координатных функций (их часто называют прд-ходящими функциями ) обычно используют результаты экспериментальных исследований. [c.158]

Более устойчивыми при решении краевых задач эллиптического типа оказываются (см. [283 ]) конечно-разностные методы. Однако и их применение в задачах неклассической теории оболочек встречает затруднение удовлетворительная аппроксимация производных быстропеременных решений конечными разностями требует малого шага сетки, что приводит к системам алгебраических уравнений высокой размерности. Наконец, обращаясь к методам третьей группы, приведем выразительную характеристику, данную им авторами монографии [36, с. 255] ... успешное или неудачное применение указанного выше метода. .. сильно зависит от выбора координатных функций. Скорость сходимости и практическая осуществимость соответствующих численных расчетов обусловлены главным образом этим выбором . Данную точку зрения разделяют и авторы монографии [283, с. 255] Метод разложения иногда приводит к серьезным неудачам, а иногда к блестящим успехам. В будущем он может оказаться вполне эффективным . [c.110]

При выборе координатных функций (х) в реальных конструкциях весьма часто встречаются случаи, когда из-за сложной конфигурации детали очень трудно подобрать аналитические выражения, которые были бы пригодны для всей области интегрирования. В таких случаях выгодно область делить на несколько подобластей Vi, V ,. . ., Vi, V . . . V - При этом, кроме граничных условий, на поверхности Q области V появятся также новые условия на поверхности стыка Q/m подобластей У, и Vm- [c.97]

Свойство минимальности используется и для сопоставления двух решений, полученных минимизацией одного и того же функционала, но разным выбором координатных функций и разным числом варьируемых параметров. Сравнивая два таких решения, можно оценить необходимость дальнейшего уточнения. [c.118]

Подчеркнем с самого начала, что, так же как в случае вектора, компоненты тензора Ь являются функциями координат, определяющими поле тензора Ь. Компоненты тензора вариант-ны, т. е. зависят от выбора координатной системы, в которой они записаны, но совокупность компонент в целом определяет единую физическую величину, имеющую вполне конкретный объективный смысл и, как все физические величины, не зависящую от выбора направлений осей координат. [c.116]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

Выбор координатной системы функций [c.114]

Центральным местом в изложенном методе является назначение координатных функций разложения (4.4) /i,. .., /л<. Метод конечных элементов основан на использовании описанной схемы приближенного решения при специфическом выборе вида координатных функций /i, Благодаря этому выбору неизвестные коэффициенты в разложении (4.4) приобретают ясный физический смысл. [c.130]

В качестве примера рассмотрим пластину, представленную на рис. 2.26. При выборе для этой пластины координатных функций нужно выполнить только геометрические граничные условия [c.100]

Понятие о допустимости выбора некоторой последовательности функций вида (176) в качестве координатных функций данной вариационной задачи обычно включает требования удовлетворения этими функциями определенным краевым условиям, линейной независимости функций на некотором интервале, а также определенным свойствам гладкости. [c.116]

Самым сложным в вариационном принципе является выбор системы координатных функций Фл(л , у, z) Нужен определенный опыт. От удачного или неудачного выбора зависит точность результата при учете ограниченного числа тонов колебаний. Например, в качестве функции Ф можно брать известные решения уравнения Лапласа для простого объема, охватывающего объем жидкости исследуемого бака. В частности, такой областью может быть прямой круговой цилиндр. [c.348]

При выборе системы координатных функций в течение длительного времени использовались функций, носитель которых совпадал со всей областью, на которой определено решение задачи. Это приводило к тому, что матрица жесткости системы [c.169]

ФОРМИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. Положим Ч = [Л ] а , где [Л ] — система координатных функций,, удовлетворяющих требованиям полноты и линейной независимости при любом выборе коэффициентов а для функции (ф, 1 )) должны удовлетворяться граничные условия. Так, например, выражение [c.302]

Точность приближенного решения методом Ритца в большой степени зависит от удачного выбора координатных функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа. Если удачно задаться координатными функциями (5.89), то хорошую точность для перемещений Uj можно получить даже при п = 1. Однако производные функций щ, найденных методом Ритца, а следовательно, и напряжения Ои (4.4) имеют меньшую точность. [c.109]

В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три) при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [c.73]

Для пластин со свободным краем обнаруживается основное преимущество метода Рэлея—Ритца по сравнению с методом Галеркина при выборе координатных функций можно не заботиться об удовлетворении силовых граничных условий на свободном краю пластины. Ограничившись одним членом ряда, находим [c.185]

Так как при выборе координатных функций следует учитывать лишь геометрические граничные условия, метод Ритца является весьма эффективным для расчета пластин со свободными краями, пластин с вырезами, а также пластин переменной толщины и подкрепленных пластин. [c.100]

Замечание 2. Метод Рнтца допускает большую свободу выбора координатных функций (удовлетворяются по крайней мере кинематические граничные условия). [c.184]

Замечание 3. Для приближенного определения частот можно применять процедуру метода Бубнова — Галеркина с выбором координатных функций, удовлетворяющих смягченным условиям (как в методе Ритца). [c.184]

Основная трудность, с которой сталкиваются при Ш)актической реализации метода Ритца, состоит в выборе координатных функций. При этом следует иметь в виду следующее [c.291]

Выбор координатных функций. Степень успешности применения метода Ритца для решения практических задач во многом зависит от того, насколько удачно выбрана система координатных функций. Разумно выбранная система координатных функций позволяет ограничиться в решении малым числом членов ряда и существенно сократить объем вычислений. [c.45]

При выборе координатных функций проще всего удовлетворить требованию 3, преобразовав условия задачи так, чтобы Da представляло собой линейное множество (линеал) и потребовав, чтобы элементы ф,- также принадлежали Z)a. Это легко сделать, есл,и граничные условия задачи (IV.52) являются однородными, т. е. искомая функция обращается в нуль на границе области (см. задачу IV.1). [c.166]

Методы сеток, по существу, устраняют трудности, присущие вариационным методам и связанные, как показано выше, с выбором координатных функций. Они довольно просто приводят к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений с ленточными, редко заполненнылш матрицами. Последнее в значительной степени облегчает их решение. [c.46]

Работа Д. Ю. Панова (1941) была одной из первых по нелинейной теории мембран с весьма пологой гофрировкой. Позже к этой тематике подключился В. И. Феодосьев (1945, 1946, 1949). Со временем были сняты стесняющие предположения относительно пологости гофра и плавности его формы, рассмотрены гофрированные пологие оболочки (Л. Е. Андреева, 1953, 1958, 1962), проведены экспериментальные исследования (В. Я. Ильминский, 1955). При расчете гофрированных пластинок и пологих оболочек вариационными методами большое значение имеет выбор координатных функций, особенно в случае, когда число их должно быть невелико, а гофр оболочки густой при выборе координатных функций должны быть учтены шаг и глубина гофра, его форма, индивидуальные характеристики жесткости (Э. Л. Аксельрад, 1963, 1964). [c.247]

Таким образом, метод Бубнова—Галеркина отличается от метода Ритца следующим применяя метод Бубнова—Галеркина, координатные функции (х) нужно выбирать так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям. Преимуществом метода Бубнова—Галеркина часто является простота записи выражений (178), определяющих значения постоянных по заданной системе дифференциальных уравнений. При использовании метода Ритца приходится составлять функционал и отыскивать минимум этого функционала. Преимуществом метода Ритца перед методом Бубнова—Галеркина следует считать более легкий выбор координатных функций — они могут не удовлетворять естественным граничным условиям. [c.92]

Сложнее обстоит дело с понятием физической объективности вектора и соответствующего ему векторного поля. Три его проекции на оси координат зависят от выбора направления этих осей в пространстве проекнми вектора в этом смысле вариантны, но длина вектора, выражающая в выбранном масштабе абсолютное значение физической величины, не может зависеть от произвольного выбора координатной системы. Эта инвариантность длины вектора налагает на функции координат, представляющие его проекции, определенные ограничения. [c.113]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея— Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция (.к). Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее. [c.68]

После выбора системы координатных функций ф/ процедура МКЭ представляется достаточно формализованной. Выбор же фг —самый ответственный этап, так как он определяет сходимость метода, точность решения задачи, разрешимость системы (1.5). Мнение о том, что наглядность МКЭ позволяет достаточно просто строить координатные функции из чисто физических соображений, на основе интуиции и т. п., может привести к грубым ошибкам. В настоящее время создан аппарат позволяющий правильно законструировать или проверить выбранные координатные функции с точки зрения сходимости решения, обусловленности системы (1.5) и других факторов (см. п. 1.2). [c.7]

Второй вариант выбора координатной системы — системы степенных функций 1=(а — х) Ь — у)ху, 2=(а — х)(Ь — у)х у, ( з= = (а — х)(Ь — у)ху ,...,ц>1в= а — х)(Ь — у)х у — приводит к плотно заполненной матрице [К]. Так, например, при р =2, 9=2 ф5—(а —л )Х Х(6 — у)х у d[c.162]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ПО РПЪ ЦУ РЕШЕНИЙ. Рассматривая последовательность приближенных решений, полученных методом Ритца, можно ожидать, что для получения более точного приближения по Ритцу следует увеличить число используемых координатных функций. Однако при этом возрастает порядок системы (IV.34). Учитывая, что MaTpnua [Щ и вектор f вычисляются с некоторыми, пусть малыми,, погрешностями, можно сделать вывод, что при неудачной выборе системы координатных функций при высоком порядке системы п погрешность может оказаться весьма значительной более того, эта погрешность может бесконечно возрастать с порядком системы. Практика вычислений показы-. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...