Решение условно-периодическое

Построение решений при периодическом изменении функций p (t) и W t) вне зон параметрического резонанса. Как было показано в п. 15, условный осциллятор на сравнительно большом диапазоне амплитуд практически сохраняет линейные свойства. Это позволяет пользоваться линеаризованным уравнением условного осциллятора [c.156]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

Ставится задача о нахождении точных (а не приближенных) решений гамильтоновой системы (1) в виде условно-периодических функций времени при вещественных начальных значениях ( 0) Уо) Gin- [c.240]

Таким образом, для доказательства существования точных решений гамильтоновых систем в виде условно-периодических функций времени необходимо выяснить условия, при которых ряды (222) сходятся в классическом смысле. К. Л. Зигель [91, 185] п А. И. Колмогоров [112, 186] выдвинули те плодотворные идеи, которые мы обсуждали в 4.1. Применительно к гамильтоновым система.м это означает [c.240]

Описанный выше процесс преобразований можно продолжать неограниченно. При любом ттг = 1, 2, 3,. .. для пг-го приближения к искомому условно-периодическому решению получаем формулы [8, 125] [c.245]

Величины Хо У o связаны с начальными значениями искомых функций Хо, г/о цепочкой формул, приведенных в [8, с. 191, 194]. Из формул (263) видно, что каждое приближение к точному условно-периодическому решению само является условно-перио-дической функцией и представляется в общем случае бесконечными рядами. [c.245]

Условно-периодические по п решения этой системы описывают собственные системы лучей исследуемого резонатора. Систему (5.76) можно линеаризовать вблизи значений р = q = 0. В результате она примет вид [c.294]

Условно-периодическое решение этой системы очевидно [c.294]

Основное свойство переменных действие-угол заключается в том, что каноническая замена q ip, /), р[<р, I) является 2тг-периодической по всем рк, так что выписанное решение представляет собой условно периодический колебательный процесс с п частотами u k I)- Доказательство этому факту можно найти в цитированной выше книге В.И.Арнольда. [c.304]

Будем рассматривать случай, когда корни Oj, hi простые. Это, очевидно, эквивалентно случаю, когда первые интегралы независимы на своих совместных уровнях. По теореме Арнольда [4] эти уровни будут и-мерными торами, которые несут на себе условно-периодические решения. [c.219]

Пусть А = А —невырожденная критическая точка функции h, причем h X )6 < 0. Тогда при малых значениях е > О возмущенная система с гамильтонианом (11.2) имеет (п — 1)-параметриче-ское семейство условно-периодических решений [c.246]

И теоретические и практические стремления приводят к разысканию других решений задач небесной механики, уже не являющихся периодическими, но в известном смысле близких к ним, например, решений асимптотических, двояко-асимптотических, квазипериодических, условно-периодических- и т. п., которые лучше представляют действительные движения небесных тел и пополняют наши знания о структуре области всех решений задачи. [c.356]

В большой степени переработана и дополнена часть VH. Добавлены новые параграфы по теории приближений функций, в частности, аппроксимация функций с помощью сплайнов, аппроксимация периодических и условно-периодических функций тригонометрическими многочленами, выделение вековой части функции по совокупности табличных значений. Расширена глава, посвященная численным методам решения дифференциальных уравнений. [c.18]

Подверглась также большой переработке часть X Качественная небесная механика . В ней расширена теория устойчивости движения, в частности, приведены формулировки теорем Ляпунова, включены новые параграфы, посвященные методу разделения переменных, намного подробнее изложена теория периодических и условно-периодических решений в приложении к задачам небесной механики, добавлены новые результаты по устойчивости лагранжевых решений задачи трех тел. [c.18]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. ФИНАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [c.788]

А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Эти способы позволяют устанавливать существование периодических и условно-периодических решений в задачах небесной механики. Кроме того, изложены результаты об исследовании финальных движений в задаче трех тел и проблемы захвата. [c.788]

ГЛ. 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 791 [c.791]

Условно-периодические решения в небесной механике. Геометрическая интерпретация [c.803]

По традиции в задачах небесной механики условно-периодическим называется [140] такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось, эксцентриситет, наклон и аналогичные им канонические переменные) выражаются в виде условно-периодических функций времени, т. е. имеют вид (10.1.39) [c.803]

Не существуют в задачах небесной механики такие решения, в которых все переменные (позиционные и угловые) представлялись бы условно-периодическими функциями вида (10.1.58). [c.804]

Можно дать два геометрических изображения условно-периодических решений. Рассмотрим, ради простоты, совокупность [c.804]

В общем случае это решение условно-периодическое показатели квазиоднородности д, , д играют роль постоянных частот. Обозначая штрихом дифференцирование по г, перепишем уравнения в вариациях (3.7) [c.344]

Задача об аппроксимации батр формулируется следующим образом. Условно-периодическая составляющая возмущения компонент решения [c.182]

Упрощение (или нормализация) гамильтонианов, конечно, пе является самоцелью. Приведение гамильтониана к нормаль-1ЮЙ форме часто позволяет эффективно решить вопрос об устойчивости или неустойчивости частных рентений гамильтоновых систем (положений равновесия, периодических или условно-периодических решений). [c.212]

Программы третьего, верхнего иерархического уровня, по существу, являются управляющими для всего комплекса программ нормализации, и использопайие тех или иных из этих программ зависит от конкретной ренгаемой задачи. К числу предусмотренных в комплексе возможностей относятся а) решение задач устойчивости, для которых достаточно провести нормализацию до какого-то пе очень большого порядка т (как правило, m = 4, реже m = 6) б) построение высокоточных приближенных теорий движения, для которых учитываемый порядок членов может быть очень большим. В первом случае на входе достаточно задать коэффициенты исходного гамильтониана, а на выходе получить коэффициенты нормальной формы заданной степени т и заключение об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого положения равновесия периодического или условно-периодического движения. [c.227]

В работах [179, 183, 184] получены формулы для коэффициентов нормальных форм неавтономных гамильтоновых систем и выведены соответствующие условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия, выраженные через эти коэффициенты. В этих работах показано, что решение проблемы нормализации в окрестности положения равновесия одновременно позволяет решить проблему существования, построения и исследования устойчивости малых периодических и условно-периодических движений в окрестности этого положения равновесия. В заключение отметим, что многочисленные приложения этих результатов к задачам небесной механики и космодинамики можно найти в моно- [c.239]

Под условно-периодическим решением системы (1) понимается такое решеш1е, в котором позиционные переменные выражаются чисто тригонометрическими рядами вида [c.240]

В переменньгх х mod 2тг, у, ip mod 2тг траектории условно-периодических решений (11.5) лежат на п-мерных гиггерболических торах, в точках которьгх зависимы любые п инволютивных однозначных интегралов системы с гамильтонианом (11.2). Поэтому рождение большого числа п-мерных гиперболических торов несовместимо с интегрируемостью возмущенной задачи. [c.247]

При этом отмеченная близость в пространстве начальных данных периодических и условно-периодических решений порождает специфические сложности при исследовани задач, близких к интегрируемым . [c.269]

В.Н. Фомин [76] исследовал устойчивость линейной системы (1) с условно-периодическими коэффициентами в случае, когда она содержит малый параметр и при нулевом значении которого переходит в систему с постоянными коэффициентами. В [76] нри исследовании устойчивости применена комбинация метода усреднения и метода оценки характеристических чисел решений усредненных уравнений с номогцью некоторых квадратичных форм — функций Ляпунова и получены области неустойчивости, являющиеся аналогами областей на-эаметрического резонанса в случае периодической системы (1). [c.124]

Об условно-периодических решениях см. книгу К. Шарлье [2]. [c.112]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...