Схемы численного Интегрирования

Схема численного интегрирования при построении упругой линии предельно проста. Выражение для у" можно рассматривать как элементарное дифференциальное уравнение второго порядка, которое разбивается на два уравнения первого порядка [c.60]

Приведенные выше схемы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка просто распространить на системы дифференциальных уравнений второго порядка [c.122]

Локальная погрешность схемы численного интегрирования (196) — (198) порядка [c.124]

Численные методы решения краевых задач. Метод сведения к задаче Коши краевые задачи могут быть сведены к задаче Коши, следовательно, для нх решения применимы все приведенные выше схемы численного интегрирования. [c.125]

Уравнение (1.5.45) записывают в дискретной форме для каждой узловой точки 4 поверхности 5. Интегралы по каждому из граничных элементов в общем случае вычисляют по схемам численного интегрирования. В результате получают систему ЗЛ (Л - число узловых точек) линейных алгебраических уравнений относительно 6N узловых значений перемещений и узловых значений усилий. [c.67]

Выше было представлено несколько конечных элементов, для вычисления матриц жесткости которых приходится прибегать к численному интегрированию. В связи с этим встает вопрос о выборе экономичных схем численного интегрирования. Поскольку интегрирование матрицы осуществляется интегри- [c.186]

Скорость сходимости решения не нарушится, если при вычислении матрицы масс по (9.5) понизить порядок полиномов в матрице а, приведя его в соответствие с порядком полиномов в матрице р. Можно также брать исходную матрицу а, но зато понижать порядок интегрирования произведения ра а, заботясь лишь о точном вычислении полных полиномов той степени, которая появляется в произведении Э х 3. Последнее обстоятельство может быть использовано для получения матрицы (а следовательно, и матрицы М) в диагональной или блочно-диагональной форме. Чтобы добиться этого, необходимо [34] вместо правила Гаусса применить при расчете т такую схему численного интегрирования (назовем ее для краткости схемой поузлового интегрирования), в которой точки интегрирования совпадают с узлами конечного элемента. [c.339]

По мере того как усложняются исходные уравнения, учитывается анизотропия и т. д., аналитическое интегрирование уравнений, подобных (4.74) — (4.76), вдоль линейных граничных элементов [24] и по внутренним ячейкам неизбежно становится затруднительным и следует использовать схемы численного интегрирования. [c.129]

Схемы численного интегрирования для треугольников [c.482]

Поскольку внешним граничным условиям нельзя удовлетворить непосредственно, используя уравнение (10), то для этого применяется разложение в ряд Фурье. Так как в этом случае граница образована четырьмя прямыми сегментами, соединяющимися друг с другом в углах, то она разделяется на соответствующее участки между углами. Так же как и в работе [6], неизвестные коэффициенты вычисляются при помощи простой схемы численного интегрирования, а собственные значения определяются из решения результирующего стандартного определителя при удовлетворении внешним граничным условиям в N точках. [c.63]

Опишем схему численного интегрирования, составленную упомянутыми выше авторами применительно к счёту на электронной вычислительной машине. Предварительно сделаем ещё одно замечание. Определяя функции ср и Ч", мы имели дело с безразмерными функциями a/fl2. k/ 2. функции ср, Ч" тоже безразмерны. В качестве и х входят безразмерные величины. Поэтому все наши уравнения и краевые условия будут носить универсальный характер. [c.361]

Пайти закон изменения фазового объема в дискретной схеме численного интегрирования по методу Эйлера уравнений движения осциллятора 5+1 = + Нрз, Рз- -1 = Рз — дз. [c.291]

Значения и и с в месте пересечения определяются формулами (1.48). Такая операция, в суш ности, представляет собой простейшую схему численного интегрирования уравнений (1.45). Покрывая плоскость х, I сеткой треугольников, аналогичных АОВ, можно последовательно, таг за шагом, продвигать решение уравнений вперед по времени, исходя из начальных условий и (х, 0), с х, 0) или /+ х, 0), / (х, 0). [c.31]

Схемы численного интегрирования [c.212]

Примеры схем численного интегрирования на прямоугольниках см. в упр. 4.1.7. [c.183]

Пример получения ММС различными методами. Для примера рассмотрим схему, показанную на рис. 4.10. Предполагается, что численное интегрирование уравнений будет выполняться с помощью метода первого порядка точности. Неявная формула такого метода [c.182]

Исходя из указанных особенностей динамических задач, в простейшем случае для аппроксимации У (О можно предложить кусочно-постоянную функцию времени, получаемую следующим образом. Пусть численное интегрирование уравнений динамики осуществляется с постоянным шагом At. На произвольном интервале времени [пМ, ( +l)Д ] управление У(t) постоянно и равно вектору Y . Тогда уравнение динамики (3.38) можно заменить простейшей разностной схемой в виде [c.76]

Методы численного интегрирования релаксационных уравнений с малым параметром при старшей производной описаны в 7.5, где обосновано применение неявных разностных схем. [c.120]

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем. Основное достоинство таких методов — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от этих значений. Обоснуем выбор неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. [c.204]

Схема топливоподающей аппаратуры быстроходного дизеля, состоящей из насоса золотникового типа и закрытой форсунки, приведена на рис. 1. Уравнения граничных условий для уравнения (1) у входного сечения нагнетательного трубопровода для насоса золотникового типа, представленные в форме, удобной для численного интегрирования, имеют вид [c.241]

Рассмотрим моделирование на ЭЦВМ динамических процессов дискретной механической системы из двух упруго соединенных тел, одному из которых сообщается внешнее возмущение, а движение другого исследуется (см. рис. 104—105). Для качественного исследования недостаточно только выполнить численное интегрирование дифференциальных уравнений движения исследуемого тела при конкретном возмущении, необходимо также обработать результаты интегрирования для получения исчерпывающей информации о моделируемом процессе. Принципиальная схема моделирования приведена ниже [c.351]

Структурная блок-схема алгоритма численного интегрирования системы уравнений (8.48) показана на рис. 106, а. Конкретный вариант интегрирования уравнений колебаний механической системы зависит от условий интегрирования, которые решены в виде автономных блоков (рис. 106, б). Рассмотрим некоторые условия интегрирования. [c.352]

Управляемые движения манипулятора определялись путем численного интегрирования уравнений динамики (5.1) при заданных управляющих моментах. В качестве схемы интегрирования был принят метод Рунге-Кутта. Было проведено три серии экспериментов, относящихся к исследованию неадаптивных законов программного управления, описанных в п. 5.1, и адаптивных законов контурного и позиционного управления, предложенных в и. 5.2. В качестве алгоритмов адаптации использовались и моделировались дискретные локально оптимальные конечно-сходя- щиеся алгоритмы, рассмотренные в п. 3.6 и 3.7. [c.144]

Пример расчета скорости образования и роста капель. Рассмотрим процесс конденсации и образования капель за выходным сечением направляющего аппарата (рис. 37, а). Примем следующую условную схему (рис. 37, б) пар расширяется с полным переохлаждением от состояния насыщения перед соплом при давлении ро ДО некоторого давления Pi в выходном сечении, после чего движется по трубе. Ее сечение по мере конденсации меняется так,что давление сохраняется постоянным вдоль оси X. Последнее условие приблизительно соблюдается в зазоре между направляющими и рабочими лопатками. Потерями на трение пренебрегаем. Расчеты процесса конденсации выполним методом численного интегрирования, начиная с выходного сечения сопла, в котором поместим начало координат (сечение О —О ). [c.118]

Численное интегрирование выполняют по правилу трапеций по схеме кольца (см. ниже). [c.166]

Расчет остаточного ресурса металлоконструкции, имеющей усталостные трещины, производится численным интегрированием выражения (1) с использованием Y-тарировки для соответствующей используемой схемы нагружения [c.18]

Как уже сказано выше, при вычислении матрицы жесткости метод интегрирования Гаусса оказьгеается наиболее экономичным. Однако в других случаях иногда целесообразно использовать иные схемы интегрирования. Например, в динамических задачах приходится рассчитывать так называемые матрицы масс конечных элементов. Если точки интегрирования совпадают с узлами конечного элемента, то матрица масс оказывается диагональной, что очень важно для разработки экономичных процедур динамического расчета конструкций. Подробнее вопрос о вычислении матрицы масс конечных элементов будет рассмотрен в гл. 9 здесь же в этой связи остановимся еще на двух схемах численного интегрирования. [c.191]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Для системы нелинейных дифференциальных уравнений движения жидкостей и газов известно лишь ограниченное число аналитических решений. До сих пор В полной мере не доказаны суш,ествование и единственность решения этой системы, что ограничивает использование схем численного интегрирования. Интенсивно развиваюш иеся в последние годы методы компьютерного моделирования снижают свою эффективность, если не удается предварительно выделить минимальное число независимых опреде л яюш их параметров задачи. Наконец, не утратил значения и эксперимент в механике сплошной среды, рациональная постановка которого требует определенных теоретических сведений об изучаемом явлении. [c.469]

ФигД47. Схема численного интегрирования уравнения (174) методом трапеций. [c.127]

Пример 7.1. Рассмотренные выше схемы численного интегрирования использованы для модели циркуляции воды в Массачусетском заливе [1 ]. После ряда предварительных пробных расчетов для интегрирования была выбрана схема Руиге — Кутта. Система уравнений мелкой воды отличалась от рассмотренной ранее тем, что в уравнениях равновесия были отброшены конвективные члены. Это упрощение оправдано во многих задачах циркуляции воды в мелководных бассейнах [5. [c.214]

Замечание 8.2.1. Если граница Г криволинейна, то следует учесть третью аппроксимацию, и аналогично должна быть учтена четвертая аппроксимация в случае использования схем численного интегрирования для вычисления коэффициентов результирующей линейной системы. Учет этих аппроксимаций требует обобщения анализа, проведенного в гл. 4. См. Бернаду [1]. [c.426]

В момент I = О необходимые начальные данные у нас имеются ио = 0 д о = 90° го = Я %о = 0. Таким oбpaзo г, схема численного интегрирования позволяет нам от точки /п = О перейти к точке t — /о + А/, затем к точке 2= "1 + А и т. д., до конца участка выведения. [c.304]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

В рассматриваемом примере, однако, надобности в последующих приближениях нет, так как полученные значения <о мало отличаются одно от другого. При этом разнигщ в значениях оказывается заметно меньшей не только погрешностей численного интегрирования, но также и тех ошибок, которые вносятся при выборе расчетной схемы. Например, предположение, что опоры являются абсолютно жесткими, в реальных случаях уже содержит в себе ошибку большую, чем та, которую мы получаем за счет погрешностей метода вычислений ш. [c.493]

Метод численного интегрирования уравнений. В работе А. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева, Р. II. Нигматулина (1977) разработан алгоритм сквозного счета дифференциальных уравнений одномерного нестационарного движения двухскоростной среды в эйлеровых переменных с использованием разностных схем метода крупных частиц О. М. Белоцерковского, Ю. М. Давыдова (1982) и метода Харлоу (F. Harlow, 1964) ). [c.349]

Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, в котором система близка к термодинамическому равновесию. В тех областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают трудности при выборе шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рун-ге—Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет практически невозможен даже при использовании сонременных ЭВМ. [c.204]

Математическое обеспечение схемотехнического анализа (анализа электронных схем) составляют модели электронных компонентов, методы формирования математических моделей схем в виде систем обьпсновенных дифференциальных уравнений и методы численного интегрирования этих систем. [c.136]

Н. и. Булеев [74] решил задачу о распределении скоростей и температур при турбулентном движении жидкости в трубе. Приведены два метода решения динамической задачи приближенный (принята двухслойная схема потока, граница расположена на расстоянии, где = г) и точный (путем численного интегрирования уравнения движения). Уравнения распространения тепла [c.89]

На рис. 4.2 приведены результаты расчета для двух размеров частиц (Л = 1,35 и 5,4) при коэффициенте скольжения на входе Vko=0,75. Кривые 1 и 2 получены путем численного интегрирования исходной системы уравнений (4.1), (4.10) с использованием описанной выше схемы при числах ячеек 25x1 и 50x1 соответственно, а кривые 3 построены по точному решению (4.19). Как видно из сравнения, результаты численного интегрирования достаточно быстро сходятся к точному решению с увеличением густоты расчетной сетки, и при разбиении 50x1 ошибка не превышает 1 %. [c.133]

При заданных начальных и граничных условиях решение в квадратурах системы уравнений (15) и (16) не оказалось возможным и было произведено методом численного интегрирования. Результаты решения представлены на рис. 2 и 3, где показаны кривые изменения средней влажности 2(,р и температуры газа на выходе из слоя 0 в зависимости от величины комплексов и Пд. Очевидно, что наличие таких кривых позволит произвести полный расчет сушки в сушилах, рабо-таюш,их по соответствующим схемам, и выяснить ряд общих закономерностей в ходе процесса сушки. [c.318]

Юшков П. П. О влиянии граничных условий и типа сеток на устойчивость разностных схем при численном интегрировании уравнений теплопроводности.— Тепло- и массоперенос, 1966, 6, с. 216—225. [c.247]

Вычисляем форму статического прогиба лопатки пакета от равномерно распределенной нагрузки (табл. 19), которая в дальнейшем будет принята в качестве исходной функции при определении формы тангенциальных колебаний первого тОна методом последовательиых приближений. Численное интегрирование здесь и в дальнейшем производится по правилу трапеций по схеме кольца . В суммах 5i и Si первое и последнее слагаемые берут по одному, а все остальные слагаемые по 2 раза. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...