Задача двух тел пространственна

ИЗ двух конечных тел к массе всей системы). Поиск семейств периодических орбит выполняется при данном значении ц,. Теоретически, для того чтобы доказать существование периодических орбит в ограниченной задаче, можно провести исследование при ,1 = О, а затем аналитически продолжить полученные результаты в область положительных ц. Такой подход, примененный впервые Пуанкаре, использовался и многими другими исследователями. Пуанкаре в своей работе, основанной на методе аналитического продолжения, разделил периодические орбиты ограниченной задачи на три класса. Орбиты первого класса рождаются из круговых орбит задачи двух тел (е = О, t = 0), орбиты второго класса рождаются из эллиптических орбит задачи двух тел (е О, t = = 0). Периодические орбиты третьего класса также рождаются из орбит задачи двух тел, но при отличном от нуля наклонении орбиты бесконечно малой частицы к плоскости движения основных тел е = 0, i фО). Другими словами, первые два класса орбит относятся к плоской ограниченной круговой задаче, а третий класс относится к пространственной ограниченной круговой задаче. [c.161]

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 4 и .5. В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности L и 5 при всех значениях ц, удовлетворяющих условию 27ц(1 —ц)< 1, кроме двух ([X = Ц1, [Х = Х2), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки 4 и в устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. [c.845]

В ограниченной задаче движение двух тел с конечными массами Ш], и ГП2 относительно их барицентра считают известным, требуется определить движение тела с бесконечно малой массой тпъ. Для определенности будем полагать, что тъ Ш2<-гп. Если тела гп ж М2 с конечными массами движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, то имеет место круговая ограниченная задача трех тел. Эта задача может быть плоской, если все три тела движутся в инерциальном пространстве в одной плоскости. Таково, например, движение КА в плоскости эклиптики под воздействием Солнца и Земли, Пространственная задача возникает в том случае, когда плоскость движения тела бесконечно малой массы тъ не совпадает с плоскостью движения тел Ш], и М2. Примером пространственной круговой ограниченной задачи трех тел может служить движение КА под воздействием Земли и Луны при условии, что плоскость его движения не совпадает с плоскостью орбиты Луны (эта орбита предполагается круговой). [c.208]

Таким образом, общая задача трех тел, описываемая девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т. е. порядок системы понижается от 18 до 6. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел. Из приведенных выше рассуждений становится понятным, почему пространственной и плоской ограниченной круговой задаче трех тел было посвящено большое число аналитических и численных исследований, хотя при такой постановке задачи мы волей-неволей лишаем себя воз.можности использовать десять известных интегралов движения. Однако при этом можно найти новый интеграл (впервые полученный Якоби), который будет полезен при исследовании поведения малой частицы. [c.146]

По-видимому, любую устойчивую одномерную схему можно применять и в случае двух пространственных переменных, когда проводится расщепление по времени, причем условия устойчивости для одномерной схемы не меняются. В задачах обтекания тел такое расщепление по времени приводит к трудностям, связанным с граничными условиями на промежуточном шаге. Как мы увидим, для вычисления граничных значений На поверхности тела используются значения функции тока г)з во внутренних точках, но вычислять значения ф"+ /2 на промежуточном шаге, кажется, не имеет смысла. [c.127]

Используя сочетание двух способов, можно существенно упростить решение целого ряда задач, особенно в тех случаях, когда в ходе решения необходимо повернуть плоскую фигуру или пространственное тело вокруг прямой общего положения. [c.64]

Число неизвестных, подлежащих определению при решении задач о равновесии тела, подверженного действию совокупности сходящихся сил, не должно превосходить числа уравнений, т. е. двух для плоской и трех для пространственной системы. [c.33]

Многочисленные исследования были посвящены в XIX в. вопросу колебаний упругих тел, в том числе струн, стержней, пластинок и оболочек. Интегралы уравнений колебания упругого пространства для любых начальных условий были даны в конце 20-х годов Д. Пуассоном и М. В. Остроградским. Тогда же Пуассон обнаружил существование двух волн, распространяющихся но изотропному упругому телу с различными скоростями, относящимися как У"Ъ 1. Стокс показал впоследствии что более быстрая волна является продольной волной объемного сжатия материала, а более медленная— поперечной волной вихря смещений, не вызывающей изменения плотности. В упомянутом выше мемуаре Пуассона (1829) рассмотрена и первая конкретная пространственная задача о колебаниях шара. Следует отметить исследо [c.58]

Хорошо известно, насколько полезен метод исследования пространственного движения вращающихся тел, основанный на использовании приближения первого порядка. В частности, такое исследование можно применить для описания движения общей оси собственного вращения системы соосных симметричных тел, независимо вращающихся около этой оси с различными скоростями в любом из двух направлений, когда на систему действует момент сил, вектор которого связан с каким-либо из тел системы и вращается вместе с этим телом. Такие динамические задачи приобрели значение в связи с использованием в практических условиях космических систем, состоящих из двух соосных вращающихся тел медленно вращающаяся ступень служит для размещения приборов и оборудования, а быстро вращающаяся ступень — для создания значительного стабилизирующего кинетического момента [1—4]. [c.9]

Правые части уравнений системы (1.30) зависят только от двух угловых переменных ап, fn- Третий угол — угол скоростного крена (угол прецессии) 7 характеризует положение плоскости пространственного угла атаки относительно траекторной системы координат OX Y Zk- Эту угловую координату следует принимать во внимание, когда решается задача о рассеивании точек падении тела на поверхность планеты. Далее дифференциальное уравнение для угла скоростного крена рассматривать не будем. [c.36]

К обсужденному выше кругу проблем весьма близко примыкают также газодинамические исследования, посвященные задаче об определении оптимальной формы обтекаемых тел. Поскольку эти исследования входят в число немногих пока примеров точных решений для задач оптимизации в системах, описываемых уравнениями в частных производных, их нельзя здесь не отметить. Речь идет о работах, посвященных задачам о нахождении (при различных ограничениях) формы тел в стационарном сверхзвуковом потоке газа, обладающих минимальным волновым сопротивлением, и формы сопел, дающих максимальную тягу, В этой области рассмотрены плоские, осесимметричные и пространственные задачи. Решения получены с использованием точных уравнений газовой динамики и базируются на двух подходах. [c.242]

При рассмотрении пространственной задачи теории ползучести бетона важно отметить, что для бетона, в отличие от других материалов, нельзя считать, что наиболее существенную роль играет сдвиговое последействие, а объемное последействие отсутствует. Учитывая это, Н. X. Арутюнян (1952) показал, что напряженное состояние, вызванное действием внешних сил в упруго-ползучем теле, в двух случаях тождественно совпадает с напряжениями упруго-мгновенной задачи для этого же тела, не обладающего ползучестью, а именно [c.188]

К сожалению, при этом нередко допускаются ошибки, потому что вопрос о выборе посадки решается как плоская задача, между тем как детали представляют собой пространственные тела. В результате этого одна деталь не только может перемещаться относительно другой (или других) за счет зазора в двух перпендикулярных направлениях, но и поворачиваться вокруг двух осей, если возникнут надлежащие, меняющиеся по величине, особенно знакопеременные, силы и моменты. [c.133]

Линией пересечения двух гранных поверхностей, каждая из которых определяется одной направляющей и вершиной, в общем случае будет пространственная ломаная. Для ее построения достаточно найти точки, в которых ребра одной поверхности пересекаются с гранями второй или наоборот. Если направляющие поверхностей (основания тел) расположены в проецирующих плоскостях, можно воспользоваться построениями, иллюстрированными на рис. 361—369, в противном случае задача на построение ребер с гранями сведется к показанным на рис. 342 или 343. [c.251]

Путь Ньютона и Бернулли имеет то преимуш,ество, что обладает очень обш,им значением. В своей Аналитической механике Лагранж рассматривает задачи о твердых телах, о сферическом маятнике, о двух фиксированных центрах (пространственная задача), всегда используя именно этот алгоритм редукции посредством введения инвариантных переменных. [c.14]

Приведенные выше результаты получены для равномерного по оси г и плавного по углу ф нагружения оболочки. Выполним численный анализ влияния на НДС уменьшения площадки нагружения по оси г. При расчете используем развитый в [45] подход к решению трехмерных динамических задач теории упругости и гидроупругости для тел вращения, основанный на сведении методом Фурье (искомые и заданные функции представляются в виде разложений в ряды по угловой координате) исходных уравнений движения и краевых условий к конечной системе дифференциальных уравнений, зависящих от двух пространственных координат, которые интегрируются методом конечных разностей. На основе указанного алгоритма решены разнообразные задачи импульсного и гидродинамического нагружения оребренных, составных и многослойных полых цилиндров [15, 49], а также тел вращения [140]. [c.244]

Шероховатые упругие тела. Задача определения движения двух шероховатых тел после соударения приводит к довольно долгому анализу, причем в некоторых пунктах он по существу отличен от анализа в соответствующей задаче для плоского случая. Поэтому рассмотрим сначала частную задачу, допускающую короткое решение, а затем применим те же принципы решения к общей задаче в пространственном случае [c.277]

Для простоты будем считать, что неравновесное состояние газа является пространственно однородным, т. е. fi xj, t) = /i(Pj, t). Тогда легко убедиться, что скобки Пуассона, содержащие двухчастичный гамильтониан, равны нулю. Действительно, в задаче двух тел гамильтониан Я12 является интегралом движения, т. е. exp iTLi2 Hi2 = Я12. Воспользуемся также очевидным соотношением exp iTbi2 i2 О при г —оо, отражающим тот факт, что в этом пределе частицы разнесены на большое расстояние друг от друга. Таким образом, [c.172]

Следует заметить, что, согласно предыдущему, только те параболы являются траекториями в первоначальной задаче двух тел при /г = О, для которых выполнено условие ху = гпхгпз, т. е. = гпхгпз. Этим объясняется кажущееся противоречие найденные параболические орбиты вначале содержат шесть параметров, т. е. столько же, как н общее решение пространственной задачи двух тел в относительных координатах. [c.66]

Наконец, апеллируя к точно решаемой задаче двух тел, мы вынуждены (на первых порах) отказаться от рассмотрения пространственно неоднородных систем, так как включение поля V(г) преврашает задачу о столкновении двух частиц в нерешаемую задачу трех тел. Таким образом, если мы и будем писать J l = J l(i,г, р) вместо 1 = 1(<, р), то будем это делать скорее в силу психологической инерции, считая г некоторым параметром, характеризующим, например, плотность числа частиц в данной макроскопической области системы. [c.313]

Из приведенных выше двух аналогий вытекает следующая цепочка плоская кинематика — сферическая кинематика — кинематика произвольного пространственного движения тела. Следовательно, каждой задаче плоской кинематики отвечает некоторая задача кинематики произвольного пространственного движения поэтому можно предвидеть существование многих задач кинематики произвольного пространственного движения и их решение, зная соответствующие задачи плоского движения. Таким образом, соединение принципа перенесения А. И. Котельникова — Э. Штуди с аналогией между плоским и сферическим движением дает возможность перебросить мост между плоской и общей пространственной кинематикой, и в этой связи плоское движение оказывается не только частным случаем пространственного, но и тем отображением, из которого можно получить многие свойства последнего. [c.191]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Т. Банахевич показал, что в случае закона притяжения обратно пропорционально кубам взаимных расстояний пространственная задача трех тел допускает решение. Новый интегрируемый случай в задаче п тел при том же законе притяжения нашел А. Д. Билимович . Плоское и пространственное движение трех тел, при котором образованный телами треугольник остается равнобедренным, в случае ньютоновых сил притяжения рассмотрел Е. Виль-чинский Он показал, что необходимым условием таких движений, называемых равнобедренными , или симметрическими , является равенство двух масс, расположенных в вершинах основания треугольника. [c.110]

Теоремы о необратимости и симметрии в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Если в какой-то области пространства движение спутника двух притягивающих центров Ai, т ) и (Лз, апз) nii <С щ) возможно, то, разумеется, он может двигаться не по любой кривой из этой области и не в любом направлении. На следующие любопытные элементарные факты обратил внимание американский ученый А. Миеле (Miele). [c.259]

Обычно расчет на контактную прочность колес рассматриваемого типа проводится по аналогии с расчетом прямозубых конических колес. Однако расчет на контактную прочность конических колес с прямыми зубьями ведется на основе решения плоской контактной задачи для случая касания поверхностей двух цилиндров. Но поверхности сопряженных круговых зубьев имеют кривизну в двух направлениях (кривизна октоидального профиля зуба и кривизна вдоль зуба), и поэтому расчет таких зубьев на контактную прочность необходимо проводить как решение пространственной контактной задачи, для случая начального касания двух тел в точке. [c.148]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

Под фазовым пространством подразумевается 6/1-мерпое пространство, образованное 6 координатами и скоростями п тел. В общей задаче а тел эти 6л величин удовлетворяют 10 интегральным соотношениям, поэтому размерность фазового пространства можно понизить до (6 — 10). В трехмерной (пространственной) ограниченной задаче трех тел координаты и компоненты скоростей частиц связаны между собой интегралом Якоби и размерность фазового пространства можно уменьшить до пяти. Если траекторию частицы ограничить плоскостью орбит двух массивных тел, то размерность фазового пространства уменьшается до трех. [c.160]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сзоднтся к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование релонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти-пернодических решений, а также к изучению их устойчивости а областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем. [c.267]

Геометрическое преобразование инверсии в пространстве связывает клин и сферическую линзу. В работах [43, 50, 56] показывается, что схожи и математические методы решения задач теории упругости для этих тел. В [50] метод сведения задачи теории упругости к обобщенной по И. И. Векуа краевой задаче Гильберта распространяется на смешанную пространственную задачу для усеченного шара, сферическая поверхность которого жестко защемлена, а на срезе заданы нормальные напряжения, а также на аналогичную задачу для полупространства со сферической выемкой или выступом. Используется обобщенное комплексное интегральное преобразование Мелера-Фока и тороидальные координаты rj, (f, причем Г] = onst — уравнения поверхности тела. Системы функциональных уравнений этих задач преобразуются к системам сингулярных интегральных уравнений. Излагаемая методика применима к исследованию задач для произвольной упругой сферической линзы, т.е. тела, образованного пересечением двух сфер разного радиуса. [c.193]

В постановке, аналогичной 4.11, рассмотрим пространственную задачу о контакте двух упругих тел. Пусть эти тела, обладаюгцие осями симметрии и ограниченные гладкими выпуклыми поверхностями, в начальный момент взаимодействия входят в соприкосновение в точке О. Их оси симметрии проходят через точку О и перпендикулярны обгцей касательной плоскости (см. рис. 4.10). Введем неподвижную систему координат ОХ1Х2Х3, оси 0x1 и 0x2 которой лежат в касательной плоскости (дополнительные требования к их расположению будут сформулированы ниже), а Ожз направлена вглубь второго тела j =2). Уравнения поверхностей, ограничиваюгцих тела, в связанных с телами системах координат 0 х х2г имеют вид [c.107]

В начале 1960-х годов А. Л. Гонор в рамках закона сопротивления Ньютона впервые поставил и решил ряд вариационных задач о построении оптимальных пространственных конфигураций. Решение задачи построения двумерной поверхности тонких гомотетичных тел минимального волнового сопротивления удалось свести к решению, двух связанных через константы одномерных задач определения оптимальных продольного и поперечного контуров ([8] и Глава 4.5). Для конических тел без ограничения на толщину аналогичной получилась задача определения оптимального поперечного контура ([9] и Глава 4.6). Сопротивление построенных оптимальных конфигураций со звездообразным поперечным сечением оказалось существенно меньше сопротивления эквивалентных по длине и объему круговых конусов. Более полное изложение соответствующих результатов заинтересованный читатель найдет в статье А. Л. Гонора и Г. Г. Черного [10], а подтверждающие эти исследования экспериментальные результаты в написанной А. Л. Гонором первой части обзора [11. [c.360]

В настоящей главе на основе метода интегральных наложений устанавливаются зависимости между пространственным напряженным и деформированным состоянием упругого тела и определенными вспомогательными состояниями, компоненты которых в прямоугольных координатах зависят лишь от двух переменных. В качестве таких состояний принимаются плоская деформация и де-планация ). Установление и использование этих зависимостей оказывается весьма полезным при решении пространственных задач теории упругости, ибо вспомогательные двумерные состояния хорошо изучены. [c.9]

В работе Н. Ф. Кокосиамиди и И. Е. Прокоповича [28] рассмотрена на основе идей, разработанных в [39], пространственная задача о контакте двух вязкоупругих тел. Получено решение для невозрастающей во времени области контакта. [c.391]

Одновременно с появлением дебаевской теории Макс Борн и фон Карман (М. Вогл, Th. von Karman, 1912) предложили строить теорию твердого тела на основе непосредственного расчета дисперсионной зависимости частоты собственных колебаний от волнового вектора, и> = ш(к), и плотности числа собственных колебаний для упорядоченных пространственных структур из упруго связанных материальных точек. Уже на примере линейной цепочки упруго связанных масс (см. задачи 51 и 52) удалось выявить многие характерные Черты спектра собственных колебаний системы, прежде всего образование акустической ветви колебаний из смещений узлов, образование оптической ветви в многоатомной цепочке, структуры плотности числа собственных колебаний, ограниченной сверху и имеющей запрещенные зоны внутри, и т. д. К сожалению, полное аналитическое исследование аналогичной задачи для двух- и трехмерных решеток провести не удается. Приближенный расчет собственных частот трехмерной решетки достаточно сложен. Впервые такой расчет для простой кубической решетки был выполнен лишь в 1937 г., теперь же это делает ЭВМ для различных кристаллических структур. [c.206]

Для системы из двух упругосоединенных тел, моделирующих массивные сооружения, такие, как одноэтажные здания, здания о первым гибким этажом и др., используя метод статистичеокой линеаризации, получены замкнутые аналитические решения данной нелинейной задачи. Рассматриваемый подход также позволяет рассчитывать параметры упругих пространственных колебаний сооружений при малых перемещениях и углах поворота. Линеаризованные уравнения движения [42] для малых амплитуд колебаний интегрируют в замкнутом виде. Эти решения могут служить основой для построения инженерных алгоритмов определения сейсмической нагрузки в виде главных векторов сейсмических сил и моментов. [c.47]

Однако еще большее практическое значение имеет другая возмо ность использования этих условий. Часто заведомо известно, ч вследствие наложенных связей тело находится в равновесии, приче мы знаем только часть действующих сил, а именно, активные силь при этом опорные реакции известны лишь отчасти (например, изв сткы их направления). Тогда с помощью условий равновесия можн найти остальные неизвестные, определяющие реакции связей. Уел ВИЯ равновесия, в которые входят неизвестные, будут уже служи уравнениями для определения этих неизвестных. Конечно, опр деление неизвестных возможно лишь в тех случаях, когда числ неизвестных составляющих реакций не больше числа уравнени равновесия. Для определенности решения пространственной задач на равновесие системы сходящихся сил она должна содержать н более трех неизвестных (соответственно трем уравнениям рави весия), а для плоской задачи — не более двух. Если неизвестны реакций больше, чем уравнений равновесия, в которые эти реакци входят, то задача не может быть решена только методами статик твердого тела статически неопределенная задача) ). Соответству. щая система называется статически неопределимой. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...