Разностные формулы

Возможен и другой способ построения решения первого ряда. Подключим еще узловые точки, расположенные вне интересующей области у О, и воспользуемся более точной разностной формулой [c.180]

В плоском случае геометрические характеристики дробных ячеек можно получить непосредственным измерением. В осесимметричном случае необходимо произвести дополнительный пересчет, учитывая расстояние данной дробной ячейки до оси симметрии. Разностные формулы для дробных ячеек легко получить из разностных выражений для целых ячеек. Для этого потоки массы следует умножить на соответствующие ча- [c.195]

Выпишем разностные формулы для оператора N для случая ao=ai = 0, 02=1 (метод ПФ2). Имеем [c.212]

Производные в дифференциальных уравнениях аппроксимируются приближенными алгебраическими формулами. Эти формулы называются конечно-разностными и неизвестными в них являются значения функций в узлах. Замена производных в дифференциальном уравнении конечно-разностными формулами приводит к системе линейных алгебраических уравнений. [c.477]

Граничные условия, содержащие производные, с помощью конечно-разностных формул также заменяются алгебраическими уравнениями. Решение системы линейных алгебраических уравнений позволяет найти распределение напряжений в теле и изменения его размеров и формы. [c.477]

Складывая почленно равенства (21.5) и (21.6), получим конечно-разностную формулу для аппроксимации второй производной [c.479]

Используя еще раз конечно-разностную формулу (21.7), окончательно получим [c.481]

Эта формула называется центрально-разностной. Иногда при аппроксимации первой производной используются так называемые правые и левые конечно-разностные формулы, которые [c.481]

Из формул (21.1) и (21.7) получим конечно-разностную формулу для аппроксимации изгибающего момента [c.482]

Точность этих конечно-разностных формул анализируется как и в приведенных выше примерах. Не учитываемые погрешности являются величинами второго порядка малости 0(Н ), О (И у). [c.486]

В число неизвестных системы (21.32) входят значения фиктивных прогибов в законтурных узлах, отмеченных звездочкой ( ). Число уравнений становится равным числу неизвестных, если учесть краевые условия (21.23)—(21.26). Использование конечно-разностных формул приводит к дополнительным алгебраическим уравнениям. [c.487]

Упражнение 1.5. Доказать справедливость разностных формул Ньютона-Лейбница [c.163]

Для получения алгоритма метода прогонки запишем разностную формулу, аппроксимирующую в следующем виде [c.136]

Выражения (6.28) и (6.29) представляют первую и вторую производные через конечные разности. Эти выражения называются центральными. разностями, поскольку они. содержат ординаты, относящиеся к точкам, лежащим по обе стороны от точки г. Можно также получить выражения, содержащие (помимо ординаты в точке i) ординаты, относящиеся к точкам, которые расположены или только справа, или только слева от точки i, Такие выражения называются разностями для интерполирования соответственно вперед или назад. Кроме того, в конечно-разностной форме можно представить и производные порядка выше второго. Однако конечно-разностных формул, приведенных выше, будет достаточно для определения прогибов балок ). [c.234]

В приведенной форме метод Лакса—Вендроффа является явным и имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. В общем случае, когда присутствуют сильные ударные волны, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость. Различные модификации этого метода широко используются в аэродинамических расчетах. В последнее время широкое применение нашла схема того же порядка аппроксимации — схема Мак —Кормака [32]. Оба подхода дают одну и ту же окончательную разностную формулу для одномерных уравнений в консервативной форме (1.21) —(1.23), но формулы для двумерных уравнений различны. Обзор по рассматриваемому вопросу можно найти, например, в [33]. [c.39]

Па рис. 4 сплошными линиями показаны распределения р по сечению трубы при X = 7.4 в разные моменты времени (в этом сечении 1.1). Для сравнения штрихами нанесены результаты одномерного расчета, который проводился по той же программе и по тем же разностным формулам, но при одной ячейке по у, т.е. при N = 30, К = 1. При = О газ покоится и р = 1. Для [c.138]

Это конечно-разностная формула, справедливая для точек, лежащих на оси. Естественно, она не зависит от радиального распределения и [г). [c.151]

При решении задачи численным методом использовалась прямоугольная сетка с постоянными шагами. Аппроксимирующая система алгебраических уравнений, как обычно в методе сеток, получалась заменой производных в уравнении Чаплыгина центральными разностными формулами второго порядка точности на гладких решениях. Решение алгебраической системы проводилось методом итераций по явной двухслойной схеме Якоби. Интегральное граничное условие на звуковой линии заменялось разностным условием для двух соседних итераций, аппроксимирующим исходное условие в сходящемся итерационном процессе. [c.106]

Интегрирование производится вдоль контура, состоящего из трех сторон прямоугольника (рис. 4.1), в направлении от точки В (прообраз точки А находится на бесконечном удалении, так как в этой точке функция тока имеет логарифмическую особенность). На рассматриваемом контуре = 1, поэтому под знаком интеграла в выражениях для ж, у содержится только нормальная производная функции тока на границе. Для сохранения погрешности 0 Ъ ) при вычислении координат можно было бы воспользоваться односторонними трехточечными разностными формулами. Однако в данном случае, ввиду особенностей строения границы области, предпочтительнее использовать следующий прием. Нормальная производная на границе вычисляется по односторонней разностной (двухточечной) формуле с поправкой О К), пропорциональной второй нормальной производной. Последняя, в свою очередь, выражается из уравнения Чаплыгина через вторую тангенциальную производную, равную нулю, и через первую производную фг которая либо является нормальной производной, либо также равна нулю как тангенциальная производная. Этот прием позволяет вычислить нормальную производную на границе с погрешностью 0 Ъ ) по двухточечной разностной формуле. [c.117]

Применение односторонних разностных формул в области сверхзвукового течения в сочетании с методом прогонки хорошо согласуется с фактом отсутствия граничного условия на выходе из сопла, где скорость сверхзвуковая. [c.125]

Производные щ и находятся или по конечно-разностным формулам или, для повышения точности, после интерполяции функций МНУ сплайнами третьего порядка. Коэффициенты определяются [c.208]

При всех видах интерполяции предполагается, что рассматриваемая функция может быть представлена в виде степенного ряда с коэффициентами, определяемыми при помощи конечно-разностных формул. Исследования показывают, что только ограниченный класс функций, определяемый некоторым интегральным преобразованием, может допускать полиномиальное представление по формулам указанного типа с необходимой точностью. Поэтому при практических расчетах необходимо прежде всего установить точность, с которой может быть осуществлена аппроксимация рассмотренного вида по равноотстоящим интервалам [10, 11]. [c.317]

Модели элементов для обобщенного метода формирования ММС не зависят от методов интегрирования систем ОДУ, так как в них не требуется замена производных I разностными формулами, как в методе узловых потенциалов. [c.130]

Слагаемые в правой части (II 1.81) заменяются конечно-разностными формулами явной схемы [c.80]

В подавляющем большинстве современных программ анализа применяют форму (4.40). Для получения ММС в такой форме применяют методы узловых потенциалов (МУП) и табличные методы. В этих методах для алгебраизации реализуют одну из неявных разностных формул численного интегрирования [c.175]

Уравнение для поверхности пленки определим из уравнения (1.5.7), для чего представим интеграл по одной из формул численного интегрирования и затем продифференцируем полученную разностную формулу по х. Если проинтегрировать (1.5.7) по формуле трапеции, то уравнение для определения формы поверхности Гтримет вид [c.37]

Значения Um° заданы, wo —ф(т), поэтому по формуле (3.17) можно последовательно вычислить при всех т значения ы г. Переход на следующий слой аналогичен. Заметим, что к<1 при г<1. Это означает, что при расчете по разностным формулам (3.17), который называют двуточечной прогонкой, погрешности не будут накапливаться, т. е. такой расчет устойчив. [c.80]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Для аппроксимации в узле i второй производной d vjdx конечно-разностной формулой разложим + и [c.478]

Аналогично определ5Пот проводимости и при использовании других разностных формул численного интегрирования, общий вид которых [c.99]

Доказано, что при основных и дополнительных начальных условиях решение системы дифференциальных уравнений (43) существует и является единственным [23]. Поэтому можно применять методы численного интегрирования. Широкое распространение получили одношаговые методы, особенно формулы Рунге—Кутта четвертой и второй степени [23. В последнее время применяют разностные формулы Адамса—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и дают возможность решать системы дифференциальных уравнений на длинных отрезках. [c.431]

Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используется прямоугольная сетка инжние индексы i hJ используются для аргументов х и у, а верхний индекс п соответствует временному слою. Опуская для упрощения верхний индекс, рассмотрим три узловые точки 1, 2 и 3. Разложение в ряд Тейлора около узловой точки 3, расположенной посредине между точками 1 и 3, дает [c.93]

Для того чтобы в произведениях вида du ldx) duijdy) в функционале (4) оба сомножителя соответствовали одной и той же точке, кроме (5) применяются еще разностные формулы [c.185]

На основе известного распределения потенциала р мы можем вычислить величины в правой части равенства (7.5), используя, например, конечно-разностную формулу. Значение m и известные нормали к границе п" и п дают нам возможность вычислить osa и os а. В результате получается корректно поставленная задача, включающая только одну искусственную переменную и в углу. [c.197]

Ориентируясь на решение уравнений по явной схеме по времени, нет необходимости получать аналитически конечно-разностные формулы уравнений движения узлов оболочки. Их формирование удобно проводить алгоритмически с помощью специальной подпрограммы. Для этого мощность внутренних сил каж- [c.81]

Нам нужна еще величина Ыгг- Ее можно определить из уравнений (3.313), (3.323), (3.318) и(3.319). Теперь у нас есть все компоненты уравнения Лапласа (3.320). Подставляя в него выражения для Ыг, Щг и и г, получим длинное выражение, содержащее только г, б и девять значений потенциала. В результате некоторых упрощений нетрудно получить девятиточечную конечно-разностную формулу для аксиально-симметричных распределений потенциала [113] [c.150]

Аппроксимирующая система алгебраических уравнений для уравнения (4) получена заменой в дифференциальном уравнении производных центральными разностными формулами. Решение аппроксимирующей системы проводилось, аналогично плоскому случаю, методом итераций с прогонкой вдоль прямых г = onst. [c.120]

На каждой итерации применялся метод прогонки вдоль линий (р = = onst. Решение начинается с линии (р = В и заканчивается на линии (р = С, яа которой Л > 1. Используемые конечно-разностные формулы обеспечивают устойчивость прогонки. [c.127]

Приложение V представляет собой замечания Института метрологии СССР (ВНИИМ). Большинство из высказанных здесь замечаний было внесено в текст окончательного проекта. Важным является часть приложения, содержащая разностную формулу для вычисления температуры из показаний плaтинoвo o термометра сопротивления и указания на метод эталонирования термопар, обеспечивающий лучшее приближение к термодинамической шкале. [c.8]

Модель Линвилла характеризуется тем, что основные уравнения в частных производных (6.1) заменяются системой ОДУ, которые получаются приближенной заменой пространственных производных разностными формулами. Замена равносильна разделению одномерной р-п-р (или л-р-л)-структуры транзистора на ряд секций ко- [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...