Матрица монодромии

Матрица монодромии оказывается треугольной [c.242]

Следствие 3.10.2. Характеристическое уравнение матрицы монодромии имеет вид [c.242]

Для вычисления мультипликаторов Д1, требуется найти след матрицы монодромии Б = оц 022- Пусть базисные функции хД/), X2(t) удовлетворяют начальным условиям [c.244]

Если В < 4, то корни будут комплексно сопряженными и различными, но р1 = р21 = 1, и резонанса не возникает. Если В — 4, то корни будут кратными и р — I. Как следует из сказанного выше, если при этом 012 = 21 = то резонанс отсутствует, а если матрица монодромии треугольная, то резонанс будет иметь место. Предположим теперь, что В = 4, но 012 21 Ф О- Тогда собственную функцию монодромии можно взять в виде [c.244]

Таким образом, для функций у , У2 матрица монодромии принимает треугольный вид, что влечет наличие резонанса. [c.245]

Теперь мы можем воспользоваться критерием параметрического резонанса. Как и в примере 3.10.2, построим матрицу монодромии. Пусть решения у 1(<) и р2 () таковы, что [c.252]

Матрица М называется матрицей монодромии фундаментальной матрицы F t). Для фундаментальной матрицы R(t) матрица монодромии равна К (а) это сразу следует из того факта, что Д (0) = 1 . [c.465]

Выясним, какова матрица монодромии Ж другой фундаментальной матрицы G (t) = F(t) С. Имеем [c.465]

Следовательно, фундаментальной матрице G (t) соответствует матрица монодромии [c.465]

Если Ж есть матрица монодромии для фундаментальной матрицы, то матрица Ж будет матрицей монодромии для другой фундаментальной матрицы тогда и только тогда, когда имеет вид С МС. Поэтому все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения и элементарные делители, и все они приводятся к одной и той же нормальной форме Жордана. Собственные значения [Xi, Ца, -. Н т называют множителями. Ни один из множителей не обращается в нуль, поскольку [c.465]

Для нахождения множителей можно воспользоваться матрицей монодромии R(o). [c.465]

Пусть М — матрица монодромии фундаментальной матрицы F (it) всегда можно найти матрицу К (не обязательно вещественную) такую, что будет выполняться равенство [c.465]

Рассуждения упрощаются, если ограничиться рассмотрением случая, когда нормальная форма матрицы монодромии является диагональной. При этом для любой фундаментальной матрицы F (г) будем иметь [c.466]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

Напомним, что все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения. Если х есть собственное значение симплектической матрицы М (которая является матрицей монодромии фундаментальной матрицы It (t)), то 1/ л также является собственным значением. В самом деле, если — собственное значение матрицы М, то [c.470]

Центр, объектом в методе обратной задачи рассеяния является матрица монодромии (Х.). Для определения последней необходимо ввести матрицу перехода Т х, у, X), удовлетворяющую ур-нию [c.472]

Замечательным свойством матрицы монодромии является особенно простая зависимость её матричных элементов от времени [c.472]

Гамильтонова модель Ш. у. н. является вполне интегрируемой и обладает бесконечным набором интегралов движения J , производящей ф-цией для к-рых является след матрицы монодромии 1гГ(А.). Все интегралы движения записываются в виде локальных функционалов от и и их производных, напр. [c.473]

Квантовое Ш. у. н. допускает представление нулевой кривизны, аналогичное представлению для классического Ш, у. и. Перестановочные соотношения между матричными элементами матрицы монодромии, к-рая определяется так же, как и в классич. случае, задаются с помощью квантовой / -матрицы [c.473]

R. Подобные матрицы, как известно, имеют одинаковые собственные значения. Собственные значения матрицы монодромии ру - [c.470]

МЕТОД МАТРИЦ МОНОДРОМИИ [c.492]

Результаты вычислений показаны на рис. 7.4.9 сплошной линией. Условие асимптотической устойчивости проверялось непосредственным вычислением характеристических показателей матрицы монодромии К. [c.493]

Здесь М дд,.. ., i i) = М о) . .. M di) — передаточная матрица или матрица монодромии [6, 3] для Q слоев, /2 — единичная матрица второго порядка, а следовательно, скаляр р — собственное число матрицы M(i9q,. .., i9i), или мультипликатор матрицы монодромии, d — ее собственный вектор. [c.820]

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76]

Матрица монодромии уравнений (2.4) [c.82]

Нетрудно вычислить характеристические показатели постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции. Например, мультипликаторы (собственные числа матрицы монодромии) постоянного вращения вокруг меньшей оси [c.85]

Ясно, что функция h р-периодична по t, и u t + р) = Pu t), где Р — матрица монодромии. Согласно (8.8), h 0),u 0)) = = h p),u p)) = h 0),Pu 0)) = (Р /г(0), u(0)). Так как u(0) — произвольный вектор, то P h 0) = /г(0). Следовательно, /г(0) — собственный вектор матрицы Р с единичным собственным значением. Согласно условию теоремы, имеется к таких линейно независимых векторов. Поэтому по крайней мере к собственных значений матрицы Р (а, значит, и матрицы Р) равны единице. [c.221]

Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239]

В примере 3.10.2 для уравнения Хилла с двухступенчатым кусочно-постоянным коэффициентом ш t) в случае = —1, 77 = 1 найти собственные векторы матрицы монодромии, резонансные соотношения интервалов <1, <21 точки на фазовой п.лос-кости, где происходят переключения функции (<). [c.301]

Иллюстрирование схемы КМОЗ на примере A yZ-моде-ли показало, что для этой задачи было необходимо ввести S-матрицы вида (20). Существенно отметить, что для этой задачи введённая 5"-матрица не является физической, но представляет нек-рую абстрактную 5-матрицу, использование к-рой в схеме КМОЗ приводит к диагонализации гейзенберговского гамильтониана. Для др. физ. задач, напр, о цепочке Хаббарда или об эффекте Кондо, частицы имеют внутр. симметрию и их состояния характеризуются дискретным индексом, конкретно—проекцией спина, поэтому физ. 5-матрица в этих задачах является матрицей по этим индексам. Она должна удовлетворять ур-нию Янга — Бакстера, и с её помощью вводятся описанные выше ма-тем. конструкции КМОЗ — матрица монодромии Т и трансфер-матрица Т. Однако этих величин недостаточно для полного рещения задачи. Особую проблему составляет учёт периодических граничных условий. В рамках КМОЗ эта проблема нахождения импульсов сводится к диагонализации трансфер-матрицы Т на т. н. нерегулярной решетке. [c.153]

Конкретное выражение матрицы монодромии через матрицу перехода зависит от вида граничных условий, накладываемых на ф-цию f). Предположим, что решение Ш. у, н. ищется в классе быстроубывающих ф-ций с нач. условием v(f(jt)eS(/ ) [5(Л )—пространство Шварца]. Тогда [c.472]

Значение матрицанта в конце первого периода, т.е. магрицу X(7)=R, называют матрицей оператора перехода (матрицей монодромий). Так как матрица R всегда невырожденная, то существует постоянная матрица Н, такая, что [c.470]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

Тут дополнительно введены матрицы Зд с элементами = Зд 22 — 1 5 дД2 = = 77зз = г]ззСоо/к, Sq 2l = 0. Дальнейший ход решения во многом соответствует приведенному выше случаю совершенного механического контакта. Важно лишь отметить, что теперь передаточная матрица (матрица монодромии) определяется выражением 82м (т92) ЗхМ (дх). [c.824]

Приведем матрицу монодромии Р к жордановой форме. Ясно, что каждому из линейно независимых векторов ш отвечает своя жорданова клетка вида [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...