Интегралы движения изолирующие

Более общо, если компактная ориентируемая гладкая поверхность М не гомеоморфна сфере и тору, то уравнения движения не имеют нового интеграла Г[р,д), являющегося бесконечно дифференцируемой функцией на Т М, аналитической при фиксированных д Е М на кокасательных плоскостях Т М и имеющей конечное число различных критических значений. Полиномиальные гю скоростям функции представляют распространенный пример интегралов, аналитических по импульсам р. Количество различных критических значений гладкой функции на компактном многообразии конечно, если, например, все критические точки изолированы или критические точки образуют невырожденные критические многообразия. [c.135]

Рассмотрим гамильтонову систему с N степенями свободы. Если уравнение Гамильтона—Якоби разделяется на N независимых уравнений, по одному на каждую степень свободы, то гамильтониан и движение системы называются интегрируемыми (иногда используются тep шны полностью интегрируемый или полностью разделяющийся). Постоянные разделения а, называются изолирующими или глобальными интегралами движения ), поскольку каждый такой интеграл отделяет одну степень свободы. Система с N степенями свободы интегрируема тогда и только тогда, когда существует N независимых изолирующих интегралов. [c.38]

Центральные силы. Проиллюстрируем нахождение изолирующего интеграла (помимо полной энергии) и сведение решения к квадратурам на простом примере движения частицы в поле центральных сил. Хорошо известно, что эта задача интегрируема. Без потери общности задача сводится к двумерному движению в плоскости, определяемой начальной скоростью частицы и положением силового центра. Третья степень свободы тривиально отделяется при помощи изолирующего интеграла = 0. В полярных координатах [c.47]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Для начала рассмотрим весьма простую задачу, которая, хотя и не имеет непосредственного отношения к статистико-механическим системам, весьма ярко демонстрирует фантастическую сложность поведения тривиальных на первый взгляд систем. Эта задача рассматривалась в пионерской работе Хенона и Хейлеса (1963) она касается движения в пространстве одиночной точки под влиянием цилиндрически симметричного потенциала. (Такая задача моделирует движение звезды в среднем поле галактики.) После учета тривиальных интегралов движения, таких, как полная энергия и полный момент количества движения, задача сводится к движению частицы в плоскости, т. е. в четырехмерном фазовом пространстве. Для такой редуцированной задачи имеется дополнительный изолирующий интеграл [c.365]

Движение, описываемое этим гамильтонианом, рассматривается в следующем параграфе. Известно, что эта система неинтегрируема Хенон и Хейлес 188] обнаружили в численных экспериментах, что при увеличении энергии Н = Е происходит переход от регулярного движения к стохастическому. При этом оказалось, что стохастичность присутствует в какой-то мере при любой энергии. Все это указывает на отсутствие в системе изолирующего интеграла. Форд и др, [136] исследовали численно гамильтониан Тоды Н, ожидая получить такой же результат. Каково же было их удивление, когда они обнаружили, что траектории остаются регулярными для произвольной энергии Н = Е, т. е. все пересечения траектории с поверхностью х = О ложатся на гладкие инвариантные кривые. На рис. 1.9 кривые показаны для значений Е = я Е = = 256. Эти результаты резко расходятся с данными следующего параграфа, согласно которым в модели Хенона—Хейлеса траектории, заполняющие значительную часть площади, явно видны вплоть до такой низкой энергии, как Е = 1/8. Это различие связано, конечно, с тем, что у цепочки Тоды есть скрытая симметрия и соответствующий ей изолирующий интеграл. Воодушевленный численными результатами Форда, Хенон [186] нашел явное аналитическое выражение для этого интеграла [c.54]

Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в 1.2. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...