Метод центральных разностей

Метод центральных разностей [c.375]

Соотношения (10.34)—(10.36) совместно с начальными условиями дают процедуру пошагового интегрирования уравнения (10.32), известную под названием метода центральных разностей [11. Равенства (10,34) можно рассматривать как формулы численного дифференцирования, симметричные относительно центральной точки / = ti это объясняет название метода. [c.376]

Метод центральных разностей весьма прост. Он особенно удобен в том случае, когда матрица масс имеет диагональную или блочно-диагональную структуру, а демпфирующими силами можно пренебречь (или же когда матрица демпфирования С пропорциональна матрице масс). Тогда решение системы уравнений относительно v + i становится тривиальным. Но если некоторые узловые массы равны при этом нулю, то определение Vj + i становится невозможным. В связи с этим исследуем подробнее устойчивость метода центральных разностей. [c.376]

Полагая в соответствии с методом центральных разностей [c.377]

К группе условно устойчивых относится метод центральных разностей. Для этого метода вектор-столбец обобщенных ускорений q в момент времени т+уАт, где / — номер временного шага, Дх— величина временного шага, аппроксимируется в виде [c.14]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

При измерении бесконтактным проекционным методом центральная штрихован линия сетки окулярной головки или экрана поочередно визируется на диаметрально противоположные стороны профиля резьбы так, чтобы перекрестие было примерно в середине высоты профиля. Разность показаний по отсчетному устройству при поперечном ходе каретки микроскопа принимается за средний диаметр резьбы d . Для точного измерения необходимо установить диаметр диафрагмы осветители в соответствии со значениями и а. Бесконтактный метод измерения вследствие значительного искажения профиля резьбы дает большую погрешность. [c.224]

В табл. 1 приведены экспериментальные и теоретические частоты колебаний для пластинки с центральным вырезом. Черными точками на рисунках табл. 1 обозначены узлы конечно-разностной сетки, в которых при теоретическом исследовании были получены максимальные амплитуды и соответствующие им формы свободных колебаний. Как видно, в случае использования улучшенной конечно-разностной схемы результаты получаются значительно более точные. Сравнение теоретических и экспериментальных данных показывает хорошее совпадение, и различия между ними не превышают 1,5% для основной формы колебаний и 3 % для более высоких. Очевидно, что для высших форм колебаний точность результатов, полученных методом конечных разностей, снижается. Общей закономерностью, как видно из схем табл. 1, является то, что максимальные амплитуды колебаний имеют место около краев выреза. [c.124]

Полученные обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения методом конечных разностей (с использованием центральных операторов первого приближения) преобразуем в систему нелинейных алгебраических уравнений, которая решается с использованием метода Ньютона—Канторовича. [c.91]

Интегрирование уравнений (IV.4), (IV.5) ведем методом конечных разностей. Используя центральные разности, получаем в каждом узле прямоугольной конечноразностной сетки [49] [c.96]

Согласно основной идее конечно-разностного метода решения дифференциальных уравнений заменим частные производные функций p(q , у) разностными отношениями. Применяя формулы центральных разностей, имеем [c.7]

Для конечно-разностной аппроксимации уравнения (6) использованы правая разность по времени (метод Эйлера) и неявная центральная разность в пространстве. Для решения полученной системы уравнений было сделано несколько итераций. Как правило, для достижения требуемой точности [c.194]

После того как было дано общее описание устойчивости, рассмотрим три метода исследования устойчивости, их взаимосвязи и сравнительные достоинства. Эти методы будут продемонстрированы на примере разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной в применении к линейному модельному уравнению (3.18). [c.62]

О-мерной задачи диффузии с использованием явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным увеличивает машинное время в (Дл 1/Дх2) +° раз. Ясно, что методы, в которых удается избежать условия устойчивости (3.73), были бы весьма желательны. [c.65]

Анализ устойчивости при помощи метода дискретных возмущений менее надел<ен. По сравнению с систематичным и формализованным методом фон Неймана успех применения этого метода является делом удачи. Для схемы с разностями против потока он приводит к тому же результату, что и метод фон Неймана (см. последние три упражнения). Дополнительное требование об отсутствии осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени (которое, впрочем, не является очевидным требованием устойчивости в смысле ограниченности решения), также приводит в этом методе к результатам, совпадающим с результатами метода фон Неймана для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, но при существенно меньших затратах труда. Однако совсем не очевидно, что этот критерий дает правильные результаты для более сложных схем, поэтому в настоящее время его применимость в общем случае находится под вопросом. Тем не менее с помощью метода дискретных возмущений можно исследовать устойчивость в граничных и во внутренних точках в тех случаях, когда метод фон Неймана оказывается непригодным. [c.82]

Упражнение. Применить метод Неймана к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным для трехмерного уравнения диффузии [c.84]

Анализ устойчивости при помощи метода фон Неймана можно провести очень просто, используя пример в разд. 3.1.5. б, относящийся к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, и замечая, что теперь в уравнении (3.105) надо заменить d на С /2. Тогда в силу формулы (3.108) для множителя перехода в схеме Лейта будем иметь [c.121]

В некоторых случаях такая аналогия выполняется точно. Для того чтобы продемонстрировать подобную эквивалентность, выведем итерационный метод Ричардсона для эллиптического уравнения Пуассона из нестационарной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным для уравнения диффузии параболического типа. [c.178]

Такая форма уравнений и их смысл уже обсуждались в связи с уравнениями (3.580) — (3.581). Разностная схема для уравнений количества движения основана на разностях вперед по времени и центральных разностях по пространственным переменным. Подобная схема была рассмотрена в разд. 3.1.1 и последующих разделах ее устойчивость обсуждалась в разд. 3.1.5 и последующих разделах. Эта схема безусловно неустойчива для течений невязкой жидкости. Однако разностные уравнения в методе MA несколько отличаются из-за структуры ячейки. [c.298]

Применение способа отражения в расчетных сетках первого и второго типов дает совершенно различные результаты ). При использовании в точке ш + 1 аппроксимации второго порядка, принятой для стандартных внутренних точек, потоки всех величин / на стенке ш /г) обращаются в нуль. Это легко показать при помощи метода контрольного объема, примененного для уравнений с центральными разностями (см. разд. 3.1,1). Значения потоков величин на стенке (и/)0.+1/2 определяются следующим образом [c.395]

Рассмотреть метод исследования устойчивости, основанный на дискретизации по пространственной переменной при отсутствии дискретизации по времени. Этот метод, вероятно, был бы приемлем для гибридных (аналого-цифровых) вычислительных машин, в которых текущее время задачи находится в определенном соответствии со временем вычислительной машины. Этот метод можно было бы использовать для изучения классов разностных схем, которые строятся в виде комбинации схем для одномерных обыкновенных дифференциальных уравнений например, схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной принадлежит к этому классу, а схема Лейта не принадлежит. [c.531]

В двумерной задаче ) уменьшение вдвое шагов Ах и Ау увеличивает число расчетных точек в четыре раза, увеличивая тем самым необходимое машинное время в 16 раз. В трехмерной задаче диффузии уменьшение всех трех пространственных шагов вдвое увеличивает машинное время в 32 раза. В общем случае уменьшение размера шага с Ах до Дхг при решении О-мерной задачи диффузии с использованием явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным увеличивает машинное время в (Ал 1/Ах2) +° раз. Ясно, что методы, в которых удается избежать условия устойчивости (3.73), были бы весьма желательны. [c.65]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Для решения задач динамики с помощью прямого интегрирования чаще всего используются метод центральных разностей метод Хаболта метод Вильсона метод Ньюмарка. В частности, широко применяется одношаговая процедура Вильсона, под которой понимается процедура, обеспечивающая определение всех характеристик движения системы для времени = по их значени- [c.75]

Для численного решения уравнения движения известно большое число шаговых численных методов. Конечно-разностные операторы по времени, представляющие ускорение разделяются на две группы условно устойчивые и безусловно устойчивые. Условно устойчивые методы (например, метод центральных разностей) становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат больше некоторого критического значения. Безусловно устойчивые методы (например, метод Хубольта), устойчивы вне зависимости от выбора величины шага по времени, однако при этом усложняется процесс интегрирования и возникает влияние фиктивного затухания, вносимого в модель конечно-разностными операторами. При решении методом Хубольта вектор узловых обобщенных ускорений q в момент времени т + уАт (/ — номер временного шага) аппроксимируется в разностном виде с интерполированием назад [c.110]

Итак, устойчивость метода центральных разностей обеспечивается лишь в тсйи случае, когда шаг At не превосходит критического значения М, равного [c.379]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Рассмотрим пример расчета оболочки при следующих данных i = 0,20 м 2й.=0,02 м длина оболочки 1=0,40 м мате-риа.ч—сталь ( = 1,15-10 Н/м , ц = 7,7-10 Н/м ). Считаем, что нагрузка = — 1 Н/м распределена по кольцевой зоне шириной Ь = 2/г/4 в центральной части оболочки. На краях удовлетворяются условия жесткой заделки. Задачу решаем методом конечных разностей на ЭВМ БЭСМ.-6. Количество узлов сетки по образующей принимаем равным 83 (с двумя законтурными узлами). [c.70]

Для определения общей потенциальной энергии деформируемой системы, обусло1зленной действием изгибающих и крутящих моментов, введена конечно-разностная схема с пересекающейся сеткой. Использование этой схемы дозволяет уменьшить погрешность аппроксимации выражений для потенциальной энергий деформации, вызванной крутящим моментом, с помощью конечно-разностных соотношений, и, кроме того, исчезает необходимость введения фиктивных узлов в граничной области. Узловые подобласти, используемые в этом методе, дают возможность получить приближенные конечные суммы, базирующиеся на значениях функций в узлах сетки, покрывающей определенным образом рассматриваемую пластинку. Выражение потенциальной энергии деформации для граничных узловых подобластей соответственно изменяется таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия для изгибающего момента и чтобы обеспечивалась возможность применения центральных конечных "разностей в районе границ. Дополнительные граничные условия для напряжений удовлетворяются автоматически в процессе минимизации, приводящей к конечно-разностным соотношениям, подобным тем, которые получаются при прямом использовании метода конечных разностей, но без применения фиктивных узлов, лежащих за границей пластинки. [c.115]

Расчеты осуществлялись с помощью метода конечных разностей. Использовалась равномерная прямоугольная сетка. Все пространственные производные аппроксимировались центральными разностями, производные по времени — односторонними разностями (явная схема). Уравнения Пуассона для функций тока решались методом последовательной верхней релаксации. В [17] для вычисления плотности р на новом временном слое по найденному полю средней скорости определялись координаты точки, из которой переместилась жидкая частица, и из которой, следовательно, должна быть перенесена информация о плотности с предыдущего временного слоя. При использовании метода Level Set решалось уравнение переноса для маркерной функции, а истинные значения плотности восстанавливались по маркерной функции (детальное описание алгоритма см. в [21]). [c.128]

При численном решении производные по меридиональной координате аппроксимировались центральными разностями второго порядка точности система линейных алгебраических уравнений решалась методом матричной прогонки. Соответствующая задача Коши по параметру нагружения решалась методом предиктор — корректор. Предельная на-, грузка определялась как максимум на кривой внешняя сила — осзвое смещение Ыо). [c.218]

Метод дискретных возмущений (Томан и Шевчик [1966]) и метод Хёрта (Хёрт [1968]) могут быть распространены на случай исследования устойчивости в многомерных задачах. Мы же в качестве примера приведем здесь более простое обобщение метода Неймана на такой случай. Используя схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной для линеаризованного уравнения переноса вихря (2.12) с постоянными коэффициентами в плоском случае (когда а = 1/Re), получаем [c.83]

Легко проверить, что эта схема является консервативной и транспортивной. Эту схему просто интерпретировать с точки зрения метода контрольного объема, если величины скоростей на границах ячеек находятся как средние значения, а соответствующие величины определяются направлением потока. (Замечание. Если величины на сторонах ячеек определять тоже как средние, то получится схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, не обладающая свойством транспортивности.) [c.113]

ЭТИХ членов. В любом из этих случаев исследование устойчивости методом фон Неймана, показывает (Браиловская [1965], Аллен [1968]), что достаточные условия устойчивости имеют вид С 1 и й А- Второе условие оказывается вдвое более жестким, чем обычное ограничение, обусловленное диффузионным членом в схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Аллен и Чен 1970] (см. также Аллен [1968]) устранили ограничение, обусловленное диффузионным членом, модифицируя эту схему по той же идее и с той же простотой, с какими Дюфорт и Франкел модифицировали схему чехарда со средней точкой (см. разд. 3.1.7), а именно положили [c.138]

Для линеаризованной задачи неявную схему метода чередующихся направлений Писмена и Ракфорда можно представить в следующем виде. Обозначим через б /бх и б /бх аппроксимации с центральными разностями для д1,/дх и д%/дх в точке I. Интегрирование по времени на интервале уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, [c.140]

Брили [1970], Брили и Уоллс [1971]) обнаружил, что условие сходимости для значения вихря на стенке в действительности накладывает ограничение на величину шага по времени вида Д/ а/Дх , где а — некоторое число, зависящее от задачи и от требований сходимости. Несмотря на то что метод фон Неймана указывает на безусловную устойчивость рассматриваемой схемы, оказывается, что неявное определение значений на стенке фактически приводит к ограничению на величину шага по времени, которое аналогично ограничению, имеюшему место для простейшей явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Такое поведение присуще пе только неявным схемам метода чередующихся иаправлепий, но и всем неявным схемам. [c.144]

Робертс и Вейс [1966] предложили удачный вариант явной схемы метода чередующихся направлений для рещения уравнения переноса для невязкой жидкости, который они назвали схемой с разностями по диагонали . Эта схема основана на центральных разностях как для производной по времени, так и для производной по пространственной переменной, которые вычисляются в точках, расположенных на нолущагах сетки [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...