Явное интегрирование

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Предлагаемая небольшая книга Владимира Васильевича Голубева представляет собой, собственно говоря, не вполне законченное исследование, позволяющее дать однозначные оценки, а ряд эскизов, замечаний, личных соображений. Все они очень интересны для широкого круга читателей, потому что принадлежат перу замечательного ученого — известного специалиста по теории аналитических функций и теоретической механике, в течение всей жизни обращавшегося к творчеству С. В. Ковалевской. Собственно, одна из его самых известных книг Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки посвящена явному интегрированию случая Ковалевской с помощью теории аналитических функций комплексного переменного. [c.5]

Несколько более общим является подход к вычислению распределения интенсивности изображения, при котором исключается явное интегрирование по источнику, а вклад источника [c.290]

В этих координатах х,у функция Н не зависит от Xi. Таким образом, если зафиксировать значение F = у = с, система уравнений Xk = дН/ду) , ук = —dH/dxk к 2) будет гамильтоновой с п — 1 степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения F = с, а. вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной Xj. Однако эффективное использование интеграла F для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы i = vp z). [c.63]

Отмеченная аналогия в дифференциальных уравнениях (10.61) и (10.62) позволяет распространить хорошо разработанные методы построения эпюр М и С на процесс определения прогибов и углов наклона. Суть этого метода состоит в том, что процесс явного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки заменяют более простым процессом построения эпюр про- [c.308]

В книге рассмотрены основные формы уравнений движения твердого тела, включая движение в потенциальных полях, в жидкости (уравнения Кирхгофа), с полостями, заполненными жидкостью. Приведены условия понижения порядка этих уравнений и существования циклических переменных. Собраны практически все известные к настоящему времени интегрируемые случаи и способы их явного интегрирования. Для исследования широко используются компьютерные методы, позволяющие наглядно представить картину движения. Большинство результатов книги принадлежат авторам. [c.2]

Итогом сказанному является то, что явное интегрирование и соответствующее разделение переменных для большинства задач динамики твердого тела были найдены классиками в конце XIX - начале XX века. Почти все из них, в несколько модифицированном виде, приводятся нами в 8 гл. 5. Вопрос о разделении переменных для многих более новых систем (гиростатические обобщения, многомерные волчки) до сих пор остается открытым. Возможно, что для решения этого вопроса следует несколько видоизменить саму идеологию метода Якоби и сделать его схему менее жесткой . В качестве дополнительной информации, полезной при этом, по-видимому, следует использовать топологический анализ и комплексные аналитические методы. [c.84]

Явное интегрирование и бифуркационный анализ [c.96]

Явное интегрирование. Переменные Ковалевской [c.112]

Явное интегрирование остальных случаев [c.158]

Данный случай интегрируемости аналогичен случаю Лагранжа в уравнениях Эйлера-Пуассона ( 3 гл. 2), а дополнительный интеграл F = Мз связан с наличием циклической координаты (угла собственного вращения). Редукция к одной степени свободы и явное интегрирование приведено нами в 1 гл. 4. [c.171]

Эта система родственна случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера-Пуассона. Его явное интегрирование также было выполнено С. А. Чаплыгиным [175]. [c.176]

Обобщение случая Чаплыгина на уравнения Пуанкаре-Жуковского выполнено О. И. Богоявленским (см. 2 гл. 3), при этом в гамильтониане (1.15) нарушается динамическая симметрия. В 8 гл. 5 мы приводим обобщение этих случаев на пучке скобок и их явное интегрирование. [c.176]

С. А. Чаплыгин указал условия, а также способ явного интегрирования этого случая в своей магистерской диссертации (1897 г.) [178]. Однако он не отметил явно его связи со случаем Гесса. В 1982 г. он независимо и в более общем виде был обнаружен В. В. Козловым и Д. А. Онищенко [98], которые получили его из условия расщепления сепаратрис. Оказалось, что в этом случае, так же как и в случае Гесса, одна пара сепаратрис приведенной системы (задаваемая соотношением (1.16)) является сдвоенной и определяет однопараметрическое семейство двоякоасимптотических движений. [c.176]

Явное интегрирование этого случая, также как и качественный и топологический анализ, до сих пор не выполнены. [c.209]

Отметим только, что решение в эллиптических функциях для системы (2.9) получается только при линейной и квадратичной зависимости потенциала (или обобщенного потенциала) от компонент 7 (соответственно, М, 7). В остальных случаях гироскопическая функция представляет собой полином степени выше четвертой и решение на комплексной плоскости времени уже является ветвящимся. Между тем методы качественного анализа, изложенные в гл. 2, способны описать движение с достаточной полнотой. Это еще раз подчеркивает бесперспективность явного интегрирования таких систем в тэта-функциях (включая и классический волчок Лагранжа), не способного ничего дать для исследования действительных движений. [c.235]

Комментарии, Наиболее изучены ситуации, когда осесимметричное тело опирается на плоскость одной точкой (подошвой) или окружностью (типа диска обруча или монеты). В первом случае, называемом волчком Лагранжа на гладкой плоскости или игрушечным волчком, анализ движения может быть выполнен аналогично 3 гл. 2. При явном интегрировании (2.14) здесь получается гиперэллиптическая квадратура (изучение которой имеется еще у Клейна [237, 238]). Однако после несложной замены времени, исключающую знаменатель в (2.14) легко показать, что все бифуркационные диаграммы, приведенные в 3 гл. 2, практически останутся без изменения. При этом подошва волчка на плоскости будет рисовать кривые, аналогичные тем, которые чертит апекс волчка Лагранжа на неподвижной сфере. Они содержатся, например, в книге Граммеля [66]. [c.236]

Случай Гесса геометрия, циклическая координата и явное интегрирование [c.240]

При А = О это обобщение было указано в работах И. В. Комарова [104, 239], его интегрирование с помощью обобщенного метода Ковалевской выполнено нами в [34, 197] (см. также 8 гл. 5). Интегрируемость системы (7.5) при А 7 О указана авторами, по-видимому, впервые (см. также [34, 197]), ее явное интегрирование до сих пор не выполнено. [c.299]

Его явное интегрирование было рассмотрено нами в [34, 197]. Сведение к уравнениям Абеля-Якоби при х ф О использует рассуждения Г. К. Суслова, предложившего свой метод интегрирования случая Ковалевской [163]. [c.308]

Случай Чаплыгина (I). Рассмотрим явное интегрирование в частном случае Чаплыгина на пучке скобок (8.13) при нулевой постоянной площадей. Примем следующие обозначения функций Казимира [c.315]

Несмотря на отдельные частные результаты [214, 277], явного интегрирования системы (10.26) до сих пор не выполнено. Сумма 71 + 72 + 7з равная единице, сохранена в (10.26) для однородности. [c.335]

Богоявленского (I) 189, 195 --явное интегрирование 316 [c.377]

Чаплыгина (I) 169, 175, 320 --явное интегрирование 315 [c.377]

Программный комплекс ПА-6 предназначен для анализа и параметрической оптимизации технических объектов, описываемых системами ОДУ. Основными элементами математического обеспечении анализа в ПА-6 являются методы узловых потенциалов, комбинированный неявно — явный интегрирования ОДУ, Ньютона, Гаусса. На основе этих методов в комплексе реализованы современные диакоп-тические алгоритмы анализа (латентного подхода, раздельного итерирования, временного анализа), позволяющие эффективно моделировать объекты большой размерности, содержащие сотни и тысячи фазовых переменных. Использование этих методов требует разбиения (декомпозиции) анализируемых объектов на фрагменты. В ПЛ-6 такое разбиение должен осуществлять пользователь по функциональному признаку. Кроме того, предусмотрена возможность совместного анализа объектов с непрерывными и дискретными моделями. [c.140]

На первый взгляд, структура решения задачи с помощью изопараметрических конечных элементов проста и не требует специального подхода. Однако при более детальном рассмотрении можно заметить, что стоит ввести промежуточный узел, т. е. задать криволинейный изопара-метрический стержневой элемент второго порядка (рис. 6, б), как трудоемкость явного интегрирования матрицы жесткости [ ] значительно возрастает. В этом легко убедиться, проделав аналогичные выкладки при следующих значениях [c.44]

Оставим эту работу заинтересованному читателю, а для остальных отметим, что для большинства изопара-метрических криволинейных конечных элементов (в дальнейшем назовем их слоокными изопараметрическими конечными элементами) явное интегрирование матрицы [/С] невозможно. Поэтому используются различные приемы численного интегрирования, а это, как известно, ведет к значительным затратам процессорного времени ЭВМ, в то время как матрицы жесткости регулярных конечных элементов могут быть получены аналитически и требуют незначительных затрат машинного времени. [c.45]

Разложение в ряды Тейлора по времени нелинейных коэффициентов уравнения движения влаги. При рассмотрении одномерной задачи обсуждался вопрос о повышении точности модели. Одним из способов усовершенствования модели является отказ от квазистационарности коэффициентов уравнения для влаги и их явное интегрирование по времени. Неизвестную функцию рекомендуется раскладывать в ряд Тейлора, а для вычисления производных использовать известную информацию с предыдущих шагов по времени. Интеграл по времени от ряда Тейлора легко вычисляется, т.к. представляет собой сумму степеней. Прием также является приближенным, но по сравнению с квазистаци-онарным подходом он позволяет более чем в 3 раза увеличить шаг по времени с сохранением прежней точности. Этот вывод был сделан на основе исследования поведения численного решения одномерной задачи диффузии жидкости в грунте с простейшими граничными условиями. Отметим, что разложение в ряды коэффициентов теплопроводности не приводит к более точному результату, т.к. эти коэффициенты слабонелинейны, и квазистационарный подход вполне приемлем для решения уравнения движения тепла. [c.153]

Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве-Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной. [c.14]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Явное интегрирование случая Эйлера легко получается с помощью переменных Андуайе-Депри, в которых интеграл (2.1) является циклическим (см. подробнее 3, гл. 1, где также приведен фазовый портрет случая Эйлера). Приведем явные выражения для моментов М в одной из четырех областей, разделенных сепаратрисами, на эллипсоиде энергии (см. рис. 14), [c.96]

Дополнительные интегралы в случае Эйлера и Лагранжа имеют естественное физическое происхождение. В первом случае это квадрат модуля кинетического момента, во втором — его проекция на ось динамической симметрии. В случае интегрируемости, найденном С. В. Ковалевской (1888 г.), дополнительный интеграл не имеет явного симметрийного происхождения. Он был найден почти столетием позже двух предыдущих и является несравненно более сложным как с точки зрения явного интегрирования, так и качественного анализа движения. [c.111]

Ш. Кёттер также несколько упростил метод явного интегрирования случая Ковалевской [233, 235] и предложил исследовать движение в равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси системе координат. С современных позиций введение переменных Ковалевской и сведение к уравнениям Абеля обсуждается в [92]. Качественный анализ движения оси динамической сим- [c.131]

При этом А. М. Ляпунов уделял основное внимание вопросам устойчивости, А. М. Стеклов — явному интегрированию, С. А. Чаплыгин — геометрической интерпретации. Многие из их результатов сейчас представляют лишь исторический интерес. Простейшие частные решения (в частности — плоские движения) и их физическая интерпретация обсуждаются в трактате Г. Ламба [111]. [c.170]

В работе [248] было рассмотрено явное интегрирование одного варианта системы Леггетта, описывающей поведение спина атома жидкого гелия Не в /3-фазе при наличии магнитного поля. Если рассматривать кватернионные уравнения динамики (см. 4 гл. 1), то гамильтониан такой системы можно записать в виде [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...