Цепочка Тоды

Цепочка Тоды [68]. Найти волновое решение уравнений движения N частиц с энергией взаимодействия [c.150]

Гамильтониан трехчастичной цепочки Тоды [681 + Ф2. Фз). [c.247]

Таким образом, при достаточно малых отклонениях цепочка Тоды выглядит как нелинейная цепочка с коэффициентом упругости х = аЬ и параметром нелинейности из (6.5) а= -6/2. [c.52]

О. И. Богоявленский предложил рассмотреть обобщенные цепочки Тоды. Их динамика описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом [c.52]

Нетрудно показать, что гамильтониан цепочки Тоды после исключения центра масс приводится к виду (6.9). Этот же вид имеют гамильтонианы в ряде задач космологии [20]. [c.52]

Рассмотрим замкнутую цепочку Тоды п частиц на прямой с координатами хь. .., х , удовлетворяющими уравнениям [c.108]

Рассмотрим также замкнутую цепочку Тоды, которая описывается уравнениями Гамильтона с гамильтонианом [c.116]

Скобки Пуассона vi,vj , ui,uj равны нулю, а скобки vi Uj] линейно выражаются через Vk- В новых переменны динамика цепочки Тоды описывается уравнениями [c.117]

Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды [c.346]

В 9 гл. II были введены числа Ковалевской это — количество различных полных семейств мероморфных решений аналитических систем дифференциальных уравнений. Ниже числа Ковалевской будут найдены для одного класса гамильтоновых систем, обобщающих цепочки Тоды. Будет показано, что системы с максимально возможным числом Ковалевской вполне интегрируемы. Этот любопытный результат аналогичен классическому результату Ковалевской в динамике тяжелого твердого тела. [c.346]

Систему с гамильтонианом (4.1) назовем обобщенной цепочкой Тоды, если выполнены следующие условия [c.346]

Сюда относятся обычные замкнутые цепочки Тоды и их интегрируемые обобщения, найденные в работах [176, 180]. [c.346]

Рассмотрим более подробно обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным числом Ковалевской к = г+ 1. В этом случае условия 1) и 2) теоремы 1 принимают следующий вид [c.347]

Теорема 1 позволяет перечислить в явном виде все обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным числом Ковалевской. Это перечисление, по существу, сводится к классификации систем 71 -Ь 1 векторов а[,.. ., а 1 в 7г-мерном евклидовом пространстве, для которых [c.348]

Полная интегрируемость обобщенных цепочек Тоды в случае, когда а,,. .., а 1 принадлежат пополненным системам простых корней, установлена в работе [180]. В [176] этот результат обобщен на системы векторов, удовлетворяющих условиям а) и б) п. 2. Классификация таких систем представляет родственную, но более сложную задачу [c.350]

Можно указать простые необходимые условия однозначности общего решения систем с экспоненциальным взаимодействием (их частный случай — обобщенные цепочки Тоды из п. 1) и связать их с наличием дополнительных полиномиальных интегралов. Рассмотрим гамильтонову систему с функцией Г амильтона [c.355]

Условия существования к дополнительных хороших полиномиальных интегралов степени т 2 интересно сравнить с условиями существования к полных семейств мероморфных решений. Такое сравнение проще всего осуществить для обобщенных цепочек Тоды, у которых N= п + 1. С этой целью рассмотрим (п+ 1) X (п+ 1)-матрицу L с элементами L j = 2(oj-, ау)/(а , а ) (г ф j), Ьц = 0. Если имеется к дополнительных к интегралу энергии независимых квазиоднородных интегралов степени m 2, то, согласно результатам 9 гл. II, в каждой строке матрицы L найдется по меньшей мере к целых неположительных чисел. Если же число Ковалевской такой системы не меньше f , то по теореме 1 в матрице L имеется по крайней мере к строк, все элементы которых являются целыми положительными числами. Эти условия совпадают лишь при f = п + 1. [c.357]

Гамильтоновы системы вида (4.2) часто встречаются в приложениях. Так, динамика конечной периодической цепочки Тоды описывается системой уравнений (4.3) с функцией Г амильтона [c.386]

Было бы интересным указать явный вид метрик с неприводимым интегралом произвольной степени п 5. Метрику с интегралом шестой степени можно построить следующим образом. Рассмотрим обобщенную цепочку Тоды с гамильтонианом (4.10), в котором коэффициенты г з или равны нулю. Этот гамильтониан имеет вид (6.1), а соответствующие уравнения Гамильтона допускают полиномиальный по импульсам интеграл степени п = = 6. Остается применить предложение 1. Пока не известны явные примеры метрик с интегралами степени п 7. [c.405]

С помощью условия совместности уравнений (3.8) и (3.9) из них можно исключить как Р , так и О, при этом получаем, что функции ф = Р — Р + удовлетворяют уравнениям (3.5) непериодической цепочки Тоды А , а функции ы = О — (7 + , = 1,..., п — 1, удовлетворяют уравнениям непериодической цепочки Тоды А 1. Кроме того, величина Д = +. удовлетворяет свободному уравнению Лапласа [c.27]

Величины F, G удовлетворяют тем же самым уравнениям цепочек Тоды, что и функции F, G. Используя эти уравнения и соотношения (3.15), (3.16), можно получить выражение [c.29]

Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева—Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем (см. [178]). [c.97]

Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с к = 71+1. Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (4.1) нельзя добавить экспоненциальное слагаемое мехр(Ь,а ), и О, 6 а (1 < У < М), не нарушая условий ( )-(Ш) из п. 1, а также условий 1), 2) теоремы 1. Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой к = 7г + 1, получается из некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида а.,/2, 1 <. 5 < г + 1. [c.347]

Пусть п = 1. Тогда, согласно теореме 1, набор векторов а, ПОЛ1ЮЙ одномерной цепочки Тоды с максимальным числом Ковалевской к = 2 совпадает с одним из трех множеств [c.347]

В свою очередь, эта задача тесно связана с теорией корневых систем, играющих важную роль в современной математике (конечные группы отражений евклидовых пространств, полупростые алгебры Ли и т. д. см., например, [35]). Неожиданная связь между вполне интегрируемыми обобщенными цепочками Тоды и корневыми системами, подмеченная впервые О. И. Еюгоявленским [180], выглядит весьма таинственной. [c.348]

Теорема 2 [104]. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом Ковалевской к = г + 1. При г 2 схема Дынкина системы векторов аь. .., адг К" изоморфна одной из схем, изображенных на рис. 37. [c.350]

Функция является усечением ряда Маклорена для потенциала цепочки Тоды ехр( а 1-Ьжг)+ехр(—-Ьа 2)+ехр(—212) систему с гамильтонианом (5,27) можно назвать усеченной цепочкой Тоды, При N = 2 имеем гармонический осциллятор, при = 3 — систему Хенона—Хейлеса в [237] доказано отсутствие нового голоморфного интеграла усеченной цепочки Тоды при N 3. [c.370]

Поиску случаев интегрируемости гамильтоновых систем (4.2) посвящено значительное число работ. М. Эно [204], Г. Флаш-ка [194], С. В. Манаков [121] установили полную интегрируемость цепочки Тоды уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.4) [c.386]

По-видимому, система с гамильтонианом (4.10) — и тем более система с графом л) — не имеет дополнительного аналитического интеграла. Это предположение подтверждается численными расчетами, выполненными А. В. Борисовым для системы с гамильтонианом (4.10) с дополнительным слагаемым v expx2, в котором Vi =. .. = v = 1. Отметим, что интегрируемость замкнутой цепочки Тоды из трех частиц впервые была подмечена в результате численных расчетов [195]. [c.394]

Козлов В, В,, Трещёв Д. В, Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды // Матем. заметки, —1989, т, 46, 5, 17-28, [c.421]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЕКЛУНДА ЦЕПОЧЕК ТОДЫ [c.25]

Наиболее ярко алгебраическая структура преобразований Беклунда проявляется в случае цепочек Тоды. Это и понятно, поскольку сами эти системы строятся как чисто алгебраические конструкции каждой полупростой алгебре Ли сопоставляется непериодическая цепочка Тоды [7], а каждой алгебре Каца-Муди — периодическая цепочка Тоды [4]. и — К-пары для таким систем можно записать в симметричном виде. При такой записи как функции, входящие в нелинейные уравнения, так и функции, на которых определены уравнения линейной задачи, оказываются коэффициентами операторов, образующих некоторые алгебры Ли. Каждому из уравнений, связанных преобразованием Беклунда, отвечает своя алгебра Ли, а само преобразование Беклунда имеет г>ид специальным образом устроенного произведения этих алгебр Ли. [c.25]

Непериодическую Л Цепочку Тоды преобразования Беклунда связывают с непериодической Л 1-цепочкой Тоды и свободным уравнением Лапласа. Непериодические С и Са-Цепочки связываются со-отве1ч твенно с Лг - , А п- и Лб-ненернодическими цепочками Тоды [c.25]

В случае периодических цепочек Тоды ситуация иная. Преобразования Бехлунда связывают периодическую Лп-пепочку Тоды с ней же самой. Это позволяет найти для нее формулу суперпозиции. Анало-гачные, во несколько более сложные результаты справедливы и для периодической Сп-пепочки Тоды. Эти уравнения относятся к интегрируемым уравнениям типа 3, [c.26]

Непериодическая Лп-Пепочка Тоды Уравнения цепочек Тоды обладают V — У"-парой [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...