Интегрирование численное устойчивость

А. В.Погорелова [97, 98]. Численное решение задачи об изгибе силой круговой цилиндрической оболочки средней длины, в которой косые вмятины локализуются вблизи двух образующих, приведено в монографии Э.И. Григолюка и В. В. Кабанова [37].) Однако аналитическое описание локализованных форм потери устойчивости, которое получается в результате асимптотического интегрирования уравнений устойчивости, в монографиях по теории оболочек практически отсутствует. [c.14]

Формулу интегрирования на первом шаге можно разложить в аналогичный ряд [для многошаговых формул первый шаг начинается с точки (рН, е Р )], который должен совпадать с (2.27) для первых т членов. Порядком точности метода интегрирования называется число (т—1). Локальной погрешностью метода называется разность между суммами остальных членов полученного ряда и (2.27). Формула интегрирования абсолютно устойчива для заданного /гЯ, если численное решение (2.26) при ->оо равно нулю. Областью абсолютной устойчивости метода интегрирования называется область R комплексной плоскости (Ке(/гЯ), 1т(/гЯ)), в кото- [c.43]

Отмеченные затруднения привели к поиску методов решения, сво бодных от указанных недостатков. Были разработаны различные варианты метода прогонки [1, 6]. Большинство их ориентировано на специальные типы уравнений. Применительно к задачам строительной механики метод прогонки впервые был предложен в работе В. Л. Бидермана [11]. Сущность метода прогонки заключается в том, что краевая задача сводится к решению таких задач Коши, для которых численный процесс интегрирования оказывается устойчивым. Недостатком такого под- хода является отсутствие общих приемов преобразования исходных уравнений, трудности формулировки контактных задач. [c.69]

Отметим сразу возрастающую популярность трехмерных элементов, для которых такая редукция не проделывается. Из предельной процедуры, управляющей поиском точного решения задач со специальными свойствами симметрии (как в теории оболочек), автоматически не следует, что тот же процесс упростит численное решение более общих задач. (Этот вопрос возникает для функций напряжений Эйри при изгибе пластины чувствительны ли они с вычислительной точки зрения к понижению количества неизвестных и возрастанию порядка уравнений Мы в этом сомневаемся.) Очевидно, что тонкая оболочка никогда не будет отражать типичную трехмерную задачу, так как всегда появятся трудности с областями, близкими к вырожденным. Экспериментально испытывался не только изопараметрический прием, но и специальный выбор узловых неизвестных и сокращенных формул интегрирования в направлении нормали. С теоретической точки зрения необходимо оценить эффект малого параметра толщины (Фрид сделал это относительно численной устойчивости и числа обусловленности), но в общем аппроксимационный теоретический подход можно применить обычным образом. [c.152]

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Численное интегрирование систем ОДУ возможно как явными, так и неявными методами. Большинство методов интегрирования является ограниченно устойчивыми. Это означает, что на величину шага интегрирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению числовых результатов, колебанию числового решения вокруг истинного с нарастающей амплитудой, что обычно приводит к переполнению разрядной сетки ЭВМ и прекращению вычислений. [c.54]

Основными методами численного интегрирования систем ОДУ в САПР стали неявные методы. Среди них имеются методы, обеспечивающие устойчивость вычислений при любом шаге /г>0. Это неявные методы первого и второго порядков точности. В САПР рекомендуется [c.54]

В заключение следует отметить, что решение даже совсем простых задач устойчивости связано во многих случаях с весьма громоздкими выкладками. Если же представить себе расчет на устойчивость не просто одного стержня, а целой стержневой системы, да еще, как это часто бывает, с переменной жесткостью стержня на изгиб, то расчет приобретает характер серьезного научного исследования. Поэтому особую роль в решении задач устойчивости играют численное интегрирование дифференциальных уравнений, а также приближенные методы, среди которых видное место занимает энергетический метод, о котором мы специально поговорим в следующей лекции. [c.133]

Первая трудность носит технический характер. Сегодня численное интегрирование не представляет принципиальных затруднений. Анализ проблемы устойчивости представляет более трудную и тонкую задачу. За последние годы здесь достигнуты важные результаты и разработаны эффективные методы анализа [7, 27], которые позволили найти решения ряда важных для практики задач гидростатики. [c.110]

Строгое количественное определение физически реальных участков поверхностей раздела, полученных в результате численного интегрирования уравнения гидростатического равновесия (задача (2.21), (2.22)), требует исследования устойчивости этих поверхностей к исчезающе малым возмущениям. Такое исследование намного более сложное, чем само численное интегрирование, было осуществлено в [7, 27]. В результате были выделены максимальные участки устойчивости интегральных кривых, которые приводятся на рис. 2.29 и 2.32 для случаев соответственно положительных и отрицательных перегрузок. [c.114]

Численное интегрирование по формулам (1.11), (1.15) устойчиво относительно возмущений функции f x). Действительно, согласно (1.9), интеграл заменяется суммой [c.10]

При численно заданных значениях q (х) интегрирование также производится численно. Умножим все действующие на колонну нагрузки на параметр Р и рассмотрим внутреннее осевое усилие No (х) = PNo х . Цель дальнейшего расчета — найти Р р, ибо значение равно запасу устойчивости колонны. [c.87]

Вместе с тем знание решения )= (t) позволяет выделить области допустимых начальных условий, при которых возникают устойчивые и неустойчивые предельные режимы угловой скорости движения звена приведения машинного агрегата. Учет этих областей оказывается важным, например, при численном интегрировании уравнения двин ения (8.И). [c.292]

Теоретические исследования устойчивости потока развиваются в основном в двух направлениях по пути непосредственного численного интегрирования на ЭЦВМ системы уравнений в частных производных, описывающих динамику процесса в обогреваемой трубе, и методом анализа распределения корней характеристического уравнения (без прямого решения исходной системы уравнений) и выделения областей устойчивости. Эти исследования позволяют охватить очень широкие диапазоны изменения режимных и конструктивных параметров, а при изучении влияния одного из параметров поддерживать другие в строго заданных пределах. [c.52]

Приведены результаты теоретического исследования механизма пульсаций и влияния конструктивных и режимных параметров на границы устойчивости потока. Исследование основано на прямом численном интегрировании на ЭЦВМ уравнений в частных производных, описывающих динамику потока в обогреваемой трубе. Получено распределение основных параметров по времени и по длине трубы в период пульсаций. Выявлены общие закономерности по влиянию параметров на границу устойчивости потока и области наиболее эффективного влияния этих параметров. Полученные закономерности подтверждены экспериментальными данными. [c.285]

Помимо оценки погрешности, при использовании метода численного интегрирования встает вопрос о сходимости и устойчивости данного конечно-разностного уравнения. Особенно важное значение имеет этот вопрос для явного метода расчета, когда устойчивость решения будет определяться соответствующим выбором шагов интегрирования. Устойчивость является внутрен- [c.105]

В гл. 4 основное внимание уделено многослойным оболочкам вращения, у которых упругие характеристики отдельных слоев примерно одинаковы. Для описания деформирования применяются два подхода. Первый основан на гипотезах Кирхгофа—Лява, второй — на обобщении гипотез С. П. Тимошенко. Рассмотрены способы решения с помощью МКЭ и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений задач статики, устойчивости и колебаний, а также вопросы стыковки оболочек с кольцевыми подкрепляющими элементами. Приводится решение задач об осесимметричном деформировании тонкой многослойной оболочки, выполненной из композиционного материала с хрупкой полимерной матрицей, с учетом геометрической, физической и структурной нелинейностей. [c.122]

Анализ моментных соотношений удобно производить при помощи численных методов, например путем интегрирования по способу Рунге—Кутта при некоторых начальных условиях. На рис. 5.4, а показана эволюция границ области устойчивости [c.146]

Другим методом оценки динамической устойчивости несущего винта может быть непосредственное численное интегрирование уравнений движения. Такой подход необходим также при учете нелинейных эффектов, например срыва или сжимаемости. Оценка устойчивости периодических систем по переходным процессам не является тем не менее элементарной задачей. Может быть использован и метод замороженных коэффициентов , в котором находят собственные значения для стационарной системы, построенной с использованием коэффициентов, найденных на данном азимуте. При этом проверяются несколько критических значений азимута, таких, как г з = 90 и 270°. Этот метод основан на предположении о том, что изменение аэродинамических коэффициентов при полете вперед (происходящее почти с частотой вращения винта, по крайней мере для малых р.) происходит намного медленнее, чем колебания лопасти при флаттере (имеющие частоту несколько ниже (Од). Метод замороженных коэффициентов следует применять с осторожностью, так как указанное предположение часто не оправдано. [c.594]

На практике используются иногда и условно устойчивые методы интегрирования, в которых устойчивость процесса обеспечивается лишь в том случае, когда шаг At не превосходит некоторого критического значения At. Если же взять > > А/, то происходит стремительный рост численных значений компонент матрицы v (t), которые уже после нескольких первых шагов могут достигать сколь угодно больших величин. Чаще всего величина At оказывается значительно меньше того значения, которое необходимо для получения приемлемой точности в безусловно устойчивых процедурах. Тем не менее в отдельных случаях условно устойчивые процедуры могут оказаться более экономичными, если на каждом шаге [c.374]

Существуют широко известные методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений типа Адамса, Рунге—Кутта и др. Однако они мало пригодны для интегрирования систем высокого порядка, так как, будучи условно устойчивыми, требуют тем не менее выполнения большого числа арифметических операций на каждом шаге. В связи с этим применительно к матричному уравнению вида(10.32) разработано несколько специальных процедур здесь будут рассмотрены две из них. [c.375]

Здесь удержаны члены, содержащие матрицу v. Коэффициенты аир выбираются таким образом, чтобы обеспечить безусловную устойчивость процесса интегрирования об их численных значениях будет сказано ниже. [c.380]

В осесимметричном случае классы простых волн отсутствуют и течение в секторе В H G E соответствует решению общего типа. Его можно построить численно методом характеристик, решая задачу Гурса с известными данными на характеристиках H G и G Е. Конечно, при этом приходится преодолевать ряд трудностей, связанных с неограниченностью области интегрирования, значительным поворотом характеристик, устойчивостью счета. [c.444]

Если край S = жестко заделан, а край s = шарнирно оперт, на краю s = приходим к условию (3.4). Результаты численного интегрирования показаны на рис. 11.2 кривой 2. При Rpпотеря устойчивости происходит при т = 7, а при Rp>OJ — при /71 = 8. [c.227]

В четвертой главе на основе разработанных уравнений даны решения задач цилиндрического изгиба изотропных слоистых длинных пластин и панелей и решения задач об их выпучивании по цилиндрической поверхности. Кроме того, эти задачи рассмотрены еще и на основе уравнений других вариантов неклассических прикладных теорий, приведенных в гл. 3. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило уточнить границы их пригодности, оценить влияние поперечного сдвига и обжатия нормали на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости. Дифференциальные уравнения задач статики рассматриваемых здесь элементов конструкций допускают аналитическое представление решения, что использовано при детальном исследовании и сравнительном анализе структур решений, полученных с привлечением различных геометрических моделей деформирования. На примере задачи цилиндрического изгиба длинной пластинки показано, что в моделях повышенного порядка появляются решения, описывающие ярко выраженные краевые эффекты напряженного состояния. С наличием последних связаны существенные трудности, возникающие при численном интегрировании краевых задач уточненной теории слоистых оболочек и пластин — их характер, формы проявления и пути преодоления также обсуждаются в этой главе. [c.13]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

X 12 матрицы со — частотный параметр. Аналогичные задачи возникают и при исследовании устойчивости оболочек вращения. В последующих главах приведены примеры таких краевых задач для оболочек конкретных форм систематическому изучению вопросов их численного интегрирования посвящена седьмая глава. [c.80]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

Среди неявных методов интегрирования при / = onst применяют методы Эйлера, трапеций, Шихмана. Их положительными особенностями являются А-устойчивость и сравнительно малый объем памяти, требующийся для хранения результатов интегрирования, полученных на предыдущих шагах. Однако метод Эйлера не обеспечивает необходимой точности при анализе переходных процессов в сла-бодемпфированных системах. Метод трапеций в его первоначальном виде (5.9) имеет недостаток, заключающийся в появлении в численном решении ложной колебательной составляющей уже при сравнительно умеренных значениях шагов, поэтому метод трапеций удобен только при принятии мер, устраняющих ложные колебания. Значительное уменьшение ложных колебаний, но при несколько больших погрешностях, дает формула Шихмана. [c.241]

Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, в котором система близка к термодинамическому равновесию. В тех областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают трудности при выборе шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рун-ге—Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет практически невозможен даже при использовании сонременных ЭВМ. [c.204]

Недостатком метода комбинации решений является возможная потеря точности (численная неустойчивость) при больших интервалах интегрирования [6, 13]. В та ких случаях следует обратиться к методу прогонки, обес печивающему устойчивость вычислительного процесса [c.68]

Если учесть более благоприятные условия в смысле устойчивости и точности, то неявные уравнения предпочтительнее явных. Однако в случае кратковременных процессов и процессов с переменными краевыми условиями неявные уравнения теряют свои преимущества в отношении как устойчивости, так и точности по сравнению с явными, а метод расчета становится сложным вследствие неявности и необходимости решения системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что если отношение шага интегрирования по времени неявного метода к соответствующему шагу интегрирования явного меньше трех, то количество алгебраических операций в неявном методе будет больше, чем в явном методе расчета. В этом случае явная схема расчета предпочтительнее неявной. Следует также иметь в виду, что в реальных условиях работа конструктивных элементов происходит при переменных краевых условиях. Постоянные условия теплообмена на практике встречаются крайне редко. Чтобы учесть изменение условий теплообмена, как правило, приходится принимать малый шаг интегрирования по времени. Кроме того, как было уже отмечено, численный метод будет нами использован для расчета процессов с малым временем теплового воздействия. В связи с указанным приходим к выводу, что для расчета нестационарных тепловых процессов в элементах конструкции тепловых двигателей явные конечно-разностные уравнения предпочтительнее неявных. Поэтому при изложении численных методов расчета основное внимание будет сосредоточено на явных уравнениях и на явном методе расчета. Неявный метод ргсчета изложен в 2-9. [c.39]

Юшков П. П. О влиянии граничных условий и типа сеток на устойчивость разностных схем при численном интегрировании уравнений теплопроводности.— Тепло- и массоперенос, 1966, 6, с. 216—225. [c.247]

Аналитические вычисления. Наряду с огромными возможностями для численного анализа задач физики совр. компьютерные системы предоставляют физикам-теорети-кам широкий спектр программных систем аналитич. вычислений (САВ), см. (3—6], позволяющих аналитически выполнять такие операции, как дифференцирование, интегрирование, решение систем ур-ний, упрощение выражений (приведение подобных членов, подстановку вместо символа или выражения др. выражения и т. д.). В итоге результат вычисления представляет собой нек-рое аналитич. выражение, напр, ф-цию с явной зависимостью от её аргументов. САВ являются мощным (и практически единственным) инструментом решения задач, требующих непомерно больших затрат ручного труда при их аналитич, решении (напр., задача обращения матрицы достаточно высокого порядка, элементы к-рой являются символами или алгебраич. выражениями), или задач, очень чувствительных к потере точности при их численном решении (напр., задача анализа устойчивости плазмы в установке типа токамак, сводящаяся к условию существования нуля нек-рой ф-ции в заданной области, положение к-рого очень [c.482]

Для численного решения уравнения движения известно большое число шаговых численных методов. Конечно-разностные операторы по времени, представляющие ускорение разделяются на две группы условно устойчивые и безусловно устойчивые. Условно устойчивые методы (например, метод центральных разностей) становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат больше некоторого критического значения. Безусловно устойчивые методы (например, метод Хубольта), устойчивы вне зависимости от выбора величины шага по времени, однако при этом усложняется процесс интегрирования и возникает влияние фиктивного затухания, вносимого в модель конечно-разностными операторами. При решении методом Хубольта вектор узловых обобщенных ускорений q в момент времени т + уАт (/ — номер временного шага) аппроксимируется в разностном виде с интерполированием назад [c.110]

Доказано, что при основных и дополнительных начальных условиях решение системы дифференциальных уравнений (43) существует и является единственным [23]. Поэтому можно применять методы численного интегрирования. Широкое распространение получили одношаговые методы, особенно формулы Рунге—Кутта четвертой и второй степени [23. В последнее время применяют разностные формулы Адамса—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и дают возможность решать системы дифференциальных уравнений на длинных отрезках. [c.431]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

Большое количество задач упругодинамического роста трещин было решено численно методом конечных элементов. Как и в случае методов конечных разностей, подходы с применением метода конечных элементов различают по тому, каким образом манипулируют с полями в окрестности вершины треш,ины. Чаще всего для этой цели применяют либо моделирование процесса роста трещины с постепенным уменьшением усилий в соответствующих узлах конечно-элементной сетки, включение подвижного элемента, интерполирующие функции для которого берутся из решений континуальных задач с напряженным состоянием окрестности вершины трещины, или же используют контурный интеграл энергии. После конечно-элементной дискретизации по пространственным переменным необходимо произвести интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений по вре-.мени для узловых переменных. Поскольку динамические поля, соответствующие быстрым процессам роста трещины, содержат большое число высокочастотных составляющих, то для получения высокой точности шаги по времени должны быть небольшими. Было установлено, что вследствие этого естественного ограничения на величину шагов по времени эффективными во многих случаях оказываются условно устойчивые явные схемы интегрирования по времени, использующие процедуру диагона-лизации матрицы масс. [c.121]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...