Рунге способ

Способ Рунге оценки погрешности. Рассмотрим практический прием оценки погрешности приближенного решения. Пусть погрешность на шаге пропорциональна Л " и решение найдено в точках л о, Xa- -h, x - -2h,. .., Х2п=-x-o- -2nh. Обозначим приближенное решение, полученное с шагом Л, в точке д гп через у. Решение в той же точке Х2п, полученное с шагом 2ft, обозначим через у. Пусть ут — точное решение в точке Х2п. Если предположить, что коэффициент А о главном члене погрешности постоянен, то [c.18]

Интегрирование может проводиться любым из доступ-H ix для машины способом Рунге — Кутта, Адамса... Мож-обойтись и бесхитростным интегрированием по Эйлеру [c.441]

С точки зрения сокращения затрат машинного времени для одного шага новый способ предпочтительнее, поскольку в схемах Рунге— Кутта вычисленные на промежутке [ту, Tj+J значения / (т, и) не будут использованы на следующем шаге от Xj+i до т основные затраты времени связаны с вычислением этих значений. В многошаговом же методе при вычислении мы не сможем использовать только значение f в наиболее удаленной точке, участвовавшей в определении значения Ш + . Остальные значения функции / в точках Xj, можно использовать и при вычислении и/+ . Однако в целом сопоставление затрат машинного времени нужно проводить, учитывая общее число шагов J, необходимое для достижения заданной погрешности. [c.35]

Рассмотрим основной, применяемый на практике, способ апостериорной оценки погрешности, называемый правилом Рунге. Пусть из теоретического анализа известно, что численный метод имеет порядок точности р, т. е. погрешность R пропорциональна h [c.62]

Авторы справочника [124] отмечают, что к настоящему времени насчитывается свыше 50 приближенных методов решения уравнения (23.5), которые можно разделить на три группы аппроксимации, конечных разностей и интегральные. Методы аппроксимации основаны на замене непрерывной неоднородности участками с постоянными параметрами упругости или с законами г), для которых известны точные решения. Наиболее употребителен при таком подходе способ, основанный на идее метода начальных параметров. Метод конечных разностей может применяться, очевидно, в любой трактовке с использованием различных приемов уточнения решения. В ряде работ задача сводится к интегральному уравнению, которое решается методом последовательных приближений. При использовании ЭЦВМ эффективное решение можно получить методом Рунге—Кутта, сведя предварительно краевую задачу (23.3), (23.5) к задаче Коши, При граничных условиях (23.3) легко построить решение методом Бубнова—Галеркина, приняв функцию X в виде [c.115]

Из нашего построения вытекает простой способ графического определения центра тяжести криволинейной трапеции. Для этого интервал Ах делят на три равные части. Правую точку деления т соединяют весовой линией тп с серединой отрезка аЬ, а зятем на высоте г/i - - .y проводят делительный луч Dd. Точка d укажет на положение линии пк, проходящей через центр тяжести криволинейной трапеции. К- Кульман, М. Леви, К- Рунге [31 ] и другие приводят построения для определения центра тяжести криволинейных трапеций, исходя из других, чисто геометрических соображений. Построение указанных авторов несколько сложнее нашего и менее наглядно обосновано с точки зрения самого физического смысла данной задачи. Довольно изящно эту задачу решает профессор Гентского университета П. Массо. [c.55]

Анализ моментных соотношений удобно производить при помощи численных методов, например путем интегрирования по способу Рунге—Кутта при некоторых начальных условиях. На рис. 5.4, а показана эволюция границ области устойчивости [c.146]

Программа содержит три цикла. Во внешнем цикле изменяются значения частоты Q, начиная с величины QH до величины QK с шагом HQ. В среднем цикле изменяются величины амплитуды М от МН до МК с шагом НМ. Для сочетания значений параметров Q и М во внутреннем цикле осуществляется интегрирование системы уравнений по способу Рунге—Кутта при некоторых начальных значениях ZK (I) с шагом по времени НТ. При этом делается NT шагов. Наблюдение ведется только за одной функцией системы ZK(1). Для этой функции по формуле [c.253]

Подпрограмма использует вариационно-матричный способ получения канонической системы разрешающих уравнений, численное интегрирование методом Рунге—Кутта для формирования матрицы фундаментальных решений (М.ФР) на кольцевом оболочечном элементе и получение на основе МФР матрицы жесткости конечного элемента оболочки вращения. [c.227]

Заметим, что требование совпадения разложений в ряд Тейлора до некоторого определенного порядка может быть обеспечено многими другими способами. Поэтому существуют различные формулы Рунге — Кутта, используемые разными авторами. Из-за способа, по которому они определяются, их точность не может существенно отличаться друг от друга. Точность, однако, может быть существенно повышена путем использования методов Рунге—Кутта более высокого порядка. [c.362]

В целях проверки точности метода интегрирование системы дифференциальных уравнений стопорного режима осуществлялось на ЭЦВМ Минск-22М по стандартной программе методом Рунге — Кутта с автоматическим шагом и по программе, реализующей алгоритм П. В качестве способа аппроксимации использовались полиномы метода наименьших квадратов. [c.319]

Ошибки способа конечных разностей. Уточнение решения внутри рабочего шага. Прием Рунге—Кутта. Применение метода к более обш,ему случаю — решению системы нескольких уравнений первого порядка [c.41]

ЦВМ значительно проще и точнее решает эту же задачу другим, принципиально отличным от указанного, но также знакомым нам способом — приближенным численным интегрированием по методу Эйлера или Рунге— Кутта (см. первую часть). При этом существенно упрощается и программа решения, уменьшается требуемое время загрузки машины и повышается точность результатов. [c.252]

Все это относилось к линейному уравнению с постоянными коэффи-, циентами, но легко сообразить, что поскольку приближенные способы интегрирования и по Эйлеру и по Рунге—Кутта справедливы и работоспособны и для уравнений, в которых коэффициенты а , а ,. .. [c.264]

Разложение кривых на высшие гармоники по способу Рунге. В технике сильных токов приходится иметь дело большей частью с такими э. д. с. и токами, которые симметричны относительно оси В этол случае в качестве составляющих гармоник входят только нечётные гармоники синуса и косинуса. Разложение таких кривых рассматривается ниже. [c.506]

В настоящее время прикладная математика располагает достаточно надежными способами численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В расчетной практике наибольшее распространение получили одношаговые методы, представляющие собой различные модификации методов Рунге — Кутта [44]. Преимущество этих методов (например, по сравнению с конечноразностными) заключается в [c.82]

И действительно, существует формальный способ построения асимптотических разложений по обратным степеням ш (или большого параметра, пропорционального ш) решений краевых задач для уравнений (2) и (6). Этот способ, впервые в простейшем случае указанный Зоммерфельдом и Рунге, получил впоследствии название лучевого метода. Главный член лучевых разложений содержит в себе не только лучевое описание волнового движения (собственно геометрическую оптику), но и дает амплитудные характеристики волны. [c.10]

Задача (3.1)-(3.6) решается численно методом Рунге-Кутты. Данные, приведенные на фиг. 2, получены именно таким способом. [c.192]

При определении установившихся колебательных режимов можно также воспользоваться следующим комбинированным аналитико-вычислительным способом. Сначала методом численного интегрирования (например, методом Рунге-Кутта) определяем частное решение Y t) уравнения (3.30) при нулевых начальных словия в ода периоде т. Далее находим, Do = [c.95]

Система уравнений (3-17) решалась на ЭВМ численным методом Рунге — Кутта при следующих начальных условиях Ха = 0 i/ = = 0,04 м 1(1 = 0 ajo = 0,01 м1сек для разных способов определения силы трения Ftp- [c.74]

После разбиения областей, занятых паровой и жидкой фазами на сферические слои уравнения с частными производнымипо г ж t переходят в обыкновенные дифференциальные уравнения по определяющими параметры в каждом сферическом слое. Задача решалась в безразмерных переменных методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности, методом Эйлера с пересчетом и т.п. Отладочные расчеты проводились для случая отсутствия твердого ядра в пузырьке (го = 0) и для остывания нагретой частицы в жидкости (р1 = ро). Отладочные результаты хорошо согласуются с результатами [2], подтвержденными экспериментально, и с известными аналитическими решениями [6]. Кроме того, для контроля счета сравнивались значения массы парового слоя, вычисленные двумя разными способами (1.5). [c.717]

Аналогичная методика может быть использована для построения приближенных решений более сложных нелинейных задач. Однако трудности вычислений возрастают настолько быстро, что при практических расчетах удается провести исследование лишь для усеченных систем низкого порядка. Для анализа нелинейных уравнений, получаемых путем замыкания по принципу квази-гауссовости, можно рекомендовать метод дифференцирования по параметру нелинейности, т. е. метод сведения к задаче Коши с последующим численным интегрированием по способу Рунге— Кутта. [c.27]

Наиболе.е подходящим способом анализа является сведение системы (7.79) к задаче Коши путем дифференцирования по параметру средней скорости v с последующим интегрированием по методу Рунге—Кутта. Этот прием был использован выше для иссле- [c.222]

В тех случаях, где теория упругости не дает точного ответа на по ставленную задачу, мы считали необходимым указывать на приближенные методы решения вопроса. Приближенным способам интегрирования дифференциальных уравнений, встречающихся в теории упругости, мы придаем большое значение и полагаем, что решение целого ряда весьма важных технических задач зависит от развития этих методов. В нашем курсе мы считали необходимым хотя бы вкратце коснуться известного приема решения уравнений математической физики, предложенного Вальтером Ритцем , и применили этот прием при решении плоской задачи и при исследовании изгиба и кручения призматических стержней. Отметили вычислительный метод решения уравнений в частных производных, разработанный Л. Ричардсоном а также вычислительный и графический методы, предложенные К. Рунге и разработанные его учениками [c.10]

Заметим, что для построения траектории точки касания груза с балкой выгодно применить вычислительный способ интегрирования уравнения (Ь). Для этого мы разбиваем балку на большое число равных промежутков и последовательно для каждого деления вычисляем у, у и у. Для начального деления уо и у предполагаются известными. Подставляя уо в (Ь), находим начальное значение у д. По начальным значениям у%, и у мы иожеи, например, способом К. Рунге вычислить у и у для следуюш его деления и получить при помош и (Ь) у для того же деления. Имея величины уг, и возможно тем же путем перейти к у, ж 2 и т. д. [c.358]

Еще один способ приближенного решення задач кручения, основанный на теории конечных разносгей, был предложен К. Рунге Он применил этот способ для исследования кручения стержня с сечением в виде креста, образованного из пяти квадратов. [c.286]

До этого к. Тёпфер решил дифференциальное уравнение Блазиуса (7.28) путем численного интегрирования по способу Рунге — Кутта. Затем Л. Хо-уарт вновь решил это уравнение, выполнив все вычисления с большой точностью. Значения /, /, /", полученные Хоуартом, даны в таблице 7.1. В этой связи упомянем также о новом методе интегрирования, указанном Д. Мексином 1 ]. [c.135]

Периодическая функция, подлежащая разложению в ояд Фурье, может быть задана в виде графика (осциллограммы). В этих случаях коэфициенты ряда вычисляют приближённым методом. Наиболее простым методом приближённых вычислений является метод Рунге. По этому способу для нахождения первых 0диннадца и гармоник половина периода разлагаемой кривой (фиг. 22) [c.506]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...