Неустойчивость численная

Модель на рис. 8.18 (Ь) была использована для исследования трех случаев нагружения (см. рис. 8.19), соответствующих различному расположению нагрузки Т на боковой стороне блока. Нагрузка прикладывалась к нижней части боковой грани в случае (а), к ее центру в случае (Ь) и к верхней части в случае (с). В каждом случае нагружения нагрузка Т увеличивалась до тех пор, пока итерационный процесс решения системы уравнений не расходился. Результаты суммированы на рис. 8.19 они показывают, что в данной частной задаче неустойчивость численного решения соответствует физической неустойчивости. [c.230]

Строгое описание процессов, проистекающих в твердом деформируемом теле при больших (конечных) деформациях представляет сложную проблему и требует привлечения определяющих соотношений нелинейной теории упругости [74 - 76, 88,130,191 и др.] с использованием громоздкого математического аппарата и мощной вычислительной техники. Сложность процесса построения решения, проблемы ветвления при неустойчивости численных алгоритмов, необходимость постоянного контроля их сходимости сопровождают исследование динамических задач в нелинейной постановке. [c.5]

Спектральная задача (18.5), (18.6), получившаяся в результате указанных упрощений, полностью эквивалентна обсуждавшейся в 16 задаче о неустойчивости вертикального конвективного течения при наличии продольной высокочастотной вибрации. Для отождествления требуется замена/- — Г и Ка ->Яа -. Таким образом, рассматриваемый ЭГД-механизм с точки зрения воздействия на устойчивость аналогичен вибрационному статическому механизму. Задача (18.5), (18.6) описывает (при произвольных Сг иКа -) взаимодействие ЭГД- и конвективных механизмов неустойчивости. Численные результаты решения этой задачи, полученные в работе [8] методом степенных рядов (рис. 79), согласуются с результатами решения соответствующей вибрационной задачи (рис. 73). [c.126]

Если воздух достаточно плотный, то при рассмотрении поля течения на фиг. 13.1 фронт ударной волны в первом приближении можно считать пренебрежимо тонким по сравнению с ударным слоем. Эта аппроксимация пригодна для гиперзвуковых скоростей и высот ниже примерно 60 км. Если рассматриваемый летательный аппарат осесимметричен, то поле течения также будет обладать осевой симметрией. Для цилиндра с полусферической головкой течение в ударном слое в области торможения будет дозвуковым оно переходит в сверхзвуковое приблизительно после угла 40° от оси (на звуковой линии), а гиперзвуковым становится уже на поверхности цилиндра. Аналитическое решение для такого поля течения получить трудно из-за сложности соответствуюш ей двумерной газодинамической задачи однако найдены многочисленные приближенные численные решения. Точное численное решение получить сложно, во-первых, из-за трудности, связанной с нахождением точного уравнения состояния, и, во-вторых, вследствие неустойчивости численных схем в окрестности звуковой линии. Достаточно точное численное решение трудно получить даже в случае газа с постоянной величиной у, как, например, гелия (для чисел Маха, меньших примерно 25). [c.467]

К проблемам, связанным с уравнением состояния и неустойчивостью численных схем, прибавляется трудность в определении положения фронта ударной волны и звуковой линии. Если предполагается, что фронт ударной волны представляет собой разрыв, то трудно провести интегрирование через фронт ударной волны обычными методами. Это затруднение можно обойти путем размывания фронта ударной волны с использованием искусственной вязкости, даюш ей возможность получить несколько промежуточных значений газодинамических параметров во фронте ударной волны. [c.467]

Для каждой из групп методов характерны свои специфические особенности. Наиболее важными из них для явных методов являются, во-первых, неустойчивость численного интегрирования при величине шага, превышающей некоторое критическое значение Лкр, и, следовательно, большое число шагов при численном решении (1.8а), во-вторых, сравнительно малый объем вычислений на одном шаге, который будем оценивать количеством арифметических операций умножения и деления Му. В неявных методах можно избежать численной неустойчивости. Тогда величина шага ограничивается заданной погрешностью решения eg и может быть значительно большей, чем в явных методах. Рисунок 15 отражает характер зависимости погрешности решения б от величины шага Л. Общее количество шагов интегрирования Ш на [c.90]

Неустойчивость численного решения возникает из-за существования в уравнении типа (3.17) произведения малой разности больших величин (а—а) на большое число т , что привносит большую погрешность, особенно вблизи равновесия. [c.105]

Понятие устойчивости разностной схемы связано с понятием корректности разностной схемы. Будем говорить, что разностная задача поставлена корректно, если решение существует и единственно при всех начальных и граничных условиях допустимого вида, причем решение разностной задачи непрерывно зависит от начальных данных и равномерно относительно величины шага сетки. Вторая часть условия корректности является как раз устойчивостью схемы по начальным данным. Для линейных задач условие устойчивости по начальным данным и устойчивость по правой части эквивалентны. Условие устойчивости связано с реакцией разностной схемы на ошибки, которые вносятся в правую часть Zu = f) в начальные и граничные условия. Рост возмущений приводит к неустойчивости численных расчетов. Если ошибки не накапливаются в процессе вычислений, то разностная схема устойчива. [c.128]

А. М. Ляпунов ставит вопрос об абсолютной величине отклонений Xk в том случае, когда еу иёу — не пули, а достаточно малые величины. Можно ли определить при достаточно малых величинах еу и ёу такие достаточно малые пределы для лгй , которые последние никогда не перешли бы по своим численным значениям А. М. Ляпунов отмечает, что ответ на этот вопрос зависит от свойств основного невозмущенного) движения, от момента времени t и от выбора (функций Qn. При некотором выборе последних ответ на поставленный вопрос будет характеризовать в некотором смысле то свойство основного движения, которое называется устойчивостью или неустойчивостью движения. А. М. Ляпунов ограничивает дальнейшее рассмотрение только теми случаями, когда ответ на поставленный вопрос не зависит от выбора начального момента времени 4- [c.326]

Уточненные границы области, полученные из уравнения (7.244), показаны на рис. 7.27 штриховыми линиями. Для второго приближения пересечение границ областей происходит при больших значениях параметра а . В зависимости от конкретного вида коэффициентов п, а/ уравнения (7.235) области неустойчивости могут существенно отличаться по своей форме от областей, полученных для уравнения Матье. Полученные приближенным методом Рэлея области неустойчивости являются приближенными, поэтому интересно выяснить, насколько они точно соответствуют истинным областям при точном решении исходного однородного уравнения (7.235). Метод точного численного определения областей неустойчивости изложен, например, в книге [12]. [c.227]

Из полученных результатов численного счета (рис. 9.5) следует, что для реальных трубопроводов, имеющих большую изгибную жесткость, неустойчивые параметрические колебания возможны (с учетом сил вязкого сопротивления) при сравнительно больших амплитудных значениях гощ периодических составляющих потока в рассмотренном примере они возможны при размерных значениях амплитуд, больших 150 см/с, т. е. практически при значениях, близких к постоянной составляющей скорости потока Шор. Наибольшую опасность представляют вынужденные параметрические колебания, которые приводят к накоплению усталостных повреждений и тем самым снижают долговечность трубопроводов. [c.275]

Сформулируем теорему о неустойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что 1) для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел - ) функции V существует область VV >0 и 2) если для некоторых значений величин х , численно сколь угодно малых, в этой области (УУ >0) возможно выделить область, где некоторая функция W > О, на границе которой W = 0 значения полной производной по времени W суть одного какого-либо определенного знака,— то невозмущенное движение неустойчиво. [c.246]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Однако, даже если условия разрешимости тем или иным образом установлены, численная реализация метода последовательных приближений оказывается, вообще говоря, связанной с некоторыми трудностями. Дело в том, что погрешность реализации (погрешность квадратурных формул), как правило, ведет к нарушению условия (2.25) и дополнительных условий (2.25 ). Устранить вызванную этим явлением неустойчивость (вернее, расходимость) было бы очень просто, если бы наряду с собственными функциями союзного уравнения были бы известны собственные функции исходного уравнения. Тогда надо просто перейти к уравнению (2.24) и решать его, не пренебрегая малыми добавками, которые будут вноситься слагаемыми Ф (л ) ф ( ). Строго говоря, эти добавки равны нулю, но из-за погрешности квадратурных формул они будут отличны от нуля и приводить к сходящемуся процессу. Переход за счет тех или иных слагаемых к уравнениям, не расположенным на спектре и эквивалентным исходным, при условии (2.10) может осуществляться с помощью других искусственных приемов. [c.46]

Гладкость ядра интегрального уравнения в той или иной степени может нивелировать особенности функции f x). Функция же F p) ввиду ее аналитичности является функцией весьма плавной, и поэтому резкое изменение функции f x) на малом участке в гораздо меньшей степени отразится на трансформанте, что, естественно, должно приводить к неустойчивости (некорректности) при численной реализации. [c.74]

Выше в ряде параграфов возникали задачи, принципиальное решение которых не представляло особых трудностей (решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, восстановление оригиналов по трансформантам интегральных преобразований и т. д.). Однако фактическая реализация этих решений была затруднена органически присутствующей в расчетах погрешностью, обусловленной как самой реализацией алгоритма, так и погрешностью, вносимой при подготовке начальных данных. Эти задачи включаются в класс так называемых некорректных задач, т. е. задач, решение которых неустойчиво. К ним принадлежат также и задачи, некорректность которых не связана с процедурой численной реализации, а обусловлена самим существом задачи. [c.190]

Подробно остановимся на вопросе о решении уравнения (5.2). Присутствие в этом уравнении оператора первого рода делает задачу некорректной, что может проявиться в неустойчивости того или иного численного алгоритма, хотя сама смешанная краевая задача является корректной ). [c.597]

Неустойчивость дифференцирования. В заключение сделаем несколько замечаний, касающихся погрешности численного дифференцирования. Пусть, например, производная f x ) вычисляется по формуле (1.23) [c.13]

При уменьшении шага h уменьшается погрешность метода (первый член), но растет влияние погрешности в задании функции (второй член). Говорят, что формулы численного дифференцирования неустойчивы. [c.14]

Следует отметить, что далеко не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля. Метод, используемый для решения, может оказаться при условиях конкретной задачи неустойчивым, т. е. при измельчении сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного. Поэтому для оценки точности численного решения при выбранном шаге и его проверки вообще целесообразно в нескольких узлах провести сравнение с аналитическим решением, если таковое существует. Например, для рассмотренной выше задачи разностная схема (6.7) неустойчива, поскольку температура на поверхности куба не является непрерывной функцией. Действительно, аналитическое решение для куба с ребром а при указанных выше граничных условиях имеет для точки с координатами х, у, г) вид бесконечного равномерно сходящегося ряда [33] [c.93]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Вместе с тем знание решения )= (t) позволяет выделить области допустимых начальных условий, при которых возникают устойчивые и неустойчивые предельные режимы угловой скорости движения звена приведения машинного агрегата. Учет этих областей оказывается важным, например, при численном интегрировании уравнения двин ения (8.И). [c.292]

Рис. 2. Низкочастотная неустойчивость блока питания (численное решение и эксперимент)

Основным требованием к выбору лучшего технологического варианта обработки является сочетание максимальной производительности с однородностью размеров, сообщаемой большому числу деталей. Возможные потери от брака, численность контрольного персонала и размер накладных расходов на содержание контроля в значительной степени определяются устойчивостью технологического процесса, обеспечивающего стабильность (однородность) качества продукции. Для контроля деталей, параметры которых однородны (болты, гайки, пружины, рессоры, несложные штампованные детали из листа и т. п.), можно пользоваться весьма экономичной выборочной проверкой. Процессы обработки, при которых не обеспечивается однородность параметров, дают значительный отход деталей в брак и требуют их сплошной проверки. Для организации контроля деталей при таких неустойчивых процессах требуется либо многочисленный штат контролеров и, следовательно, высокие накладные расходы на их содержание, либо большие капитальные затраты на механизацию и автоматизацию контрольной рассортировки деталей. [c.35]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

По результатам проведенного анализа возможной схемы возникновения неустойчивой работы ротора и численных оценок основных параметров, определяющих явление, могут быть сделаны следующие рекомендации по устранению повышенных вибраций ротора [c.68]

Противоречивость требований, заложеииьж в основу вариационного метода, приводит к естественным трудностям при выборе заправляющих параметров, определяющих ценность того или иного критерия оптимальности. Варьирование весов Ар, Ло, в широких пределах может привести к неустойчивости численной процедуры решения уравнений [10]. [c.521]

Тейлор [1970] показал, что граничные условия типа Неймана (задание величины градиента ) могут привести к неустойчивости численного решения уравнения диффузии по схеме Дюфорта — Франкела, если представление разностей в граничных точках плохо согласовано со схемой расчета во внутренних точках. По-видимому, такое согласование не столь важно для течений с большими Ке, но сушественно для течений с малыми Не и в задачах диффузии. Аллен [1968] столкнулся с некоторыми трудностями решения у границы при применении этой схемы к уравнениям, описывающим течения сжимаемой жидкости. [c.98]

Численные расчеты устойчивости производились для плоскопараллельных течений с профилем скоростей, меняющихся между двумя значениями Со по некоторому закону, например, v = Uoth(2//i) (роль числа Рейнольдса играет при этом R = voh/v). Нейтральная кривая в плоскости k, R оказывается выходящей из начала координат, так что для каждого значения R имеется интервал значений k (возрастающий с увеличением R), для которых течение неустойчиво. [c.155]

В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о границе устойчивого и неустойчивого состояний и не может предсказать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненциальный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости, предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только такой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие силы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарастают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается конечной в гравитационных пленках. На основании численных исследований в рамках нелинейной теории были получены некоторые практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не могут быть представлены в виде прость(х аналитических соотношений основные тенденции, следующие из численных решений, описываются обычно качественно. В частности, важный качественный вывод делается Холпановым и Шкадовым [43] в отношении влияния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой поверхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого значения т" (при заданном расходе жидкости Fq), увеличение касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего никак нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках линейной теории Кельвина—Гельмгольца. [c.171]

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно применять разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост погрешностей округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не влияет на устойчивость счета. Для проверки этих соображений были проведены специальные расчеты, в которых рассматривалось различное расположение точек на слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом рост погрешностей округления в области / приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении по нормали к линии тока счет становился неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, но большим шагом, таким, что рост погрешностей округления в области / был практически неощутим, погрешности аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становил- [c.189]

При реализации численной схемы на начальном этапе процесса ограничение на шаг Ат не является обременительным, поскольку для расчета быстрого процесса, определяемого членом ехр (jimaxt), из условия получения требуемой погрешности расчета значение шага Ат, как правило, все равно должно быть меньше, чем Атщах- Неудобства возникают после выхода на основную стадию. Быстрый экспоненциальный множитель в точном решении затухает и возникает потребность увеличения шага по времени для отслеживания медленно меняюш,егося процесса. Однако из-за свойств разностной схемы шаг увеличивать нельзя, поскольку сразу же начинает развиваться неустойчивость. В результате вся длительная основная стадия процесса рассчитывается с малым шагом по времени. Это приводит к недопустимому увеличению затрат машинного времени и накоплению погрешностей округления, которое может суш,ественно исказить окончательные результаты. [c.40]

Правильный выбор Аг и Дх при решении системы явных конечно-разностных уравнений имеет важное значение. Сравнение точного и численного решений показывает, что вычисления с аДгДДх) < 0,5 приводят к вполне удовлетворительным результатам, в то время как при аДгДДх) > 0,5 в процессе решения появляется неустойчивость. Значение Аг следует выбирать таким, чтобы оно удовлетворяло условиям устойчивости. [c.89]

При численном исследовании возможных путей зарождения и развития разрушения в слоистом композите из N (- 50) параллельных элементов под действием растягивающего напряжения о Скоп и Аргон [32] нашли, что определяющим видом устойчивого развития разрушения является симметричное распространение разрушения от изолированного зародьипа путем последующего разрушения двух соседних элементов. Разрушение в конце концов становится неустойчивым, когда разрушенные близлежащие элементы образуют трещину критической для данного напряжения длины. В этот момент трещина быстро пройдет через деталь. [c.189]

Следствие 1 из теорем 7 и 8. Если в условии 2 теоремы 7 определен импульс П как функщ1Я jf, при некотором значении расхода и момента количества движения, не зависящего от, а также фиксировано численное значение импульса П, (или энергии е ), то тем самым в потоке определены два состояния, одно из которых, сверхкритическое, неустойчиво, а второе, подкритическое, устойчиво. [c.64]

Недостатком метода комбинации решений является возможная потеря точности (численная неустойчивость) при больших интервалах интегрирования [6, 13]. В та ких случаях следует обратиться к методу прогонки, обес печивающему устойчивость вычислительного процесса [c.68]

Трудности в численных расчетах, встречающиеся при исследовании балки, опертой на жесткие пружины, обсуждались Пестелем и Леки [4.8. Эта проблема становится еще более актуальной при расчете панелей самолетов. Одной из основных возникающих здесь трудностей является цепочка перемножений матриц типа представленных в уравнении (4.125), так как если цепочка становится длинной, а жесткость упругого элемента, определяющая матрицу [Р], существенно превышает жесткость балки на изгиб, определяющую матрицу [U], то возникает неустойчивость процедуры численного счета, что по существу является результатом вычисления малых разностей больших чисел в вычислительных машинах при конечной точности представления чисел. Для задач о свободных колебаниях это означает, что иногда, особенно когда это связано с задачами, описываемыми уравнениями высоких порядков (типа уравнений оболочек), возникают трудности определения частот, при которых частотный определитель достаточно близок к нулю, с тем чтобы с необходимой точностью найти формы колебаний. При решении задач о вынужденных колебаниях может вызвать затруднение процедура численного обращения матрицы (см. уравнение (4.128)). Как было показано Лином и Макданиэлом [4.7], это связано с соотношением [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...