Поле симметрий

Направление распространения Света Направление поля Симметрия кристалла Выражение индуцированного двулучепреломления [c.93]

Векторное поле ы, коммутирующее с полем V ([и, г ] = О, где [, ] — коммутатор векторных полей см. п. 4 2), называется полем симметрий системы (3.1). Покажем, что фазовый поток системы [c.74]

Пусть имеется еще одно поле симметрий ги, и [u,w] = Хи, где А — некоторая функция от х. Воспользуемся локальными коорди-чатами Xi,..., х , в которых система (3.2) принимает вид (3.3) в [c.75]

Согласно теореме о выпрямлении, в ма- Юй окрестности каждой неособой точки векторного поля v система (3.1) имеет п-мер-ную абелеву группу симметрий. Таким образом, задача о существовании гладкого (или аналитического) поля симметрий является содержательной либо в окрестности равновесия, либо во всем фазовом пространстве. [c.79]

Приведем два простых примера динамических систем, допускающих нетривиальные аналитические поля симметрий, но не имеющих непостоянных непрерывных интегралов. [c.79]

Следует иметь в виду, что аналитическая система дифференциальных уравнений может иметь векторные поля симметрий конечной гладкости. В качестве примера рассмотрим на двумерном торе = Ж1,Ж2 mod 2тг динамическую систему вида [c.80]

Векторные поля, порожденные интегралами F гамильтоновой системы (3.22), естественно назвать гамильтоновыми полями симметрий. Конечно, далеко не всякое поле симметрий гамильтоновой системы является гамильтоновым. [c.82]

Если имеется несколько полей симметрий vi,...,vk, то уравнения движения допускают столько же линейных интегралов [c.151]

При х(М) < О поле симметрий v имеет особые точки на М. Фазовый поток д является группой изометрий поверхности М, поэтому все особые точки х изолированы и имеют эллиптический тип. В частности, ind (a )t) = 1. Из формулы Пуанкаре [c.152]

Из формулы (6.3) следует, что на сфере х = 2) поле симметрий имеет ровно две особые точки, а на торе х = 0) их вообще нет. [c.152]

Это очевидное утверждение позволяет свести задачу об аналитическом поле симметрий к задаче о поле симметрий с однородными полиномиальными компонентами. [c.154]

Итак, и= Ни . Множитель Н — интеграл уравнений движения, поэтому и также является полем симметрий. Однако его степень по импульсам на две единицы меньше степени т поля и. Индукцией по убыванию т сведем исходную задачу к задаче о наличии однородного поля симметрий степени т = О или т = 1. [c.156]

Случай ш = О охватывается леммой 2. При ш = 1, очевидно, Ql = Q2 = 0. Пусть Pj = С Р1 + т]зР2- Как было показано выше, Р = = +Щ — О- Следовательно, = r]j = 0. Поэтому при ш = 1 поле симметрий обращается тождественно в нуль. Теорема 2 доказана полностью. [c.156]

Степень однородного поля и будем обозначать deg и. В частности, deg V — 2. Поле симметрий и можно разложить в формальный ряд по однородным полям и = щ + щ + и2 +... (deg Uk = к, к 1). Согласно лемме 1 из 7, каждое из однородных полей щ само является полем симметрий. Кроме того, зд = О (лемма 2 из 7). Поэтому можно ограничиться рассмотрением лишь однородных полей симметрий положительной степени. [c.157]

Мы назвали поле симметрий и локально гамильтоновым, если 1-форма Lo u, ) замкнута, но не точна (см. 3 гл. П). В этом случае уравнения геодезических допускают в качестве инварианта замкнутую 1-форму, которая называется многозначным интегралом. [c.157]

Теоремы 1 и 2 описывают структуру полей симметрий степени 2. Для полей симметрий степени 3 теорема 2 не справедлива. Действительно, пусть Л — непостоянная периодическая функция, зависящая только от угловой переменной 52- Тогда векторное поле и первой степени, заданное уравнениями q[ = 1, Я2 = О, pi = О, р 2 = [c.158]

О, является полем симметрий. Оно гамильтоново, однако поле третьей степени Ни [Н — гамильтониан геодезического потока), также являющееся полем симметрий, уже не гамильтоново. [c.158]

Задача о структуре симметрий геодезического потока на сфере более сложная и пока не изучалась. В следующем параграфе рассмотрен упрощенный ее вариант если геодезический поток на двумерной поверхности допускает полиномиальное поле симметрий степени п, не коллинеарное полю v, то существует ли дополнительный по импульсам интеграл степени гг Практически во всех случаях ответ положительный. [c.158]

Ясно, что и — поле симметрий обратимой системы. Это простое замечание позволяет использовать теоремы 1 и 2. [c.159]

Ниже точки Кюри в х наблюдается анизотропия. Результаты, полученные при самой низкой энтропии [245] (6 = 0,20 R), показаны на фиг. 81. Анизотропия значительно меньше, чем в случае хромо-метиламмониевых квасцов на полярной диаграмме, подобной приведенной на фиг. 73, ее вообще с трудом можно было бы заметить. В сильных полях симметрия характеризуется осью симметрии четвертого порядка, а в слабых полях — осью симметрии второго порядка. Между этими областями (приблизительно между 50 и 250 эрстед) наблюдается переходная область, где кривые очень сложны и не поддаются истолкованию. Дать интерпретацию этих явлений в настоящее время невозможно. [c.553]

Этот пример обобщается на движения по произвольной группе Ли (5, задаваемые левоинвариантным лагранжианом. Роль интеграла момента играют нётеровы интегралы (их число равно dim (5), отвечающие левоинвариантным полям симметрий. [c.72]

Теорема (Ли). Если система дифференциальных ура.в-нений (3.1) допуск ет п - 1)-мерную разрепгамую алгебру полей симметрий, TQ она интегрируется в къа1дратурах. [c.75]

Следовательно, в этих случаях уравнения (3.19) допускают нетривиальное поле симметрий с аналитическими компонентами. С другой стороны, в [108] показано, что при надлежащем выборе иррационального 1/0)2 и аналитической функции R система (3.19) приводится к виду (3.20) / -кратно дифференцируемым, но не дифференцируемым к - - 1)-кратпо, преобразованием тора в себя. [c.80]

Предположим, что система (3.19) имеет поле симметрий с дифференцируемыми компонентами Х w. Х2. Эти функции 2тг-периодичпы по Xi и Х2. Условия коммутирования векторных полей [c.80]

Если = о, то к = onst, поэтому поле симметрий будет отличаться от исходного ПОЛЯ (3.19) постоянным множителем. Оставляя в стороне этот тривиальный случай, будем считать ф О- Положим при т2ф О m2fmim = e "L Можно показать, что тогда, в зависимости от диофантовых свойств иррационального отношения iOi/u)2, числа кт,ш2 будут коэффициентами Фурье функции из класса С", но не (7"+ (ср. с п. 3 1). [c.81]

Тогда гамильтоново поле vp z) — поле симметрий системы (3.22). Действительно, пусть Ьн и Lp—операторы дифференцирования, отвечгиощие гамильтоновым полям и vp. Из тождества Якоби для скобок Пуассона следует, что [c.82]

Эти наблюдения можно обобщить. Пусть / — замкнутая 1-форма в фазовом пространстве системы с гамильтонианом Я. Локально / = dF, поэтому форме / можно поставить в соответствие локально-гамильтоново поле vp с функцией гамильтона F. Екли Н, F = О, то поле vp является полем симметрий системы (3.22). Форму / (или многозначную функцию F) можно назвать многозначным интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Я. Если форма / точна, то F — глобальный однозначный интеграл. [c.82]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

I ельное рассмотрение. Действительно, в 1 приведен пример геодезического потока на гладкой сфере с > 1 ручками, допускающего непостоянный гладкий интеграл. В этом примере энтропия сосредоточена в небольшой области фазового пространства. Было бы полезным связать вопрос о наличии нетривиальных полей симметрий с положительностью топологической энтропии. [c.157]

Если поле симметрий и ге1Мильтоново, то ш и, ) = —d F), где F — однозначная функция в фазовом пространстве. Если F — однородный многочлен по импульсам степени ш, то deg и= т. Поля [c.157]

Не следует думать, что поля симметрий задачи о геодезических всегда гамильтоновы (или локально гамильтоновы). Вот простой контрпример если Л = onst, то квадратичное векторное поле с оператором дифференцирования [c.157]

Теорема 1 [107а)]. Если М = Т , то любое поле симметрий первой степени гамильтоново. [c.158]

Теорема 2 [107а)]. Если гауссова кривизна метрики на торе не равна тождественно нулю, то любое поле симметрий второй степени гамильтоново. [c.158]

В связи со сказанным, естественно поставить более общую задачу об условиях существования векторных полей симметрий с полиномиальными компонентами для уравнений (8.2). В отличие от обратимого случая (Л = 0), здесь поле симметрий уже не будет однородным. Его можно представить в виде конечной суммь однородных полей и = и,п + Um i -Ь. .., deg щ = к, расположенных в порядке убывания степени. Степенью поля и назовем величину deg Um = т. [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...