Центральные Уравнения — Преобразование

Преобразование центрального уравнения Лагранжа [c.256]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 257 [c.257]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Преобразование уравнения центральной линии. Если линия 2-го порядка задана общим уравнением, то каноническое уравнение i)TOH линии имеет вид [c.203]

Преобразование уравнения центральной поверхности к каноническому виду при помощи инвариантов. Каноническое уравнение центральной поверхности имеет вид [c.209]

Преобразование уравнения центральных линий к каноническому виду и расположение кривых относительно осей координат. Если дана линия 2-го порядка общим уравнением, то, вычислив /з, /з, составляют каноническое уравнение линии [c.248]

Преобразование уравнения центральной поверхности к каноническому виду. При переносе начала координат в центр и при надлежащем повороте осей координат общее уравнение примет канонический вид [c.256]

Перейдем далее, к преобразованию радиального ускорения точки, которое в случае центрального движения, рассматриваемого в задаче, является полным ускорением точки. Уравнение траектории точки в полярных координатах может быть представлено зависимостью [c.485]

В плоских задачах о внедрении в упругое полупространство цилиндрических тел, как правило, предполагается, что поверхность Ej, ограничивающая ударник, является гладкой, а ее направляющая кривая выпукла. Эти вопросы при вертикальном движении ударника и постоянной скорости внедрения рассмотрены в работах В. Д. Кубенко [41], С. Н. Попова [51, 52], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [42]. В первой из них использовано разложение в тригонометрический ряд Фурье по координате х с периодом, равным расстоянию между соседними периодически расположенными на полуплоскости фиктивными штампами. Он выбирается так, чтобы за рассматриваемый промежуток времени соседние штампы не оказывали влияния друг на друга. В трех других работах с помощью интегральных преобразований задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдены напряжения в центральной точке контакта. [c.378]

В дальнейшем мы увидим, что инвариантность уравнений механической задачи относительно какой-либо группы преобразований всегда влечет за собой закон сохранения. Центральное поле инвариантно относительно группы вращений. Соответствующий первый интеграл носит название кинетического момента. [c.32]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

В главе И подчеркивалось, что сохранение у механической системы той или иной физической величины всегда является следствием ее симметрии, под которой в общем случае принято понимать инвариантность уравнений движения системы относительно некоторой совокупности преобразований координат и времени. Симметрия произвольного центрально-симметрического поля конкретно проявляется в том, что уравнения движения частицы в таком поле инвариантны относительно преобразования сдвига во времени и некоторой совокупности преобразований вращения в обычном трехмерном пространстве. Указанная симметрия поля и (г), приводящая к [c.126]

Инвариантные многообразия цикла. Рассмотрим периодическое решение дифференциального уравнения и фиксируем некоторую окрестность U соответствующей замкнутой фазовой кривой у в фазовом пространстве. Пусть А — соответствующее этому циклу преобразование монодромия, W , и — устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия ростка [c.106]

Уравнение (6.14) есть уравнение центральной поверхности второго порядка — тензорной поверхности — и вместе с тем уравнение геометрического места точек Р, расположенных на различных осях, проходящих через начало координат ), Очевидно, что уравнение (6,14) определяет поверхность с точностью до преобразования подобия. [c.366]

При преобразованиях для получения уравнений (99)—(101) встречается одна особенность. Ось Оу вращения ротора (см. рис. 44, б) является осью симметрии, а поэтому и главной центральной осью инерции ротора. Ротор имеет плоскость симметрии, которая проходит через ось вращения перпендикулярно плоскости хОу. Согласно известному свойству симметричных тел любая ось, проведенная перпендикулярно этой плоскости, является главной осью инерции, а ось, проходящая через центр тяжести, — главной центральной осью инерции. Оси Оу и проходящие через центр инерции т , являются главными центральными осями инерции. При преобразованиях появляются две величины Л и А х, пропорциональные центробежным моментам инерции относительно главных центральных осей, т. е. Л = д к [c.151]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

Аналогичные результаты содержатся в статье [1561. Кроме того, X. Вёрле [157] представил уравнения шатунных кривых сферического четырехзвенного механизма в параметрической форме, используя при этом преобразование координат точки, принадлежащей шатуну, из пространственной прямоугольной системы координат, связанной с шатуном, в пространственную прямоугольную систему координат, связанную со стойкой. Начала обеих систем выбраны в центре сферы механизма, а косинусы направляющих углов выражены через центральные углы, стягивающие дуги звеньев. На этом основании устанавливаются и параметрические уравнения шатунных кривых четырехзвенного пространственного механизма с одной вращательной и тремя цилиндрическими парами. 13 [c.97]

Значительный интерес естественно, представляет экспериментальная проверка диаграммы деформирования и кривых ползучести, получаемых на основе структурной модели, в частности, при использовании уравнений состояния (7.38) — (7.40). Рис. 7.30 тгллюстрирует вытекающее из указанных уравнений положение о независимости в опреде.тенных условиях диаграммы деформирования от предыстории. Опыт полностью подтверждает совпадение кривых деформирования на участке ОА (либо СА) независимо от того, предшествовала ли этому участку релаксация СО либо РО) или процесс, промежуточный между релаксацией и ползучестью ВО либо ЕС). В соответствии с уравнениями (7.38) — (7.40) уравнения кривых и СА могут быть определены по кривой АВС путем ее преобразования с коэффициентами центрального подобия, равными отношениям АО АО и АС АС соответственно. Расчетные кривые на участках О А и СА показаны на рис. 7.30 пунктпрны-ми. линиями они близки к экспернмента.ль-пым. [c.205]

Во-вторых, результаты, полученные методом задачи Римана — Гильберта, охватывающим структуры из бесконечно тонких плоских экранов или экранов с осевой (центральной) симметрией, стимулировали поиск подходов, позволявших бы также эффективно анализировать электродинамические свойства решеток других типов. Эта проблема частично решена с появлением метода, в основе которого лежит аналитическое преобразование матричных уравнений типа свертки [25, 57, 58, 92, 93]. Методологическая основа у этих подходов общая — обращение части оператора некорректного исходного операторного уравнения. Отличает их техника выполнения процедуры полуобращения (решение задачи сопряжения теории аналитических функций и вычисление главных частей в разложении Миттаг — Леффлера мероморных функций), а также то, что в первом подходе выделяется и обращается статическая часть задачи (и = 0), а во втором — часть задачи, отвечающая определенной геометрии периодического рассеивателя. По существу при этом использовалась возможность явного аналитического решения задач статики и дифракции плоских волн на системе идеально проводящих полуплоскостей [38, 40]. Недавно полученные в [94—96] результаты, видимо, также могут послужить основой для создания новых вариантов метода полуобращения. Эффективность последнего подтверждается практическим решением проблемы дифракции волн в резонансной области частот на периодических решетках основных типов 124, 25, 58] идеально-проводящих эшелеттах, решетках жалюзи и ножевых, плоских ленточных и решетках из незамкнутых тонких экранов, решетках из брусьев металлических и диэлектрических с прямоуголь- [c.8]

Изучению осесимметричных продольных колебаний плоских изотропных круговых пластин с центральным отверстием посвящена публикация [17]. Модуль упругости и плотность материала пластины полагались зависящими от радиальной координаты, а напряжения на внещнем и внутреннем контурах считались функциями времени. Начальные условия принимались нулевыми. Применяя к уравнению движения конеч-, ное преобразование Ханкеля по пространственной координате и преобразование Лапласа по времени, автор получил аналитическое выражение для перемещений и напряжений для неоднородной пластинки, подвергнутой действию динамической нагрузки по контуру в срединной плоскости. [c.290]

К работам этого же направления относятся публикации [28—30]. В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод, Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению- собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложными внешними и внутренними контурами. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [c.292]

СКОЛЬКО работ. Так, в работе [31] приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок.во всех точках внутри выделенного малого элемента и граничным условиям на его концах. В результате цроведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. , [c.293]

Рассмотрим гиперреактивное движение точки массой М 1), где 1 е [1о, 1], с помош ью уравнения движения (5.9) в центральном поле ньютонова притяжения со стороны тела массой М (М( ) <С М ) в прямоугольной инерциальной системе координат г х,у,г) с началом в гравитационном центре. После несложных преобразований можем [c.186]

Подставляя в уравнение кинематического баланса полученное выражение шага Т., а также i ,, = 24k z при е//= 1 и дкф= 1/2 (дифференциал включен, водило диф)ференциала вращается вдвое медленнее центрального колеса) и проведя преобразования, получим формулу настройки гитары дифференциала [c.331]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Настоящая лекция посвящена центральному разделу гамильтонова формализма — теории канонических преобразований. В отличие от лагражева формализма, роль которого сводится лишь к выводу уравнений движения, гамильтонов подход позволяет, в принципе, получить решение как каноническое преобразование, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В реальной ситуации приходится использовать приближенные методы теории канонических преобразований, изложенные в лекциях 27-31. [c.261]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

М. Р. Mortell [3.1371 (1969) изучал реакцию сферической оболочки при симметричном относительно вертикальной оси деформировании. Рассмотрена оболочка с центральным вырезом (0 = 0о), к краю которой мгновенно прикладывается распределенный изгибающий момент Mq. Исследуется распространение волновых фронтов методом преобразования Лапласа при малых временах. В отличие от обычно применяемой процедуры искомые функции сразу представлены в виде асимптотических разложений по обратным степеням параметра преобразования р и подставлены в исходные уравнения, которые сильно упрощаются и поэтому легко решаются. Решение получено в промежутке 6o<0движения волнового фронта до 0=я и обратно. Выделены и исследованы сингулярные решения при 0 = л. Для больших времен решение выгодно строить методом разложения по собственным функциям, при этом, однако, анализ распространения волновых фронтов оказывается затруднительным. [c.226]

Понятие матрицы жесткости элемента введено в разд. 2.3 аксиоматически и без указания методики отыскания ее коэффициентов. При тех же условиях в разд. 2.5 было показано, что матрица должна обладать свойством симметрии. Однако из определяющего уравнения прямого метода (5.10) непосредственно не следует, что сформированная матрица симметрична. Центральная матрица тройного произведения А] [Е] [О], т. е. матрица упругости [Е], согласно присущим ей внутренним свойствам, симметрична. С другой стороны, матрицы [А] и [О] строятся независимым образом и необязательно конгруэнтны. Конгруэнтное преобразование симметричной матрицы [Е1 обеспечило бы симметричность результирующей матрицы. [c.139]

Павлов [19686] применил простую схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным к полным уравнениям Навье — Стокса и получил решения для малых чисел Рейнольдса (Re = 50). Батлер [1967] также брал эту схему для представления вязких членов в методах PI и FLI . Скала и Гордон [1967] рассчитали течения при еще меньших числах Рейнольдса по схеме классики (разд. 3.1.18, 3.2.7) в преобразованной системе координат, применяя для конвективных членов разности против потока, а для диффузионных членов разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным. Необходимо отметить, что, хотя перечисленные работы имеют значительную ценность, сочетание большого числа Маха с малым [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...