Движение бесконечно малого тела

Движение бесконечно малого тела..................249 [c.13]

Первая часть этой главы будет посвящена исследованию некоторых свойств движения бесконечно малого тела, которое притягивается двумя конечными телами, обращающимися по кругу вокруг их центра массы. Затем мы рассмотрим доказательство существования некоторых частных решений, в которых расстояния бесконечно малого тела от конечных тел постоянны. Вторая часть этой главы посвящается изложению метода нахождения частных решений общей задачи о трех телах, в которых отношения их взаимных расстояний постоянны. [c.248]

С математической точки зрения бесконечно малое тело —это такое тело, которое притягивается конечными массами, но само их не притягивает. С физической точки зрения это тело настолько малой массы, что вызванные возмущения в движении конечных тел остаются меньше любого сколь заодно малого количества в течение сколь заодно большого промежутка времени. Задача о движении бесконечно малого тела также еще не решена, но многочисленные исследования настолько продвинули вперед эту задачу, что теперь известны многие существенные свойства движения в этом частном и специальном случае задачи о трех телах. [c.248]

ДВИЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ТЕЛА [c.249]

Тогда диференциальные уравнения движения бесконечно малого тела будут иметь вид [c.249]

Общая задача определения движения бесконечно малого тела — шестого порядка если же оно движется в плоскости движения конечных тел, то задача — четвертого порядка. [c.250]

Устойчивость частных решений. Мы нашли пять частных решений задачи о движении бесконечно малого тела. Если бесконечно малое тело немного смещено из одной из точек второго решения и ему сообщена малая скорость, то оно будет либо колебаться вокруг этой точки по крайней мере в течение значительного времени, либо быстро удалится от нее. В первом случае соответствующее частное решение называется устойчивым, во втором случае оно называется неустойчивым. [c.266]

Применение критерия устойчивости к первой группе частных решений. Применим определения и общие методы последнего параграфа к рассмотренным частным случаям движения бесконечно малого тела. Первоначальные диференциальные уравнения ( 152) имеют вид [c.268]

Рассмотрим движение бесконечно малой жидкой частицы имеющей первоначальную форму параллелепипеда (рис. 2.1). В отличие от твердого тела жидкая частица при своем движении-может сильно деформироваться. [c.58]

А) Поступательное движение. Бесконечно малый параллельный перенос приводит к одинаковому перемещению всех точек твердого тела. Обозначим через е величину перемещения, а через В — вектор единичной длины. Тогда для виртуального перемещения 6R , частицы Р можно написать [c.101]

МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА — абстрактное бесконечно малое тело, положение и двоение которого в пространстве определяются кан положение и движение одной точки. [c.174]

В кинематику статью об ускорениях, а обстоятельное геометрическое исследование последних может, как нам кажется, всего более осветить трудные вопросы гидродинамики. Предлагаемое нами сочинение Кинематика жидкого тела имеет в виду дать краткий, но по возможности наглядный очерк теории скоростей и ускорений непрерывного изменяемого тела, и может быть рассматриваемо как вступление в гидродинамику. При составлении его мы старались поставить общие теоремы о движении жидкости в уровень с тем развитием, которое получили исследования изменяемых систем частного вида. Сочинение разделяется на четыре главы. В первой главе мы изложили движение бесконечно малой жидкой частицы при этом мы старались обобщить различные воззрения на этот вопрос, исходя из одного общего исследования о свойствах поверхности удлинения Коши. В этой главе, кроме многих небольших теорем, нам принадлежит теория конуса постоянных направлений и исследование вида траекторий точек частицы в движении относительно ее центра. [c.10]

В уравнениях (1.66) члены, включающие перемещения и, V, и, соответствуют поступательному движению бесконечно малого элемента тела в направлении осей а, Р, у, а члены, включающие углы 0 и 0р, соответствуют повороту этого элемента в плоскостях и ру. Инерционные свойства характеризуются коэффициентами [c.329]

Компоненты вихря. Если бы частица жидкости была твердой, т. е. не изменяла своей формы, то движение ее ничем не отличалось бы от движения твердого тела. Как известно из теоретической механики, в общем виде движение бесконечно малого твердого тела слагается из поступательного со скоростью о и вращательного вокруг Мгновенной оси с угловой скоростью ы. Проекции вектора угловой скорости твердого [c.403]

Дифференциальная система (13.3) описывает движение бесконечно малого объемного элемента, выделенного из сплошного тела. Эта система выведена без каких-либо пренебрежений и является точной математической формулировкой указанной выше задачи. Из нее, путем дополнительных упрощений, могут быть получены приближенные уравнения, относящиеся к случаю, когда малы удлинение и сдвиги или когда, кроме того, малы также и углы поворота. Соответствующие рассуждения уже были приведены в 10, 11, 12, и здесь их нет необходимости повторять. [c.97]

Диференциальные уравнения движения. Предположим, что система состоит из двух конечных тел, обращающихся по кругам вокруг их общего центра массы, и из бесконечно малого тела, подверженного действию их притяжения. Примем за единицу массы сумму масс конечных [c.249]

Возьмем начало координат в центре массы конечных тел и выберем направления осей таким образом, что плоскость является плоскостью движения конечных масс. Пусть координаты масс 1 — ц, ц и бесконечно малого тела обозначены соответственно через 5 г , 0 г, О и 5, Г , С кроме того, положим [c.249]

Если значение С настолько велико, что поверхности вокруг конечных тел замкнуты и бесконечно малое тело в начальный момент находится внутри одной из этих поверхностей, то оно всегда остается там, так как оно не может пересечь поверхность нулевой скорости. Предположив, что земная орбита — окружность и что масса Луны бесконечно мала, найдем, что постоянная С, определенная движением Луны, так велика, что поверхность вокруг Земли замкнута и Луна находится внутри нее. Поэтому Луна не может удалиться от Земли в бесконечность. Таким путем и с таким приближением Хилл доказал, что расстояние Луны от Земли имеет верхний предел ). [c.257]

В ограниченной задаче трех тел орбиты называются периодическими, если периодическим является движение бесконечно малой частицы относительно вращающейся системы координат. Пуанкаре в своей классической работе, посвященной ограниченной задаче, говорил, что изучение периодических орбит является важнейшим вопросом и отправным пунктом в задаче классификации решений. Особое значение, которое он придавал периодическим орбитам, отражается в его знаменитом предположении если дано частное решение ограниченной задачи, то всегда можно найти периодическое решение (быть может, с очень большим периодом), обладающее тем свойством, что при любом / оно сколь угодно мало отличается от исходного решения. В терминах фазового пространства это утверждение можно выразить следующим образом если дана точка в фазовом пространстве, то сколь угодно близко от нее всегда существует другая точка, соответствующая периодической орбите. Предположение Пуанкаре относилось только к решениям, ограниченным в фазовом пространстве, т. е. он не рассматривал орбиты, соответствующие уходу или столкновению. [c.160]

При движении тела под действием обычных сил, рассматривавшихся до сих пор, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. каждому бесконечно малому промежутку времени соответствует бесконечно малое приращение скорости. Действительно, если импульс любой силы Fft за промежуток времени т представить в виде где — среднее значение этой силы за время т, то теорема об изменении количества движения точки, на которую действуют силы fft, дает [c.396]

Настоящий параграф посвящен решению следующей задачи в каждый данный момент времени при различных частных предположениях о характера относительного и переносного движений найти вид того результирующего сложного движения, которому соответствует распределение абсолютных скоростей точек тела в этот момент. Таким образом, здесь будет идти речь о сложении мгновенных (бесконечно малых) перемещений тела. Так как распределение скоростей точек твердого тела в данный момент зависит от его поступательной и угловой скорости в этот момент, то рассматриваемую задачу можно еще назвать задачей о сложении мгновенных поступательных и угловых скоростей тела ). Заметим, что если мы имели бы в виду сложение не мгновенных, а конечных перемещений тела, то соответствующие теоремы получили бы в общем случае совершенно иную формулировку. [c.139]

Полученные результаты позволяют представить картину движения свободного твердого тела как непрерывную последовательность элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. [c.154]

Если скорости всех точек тела только в какой-то момент времени одинаковы, то движение тела мгновенно поступательное. В этом случае только бесконечно малые перемещения точек тела в данный момент будут параллельны и равны друг другу. [c.24]

Если равенства (22.21) выполняются только в какой-то момент времени, то движение тела называют мгновенно вращательным вокруг оси. В этом случае бесконечно малые перемещения точек тела в данный момент будут удовлетворять вращению тела вокруг оси. [c.25]

Полученный результат составляет содержание теоремы Даламбера движение тела, обладающего неподвижной точкой, в каждый данный момент осуществляется бесконечно малым поворотом относительно мгновенной оси вращения. [c.27]

Всякое движение твёрдого тела в общем случае можно рассматривать как ряд последовательных бесконечно малых винтовых перемещений вокруг мгновенных винтовых осей. [c.40]

АА и ВВ равны между собой. Одинаковость во всех точках бесконечно малых перемещений означает, что при поступательном движении тела всеми точками будут описываться одинаковые траектории и будут одинаковы векторы скорости и ускорения. [c.208]

По ранее принятому определению удара вектор AQ (а следовательно, и импульс S за время удара равнодействующей F сил, приложенных к точке) конечен. Поскольку интервал интегрирования т бесконечно мал, это может быть только в том случае, когда интегрируемый вектор имеет по модулю порядок, обратный т, т. е. сила F бесконечно велика. Отсюда следует, что во время удара в точке соприкосновения соударяющихся тел должны возникать бесконечно большие по величине, но мгновенно действующие мгновенные силы, приводящие к конечному изменению количества движения точки. Конечный импульс мгновенной силы за время удара условимся называть кратко ударом. Так, будем говорить к точке приложен удар , к системе точек приложены внешние удары и т. п., понимая под этим, что к точке НЛП системе точек приложены мгновенные силы с конечными импульсами за время удара. [c.134]

Таким образом, при движении тела, имеющего одну неподвижную точку, в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту неподвижную точку. Поворотом вокруг этой оси на бесконечно малый угол тело перемещается из данного положения в положение соседнее, бесконечно близкое к данному. Угловая [c.380]

Доказанная теорема справедлива и для конечных и для бесконечно малых перемещений. Отсюда вытекает сделанный ранее вывод о разложении движения свободного твердого тела в общем случае на переносное поступательное движение вместе с полюсом О и относительное сферическое движение вокруг мгновенной оси вращения ОР, проходящей через этот полюс. [c.396]

Механика точки Ньютона явилась основой для построения механики совокупностей точек, составляющих материальные тела, среды и т.д. Если движение отдельных точек описывается в соответствии с законами Ньютона, то соответствующая теория относится полностью к классической физике. Во многих случаях в механике тела или среды используется представление о сплошной среде, когда масса считается как бы непрерывно размазанной в пространстве, а движение элемента массы в бесконечно малом объеме описывается законами механики точки. Механика сплошных сред при этом условии относится также к классической физике. В связи с этим о механике твердого тела необходимо сделать такое [c.13]

Этот закон неприменим к отдельным молекулам или к малому числу их. Нельзя сказать, что в этом случае он неверен, так как он вообше ничего не говорит по поводу поведения отдельной молекулы или малого числа их, ничего не утверждает по той причине, что к отдельной молекуле неприменимо понятие теплоты, ибо понятие это, равно как понятия температуры и энтропии, имеет смысл только по отношению к весьма большому количеству молекул. Это вытекает из феноменологического метода, который положен в основу термодинамики. Феноменологический метод заключается в том, что рабочее тело рассматривают не как дискретное физическое тело, состоящее из отдельных молекул, а как некоторый континуум, т. е. как сплошную среду, физические параметры которой непрерывны и изменяются на бесконечно малую величину при переходе от одной точки пространства к другой. Это дает возможность изучать совокупность действия молекул, проявляющуюся в том, что нами названо параметрами состояния рабочего тела. Так, совокупность импульсов всех молекул газа дает параметр давления совокупность кинетических энергий молекул — внутреннюю энергию газа, совокупность объемов, занимаемых молекулами в их движении, — удельный объем газа. Статистический метод является лишь дополнением к феноменологическому методу и дает свои поправки в тех случаях, когда возможно судить о закономерности поведения отдельных молекул. Примером таких поправок является уравнение состояния реального газа. [c.67]

Движение твердого тела приводится к мгновенному поступательному движению со скоростью ц и к мгновенному вращению с угловой скоростью й. Вращение <0 не зависит от выбранного центра приведения, и вращением твердого тела. Мы имеем тогда следующую теорему [c.290]

Распространение общих теорем на случай непрерывных сплошных тел. — Мы рассматривали до сих пор систему, состоящую из определенного числа п материальных точек. Полученные теоремы можно распространить на сплошные тела, разделяя их на бесконечно малые элементы и рассматривая эти элементы как материальные точки. При этом посредством перехода к пределу мы заменяем суммы, входящие в предыдущие уравнения, определенными интегралами (как это делалось в теории центров тяжести). Таким образом, масса М системы, три проекции количества движения системы и результирующая внешних сил будут выражены определенными интегралами. [c.8]

Это—диференциальные уравнения движения бесконечно малого тела, отнесенного к вращающимся осям так, что конечные тела всегда лежат на оси X. Существенным в уравнениях (4) является то, что они не содержат явно независимой переменной /, так как вследствие вращения осей координаты конечных тел стали постоянными. Наоборот, в уравнениях (1) величины г,, и являйтся функциями Л [c.250]

Применение к противосиянию (Gegens hein)- Если постоянные и равны нулю, то бесконечно малое тело обращается по эллипсу вокруг точки равновесия. Если эти постоянные не рав 1ы нулю, но малы по числовой величине сравнительно с К, и К , то движение происходит в течение значительного времени почти по эллипсу, но в конце концов далеко отходит от него. Возможно существование большого числа бесконечно малых тел, вращающихся вокруг одной и той же точки не возмущая друг друга. [c.272]

Рассмотрим теперь третью материальную точку Р, движущуюся в плоскости х, у) под влиянием ньютонианского притяжения Pl и Рг, но не возмущающую кеплерово движение Pi и Рг. Хотя это предположение и не находится в согласии с законом притяжения Ньютона, но оно достаточно хорошо отражает фактическое положение в том случае, когда масса бесконечно малого тела Р намного меньше массы любого из конечных тел Pi и Рг. Задача [c.425]

Изучение движения жидкостей (и газов) представляет собой содержание гидродинамики. Поскольку явления, рассматриваемые в гидродинамике, имеют макроскопический характер, то в гидродинамике жидкость ) рассматривается как сплошная среда. Это значит, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еш,е очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будет подразумеваться физически бесконечно малый объем, т. е. объем, достаточно малый по сравнению с объемом тела, но большой по сравнению с межмолекулярнымн расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения жидкая частица , точка жидкости . Если, например, говорят о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом идет речь не о смеш,ении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка. [c.13]

При изучении движения в упругих телах мы до сих пор считали, что процесс деформирования происходит обратимым образом. В действительности процесс термодинамически обратим, только если он происходит с бесконечно малой скоростью, так что в каждый данный момент в теле успевает установиться состояние термодинамического равновесия. Реальное движение происходит, однако, с конечной скоростью, тело не находится в каждый данный момент в равновесии, и поэтому в нем происходят процессы, съремящиеся привести его в равновесное состояние. Наличие этих процессов и приводит к необратимости движения, проявляющейся, в частности, в диссипации механической энергии, переходящей в конце концов в тепло ). [c.177]

В случае идеально гладкой поверхности реакция целиком сводится к силе, нормальной к поверхности. Таким образом, если связью служит поверхность без трения, то реакция связи нормальна к связи. В этом случае элементарная работа реакции на любом возможном перемеи ении точки равна нулю, так как сила направлена перпендикулярно к перемеи ению. Подчеркнем, что по определению возможных перемещений только что сказанное верно как в случае стационарных, так и нестационарных связей. Само собой разумеется, что элементарная работа реакций на той части бесконечно малого перемещения, которая соответствует собственному перемещению связи, может быть в общем случае и не равна нулю. Точно так л<е в случае движения по идеальной абсолютно гладкой кривой реакция будет нормальна к кривой и работа реакции на возможном перемещении будет равна нулю. Если же поверхности или кривые не идеально гладки, то работа реакций не будет равна нулю. Аналогичное заключение относится к твердому телу, скользящему по плоскости. Если поверхности соприкасающихся тел идеально отполированы, реакция будет направлена по общей нормали к ним при этом работа реакции на. "юбом возможном перемещении будет равна нулю. [c.315]

Систематическое и последовательное применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей творческой жизни провел в России, будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны. В работе Теория двилщния твердых тел Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых, Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлелщт первые работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного действия струи жидкости, что послужило основанием для развития теории турбин. [c.15]

Но бывают случаи движения материальной точки или тела, когда за бесконечно малый пролмежуток времени импульс сплы, а следовательно, количество движения и скорость п.чыеияются на конечную величину (т. с. изменяются С1 ач-ком во времени). Это и бывает при ударе. [c.410]

Рассмотрим случай, когда центр вращения расположен в самом теле. Для упрощения будем считать, что твердое тело закреплено в центре вращения, т. е. оно не может соверщать поступательное движение, так как скорость одной его точки всегда равна нулю . В каждый данный момент времени вращение такого тела можно рассматривать как бесконечно малый поворот вокруг оси, называемой мгновенной осью вращения, так как в каждый бесконечно малый промежуток времени все точки, лежащие на некоторой прямой — мгновенной оси, можно считать неподвижными. Мгновенная ось изменяет свое положение и в,теле, и в пространстве, но всегда проходит через неподвижную точку тела — центр вращения. [c.71]

Рассмотрим процесс образования пограничного слоя при продольном обтекании поверхности тела потоком жидкости. У самой поверхности частички жидкости прилипают к твердому телу них скорость движения равна нулю. Этот прилипший к поверхности слой жидкости имеег бесконечно малую толщину. Около прилипшего слоя жидкости вследствие действия сил вязкости образуется сло11 заторможенной жидкости толщиной б, в котором скорость изменяется от нуля до скорости потока вдали от тела, т. е. до скорости внешнего потока. Этот слой заторможенной жидкости около поверхности называют динамическим пограничным слоем. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...