Выбор шага интегрирования

При правильном выборе шага интегрирования Ат разработанный метод позволяет достаточно адекватно отражать особенности свободных колебаний в элементах конструкции (см. рис. 1.7 и 1.8). [c.39]

Таким образом, показано, что предлагаемый метод расчета параметров динамической механики разрушения (КИН, G, v). при соответствующем выборе шага интегрирования Ат позволяет довольно надежно и достаточно просто осуществлять указанную процедуру с учетом волновых явлений и перераспределения полей напряжений по мере развития трещины. [c.252]

Выбор шага интегрирования и оценка погрешности численного решения. Обычно при реализации на ЭВМ большинства численных схем решения обыкновенных дифференциальных уравнений предусматривается автоматический выбор величины шага Ат для обеспечения определенной погрешности расчета. Этот выбор основан на оценке локальной погрешности численного решения на шаге, т. е. погрешности численного решения в точке Ty+j, оцениваемой в предположении, что в начале шага в момент времени xj значение искомой функции было известно точно. [c.36]

ДИМ лишь для оптимального выбора шага интегрирования по времени, обеспечивающего устойчивость вычислительной процедуры при минимальных затратах машинного времени на ЭВМ. Поскольку шаг по времени At должен быть выбран в этом случае в соответствии с наименьшим периодом собственных колебаний конструкции Гц и составлять не более 0,1 для точного предсказания динамического отклика, а учитываемые в расчетах фазы сильного сотрясения изменяются от нескольких секунд до десятка минут, прямые методы оказываются чрезвычайно трудоемкими. Поэтому эти методы целесообразно использовать для анализа отклика конструкций жестким возмущениям ударного типа и в тех случаях, когда необходим уточненный анализ отклика, если предварительное использование спектральных динамических или квазистатических методов приводит к консервативным результатам по смещениям или напряженным состояниям. К преимуществам методов прямого интегрирования следует отнести, помимо высокой точности, возможность учета начальной нагружен-ности конструкций и исследование в связи с этим нелинейного отклика конструкций. [c.186]

В проблеме использования ЭВМ для определения переходных процессов затруднения возникают не только в связи с большим потребным временем счета. Эти затруднения часто связаны также с выбором шага интегрирования и обеспечением устойчивости счета [8 и др. ]. [c.144]

Затруднения, связанные с выбором шага интегрирования, удается преодолеть также путем использования результатов метода эффективных полюсов и нулей. Шаг интегрирования выбирается каждый раз на основе приближенного разложения уравнений динамических систем на простейшие составляющие. [c.144]

Таким путем была преодолена первая трудность в применении для определения процессов структурной схемы, показанной на рис. III.П. Вторая трудность состояла в выборе шага интегрирования. Здесь применялся следующий подход. Если наиболее высокочастотной составляющей из числа тех, по которым ведется интегрирование, является координата Xj, то вычислялись два предполагаемых шага интегрирования из условия, что Xj есть выходная координата соответственно апериодической и колебательной составляющих. Из двух предполагаемых шагов интегрирования выбирался наименьший. [c.153]

Рассмотрим некоторые пояснения по обобщаемым алгоритмам. Алгоритм интегрирования уравнений с последовательным исключением высокочастотных составляющих практически целиком совпадает с аналогичным алгоритмом для стационарных систем. Особенности связаны лишь с выбором шага интегрирования и его переменностью после завершения процессов всех высокочастотных составляющих. Изменять шаг после этого момента следует в связи с изменением постоянных времени первой составляющей процессов. [c.184]

Условия устойчивости вычислительного процесса накладывают жесткие ограничения на выбор шага интегрирования. Шаги по времени получаются очень малыми. Поэтому с помощью метода Вильсона практически можно производить расчеты лишь достаточно быстро протекающих процессов. [c.76]

При достаточно малом выборе шага интегрирования остаточные члены ей, егг, е з. .. будут стремиться к нулю. Пренебрегая по малости этими величинами и опуская знак приближения, будем иметь [c.44]

Условие выбора шагов интегрирования запишется в виде [c.81]

Схема расчета температуры по зависимости (2-89) показана на рис. 2-22. В отличие от встречной такая схема расчета называется последовательной. В этом случае расчет вдоль строки расчетного бланка производится непрерывно. При определении температуры в месте раздела слоев возможно использование как встречной схемы расчета [зависимость (2-87)], так и последовательной (зависимость (2-89)]. При этом встречная схема расчета не зависит от выбора шагов интегрирования во времени. [c.81]

Выбор шагов интегрирования [c.105]

Помимо оценки погрешности, при использовании метода численного интегрирования встает вопрос о сходимости и устойчивости данного конечно-разностного уравнения. Особенно важное значение имеет этот вопрос для явного метода расчета, когда устойчивость решения будет определяться соответствующим выбором шагов интегрирования. Устойчивость является внутрен- [c.105]

Во всех расчетных зависимостях метода численного интегрирования определение температуры основано на экстраполяции. Поэтому найдем условия, при которых имеет место допустимая экстраполяция. Это условие может быть положено в основу выбора шагов интегрирования. Так, например, расчетную зависимость для определения температурного поля в твердом теле (2-21) можно представить в виде [c.106]

В уравнении (2-142) все разности, стоящие в скобках, положительны. Отсюда следует, что величина Т не может быть больше Тп, т. е. наибольшей температуры, если все коэффициенты перед скобками положительны. Таким образом, правильный выбор шага интегрирования по времени Ат будет сделан в том случае, когда все коэффициенты Л,, входящие в уравнение (2-137), будут положительны. Из зависимостей (2-138), (2-139) следует, что коэффициенты Лг, Лз, Л4 и Аъ по характеру входящих в них величин могут иметь только положительное значение. [c.108]

Применительно к уравнению (2-39) соотношение для правильного выбора шагов интегрирования запишется в виде [c.108]

Численные методы Эйлера, Рунге — Кутта, Адамса, дающие приближенное решение в виде таблиц, без оценки точности на ЭЦВМ, используют процедуру формирования системы следующее число раз один, четыре, три — в начале счета и один — при последующих расчетах. Процесс оценки точности на ЭЦВМ увеличивает число обращений к блоку формирования в три раза, а если возникает необходимость в итеративном методе счета, то количество обращения доходит до десятков раз. Приближенная аналитическая оценка точности затруднена. Поэтому необходимо для правильного выбора шага интегрирования, хотя бы в выборочных точках, проверять точность. [c.64]

Элементы массива А[1 17] А[1] = 50 — начальная температура профиля Гн, С А[2] = 0,0034 — начальный радиус заготовки м А[3] = 0,024 — окончательное приближение для скорости шприцевания v, м/с А[4] = 1330 —исходная плотность материала рм, кг/м А[5] = 400—минимальная плотность пористой резины ртш, кг/мЗ А[6] = 0,0005 с- А[7] = 0,143 К А[8]=126°С А[9]= 3 — соответственно параметры А, Ь, То, а в уравнении (8.14) А[10]= 1 — коэффициент /Ср, кг/(мЗ-К) в уравнении (8.15) А[11] = 0,13-10 — коэффициент температуропроводности а , м /с А[12] = 0,21 — коэффициент теплопроводности Хм. Вт/(м-К) А[13] = 2 А[14] = 5 А[15] — 5 — три значения шага по времени, с А[16] = 1000 А[17] = 4000 — значения градиента температуры для выбора шага интегрирования по времени, К/м. [c.213]

На чем основаны алгоритмы автоматического выбора шага интегрирования при решении систем дифференциальных уравнений [c.152]

Выбор шага интегрирования осуществляется автоматически и обеспечивает устойчивость процесса вычислений и получение физически непротиворечивых результатов. Прежде всего абсолютное значение приращения за шаг неупругой деформации Аед 276 [c.276]

Учет контактного краевого эффекта и выбор шага интегрирования [c.58]

Укажем, что алгоритмы решения уравнений Понтрягина (56) и (58) сравнительно просты [80]. По ним можно составить стандартные программы, которые позволяют определить вероятностные характеристики времени первого достижения границ для широкого класса одномерных и двумерных марковских процессов при вполне допустимых затратах машинного времени. Оценка среднего времени с помощью решения интегрального уравнения типа (61) с автоматическим выбором шага интегрирования в рассмотренном примере требует больших затрат машинного времени (с учетом изменения начальных условий). Однако уравнение (61) позволяет получить оценку времени первого достижения переменных во времени границ для произвольного дифференцируемого гауссовского процесса [60]. [c.195]

На рис. 7.13 представлены результаты расчетов. Для интегрирования системы уравнений пожара с заданными начальными условиями использовалась стандартная процедура Рунге—Кутты. Автоматический выбор шага интегрирования привел к крайне малым значениям (порядка 10 ), что само по себе говорит о плохой устойчивости алгоритма для данной системы. Таким образом при решении задачи развития пожара в помещении сталкиваемся с явлением жесткости системы дифференциальных уравнений. Поясним это явление на примере. Дана линейная система второго порядка [c.398]

Для приближенного интегрирования был применен метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования в зависимости от заданной точности. В результате были получены серии таблиц с числовыми значениями решений системы (92), (96) и (148) для различных параметров. На основании этих результатов были построены сводные графики некоторые из них будут приведены ниже. [c.84]

Выбор шага интегрирования 44 [c.329]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

При использовании численных методов решения уравнений (1.41) и (1.47) встает вопрос о корректном выборе шага интегрирования Ат, т. е. о получении результатов с требуемой точностью при минимальном времени счета. Многочисленные исследования показали, что достаточно точные результаты получаются при использовании шага по времени в пределах времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ [177, 178, 187]. С целью оценки эффективности предложенного алгоритма и выбора допустимых шагов интегрирования Ат было решено нескодыго модельных-задач колебан й стержня и балки [102]. Во всех задачах принимали следующие механические свойства материала модуль упругости = 2-10 МПа, плотность материала р = 5- 10 кг/м коэффициент Пуассона ц = 0,3. [c.37]

Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, в котором система близка к термодинамическому равновесию. В тех областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают трудности при выборе шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рун-ге—Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет практически невозможен даже при использовании сонременных ЭВМ. [c.204]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Мерсона, с которыми можно ознакомиться в работе [8]. При использовании этих методов на основе стандартных программ нет необходимости вникать в детали. Заметим, что большею частью в стандартных программах предусматривается автоматический выбор шага интегрирования h для обеспечения заданной точности. [c.457]

Выбор стандартного метода Рунге — Кутта для численного исследования течений N264 обусловлен тем, что этот метод не требует нахождения разгонных точек, позволяет вести расчет с переменным шагом и прост в применении. Недостатком метода Рунге — Кутта является ограничение в выборе шага интегрирования при расчете околоравновесных течений. Как отмечалось выше, величина М лимитируется значением характерного времени релаксационного процесса. В соответствии с механизмом термической диссоциации N2O4, принятым нами для расчета параметров потока, значение At определяется значением времени релаксации обратимой реакции [c.153]

Шаг интегрирования по времени должен быть выбран таким, чтобы он был всегда меньше предельного значения ЛтГпред- Поскольку коэффициент Ai может изменяться только в пределах от О до 1, то общее соотношение для правильного выбора шагов интегрирования можно записать в. виде [c.108]

Из обзора, приведенного в параграфе 2 главы I, следует, что одной из мало изученных является задача о контактном вза имодействии между оболочками, в частности оболочками вращения, особенно при нелинейном характере их деформирования. В данной главе из. о жен метод решения задач этого класса. Построен итеративный процесс, на 1а дом шаге которого решаются модифицированные линеаризованные краевые задачи для каждой из оболочек изучена сходимость такого процесса, получены разрешающие системы уравнений. Приведены сведения об адаптивном алгоритме, на основе анализа контактного краевого эффекта даны рекомендации по выбору шага интегрирования. Получены решения задач о контакте между цилиндрическими оболочками. [c.47]

Далее no формулам (16.28)—(16.31) и (16.25) определяют скорости деформации как функции времени в интервале от 4 до tk+i для каждой точки оболочки и, задав изменения температуры Т (О и флюенса Ф (/), интегрируют уравнения состояния (16.12) в интервале от до 4+i отдельно для каждой точки. В результате получают вектор состояния zffi в каждой точке оболочки. Интегрирование уравнений состояния в каждой точке может быть выполнено с помощью метода Рунге — Кутта высокого порядка точности с автоматическим выбором шага интегрирования для обеспечения задаваемой погрешности. [c.282]

При машинном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений наряду с рассмотренным выше методом Эйлера с итерациями применяются методы Рунге—-Кутта или Кутта—Мерсона, с которыми можно ознакомиться по книге [2]. Впрочем, при использовании этих методов на основе стандартных программ нет необходимости вникать в их детали. Заметим только, что большей частью в стандартных программах предусматривается и автоматический выбор шага интегрирования /г для обеспечения заданной точности. [c.14]

Уравнение (286) записано при условии, что константы скорости прямой и обратной реакции одинаковы и равны величине к. Это приводит к тому, что, когда система переходит в равновесие, доля релаксаторов и нерелаксаторов становится одинаковой и равной 0,5. Уравнение (286) интегр1фуется до юнца только в отдельных частных случаях, например, при и = 2. В общем случае, когда п является дробной величиной, интегрирование можно произвести только численными методами. С целью нахождения зависимости степени превращения а от времени / в работе [44] применили численный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. По найденным значениям величин а, которые были рассчитаны при различном малом шаге по /, определялись с помощью ЭВМ значения интеграла от переменной части ядра [c.302]

На точность метода влияет величина выбранного шага интегрирования. Клифтон [20] на примере упругих волн показал, сколь значительно влияние на погрешность решения имеет выбор шага интегрирования. Если шаг интегрирования выбрать так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения, ошибка растет линейно. В случае нарушения этого условия ошибка растет чрезвычайно быстро. Для случая системы почти линейных уравнений вопросы сходимости решения и вопросы устойчивости метода не исследовались. [c.243]

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старщей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения сохранения массы химической компоненты (1.15) для определения колебательной энергии (1.16) для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18) для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных мащин. [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...