Разности вперед

Для выражения локального члена используем разности вперед по времени [c.320]

Понятно, что аналогичным образом можно построить аппроксимацию для временной производной с помощью разности вперед (или правой разности) [c.71]

Мы рассмотрели конечно-разностные схемы для решения стационарного уравнения энергии. В случае нестационарной задачи построение соответствующ,их схем производится на основе приведенных аппроксимаций конвективного и кондуктивного потоков точно так же, как это делалось для нестационарного уравнения теплопроводности, т. е. можно использовать явную или неявную схемы. В явной схеме потоки берут с предыдуш,его шага, в неявной — с текущего. Можно ввести и схему с весами. Отмеченные выше отрицательные и положительные свойства аппроксимаций (5.6)—(5.8) проявляются и при решении нестационарных задач. В частности, даже неявная схема с разностью вперед является неустойчивой при любом соотношении шагов по пространственной и временной переменным. С другой стороны, неявная схема с аппроксимацией разностью против потока безусловно устойчива. [c.162]

V у1 =у/- 1 Разности вперед и назад связаны [c.134]

Определим теперь вторую разность, для этого возьмем разность значении первых разностей вперед и назад [c.266]

Заменим, например, производную ди/д1 разностью вперед [c.6]

Если вместо центральных разностей в нестационарном члене использовать разности вперед по времени, то получится разностный аналог линейного модельного уравнения, имеющий второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый по времени [c.43]

Если, с другой стороны, величину трактовать как массовую плотность, то уравнение (3.42) будет уравнением неразрывности для сжимаемой среды.) Используя разности вперед по времени и центральные разности по пространственной переменной, можно записать конечно-разностный аналог уравнения (3.42) в виде [c.53]

Используя ту же схему, что и в предыдущем примере, т. е. разности вперед по времени и центральные разности по пространственной переменной, получаем [c.54]

Для ознакомления с некоторыми феноменологическими аспектами численной неустойчивости рассмотрим одномерное модельное линейное уравнение для На рис. 3.6, а показано стационарное решение на п-м временном слое, а на рис. 3.6, б —наложение на возмущения е, форма которого представлена на рис. 3.6, в. Такие возмущения могут порождаться либо машинными ошибками округления, либо поперечными движениями в реальной двумерной задаче. Используя схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, проследим за развитием наложенного возмущения. Линейное модельное уравнение в консервативной форме имеет вид [c.58]

Рис. 3.6. Рост ошибки при использовании конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для модельного уравнения, описывающего конвекцию и диффузию. а — стационарное решение на п-м слое по времени б — возмущенное решение на п-м слое в —возмущение на п-м слое г — колебательный рост ошибки, связанный с чрезмерно большим шагом At (динамическая неустойчивость) б — монотонный рост ошибки, обусловленный применением центральных разностей для конвективного члена (статическая неустойчивость).

После того как было дано общее описание устойчивости, рассмотрим три метода исследования устойчивости, их взаимосвязи и сравнительные достоинства. Эти методы будут продемонстрированы на примере разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной в применении к линейному модельному уравнению (3.18). [c.62]

Простоты ради сначала рассмотрим уравнение (3.18) только с диффузионным членом и предположим, что найдено стационарное рещение "==0 для всех I. Введем в рещение С" возмущение 8 и из (3.18) по схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной получим [c.62]

Неравенство (3.63), однако, не является условием устойчивости в смысле уменьшения амплитуды возмущения. Интересно отметить, что если рассматривать достаточно большое число слоев по времени, то потребуется выполнение неравенства (3.64). Сначала по схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (уравнение (3.18)) вычислим возмущение в соседних точках [c.63]

Рис. 3.7. Асимптотическое распространение единичного возмущения е в точке / для уравнения диффузии, решаемого по схеме с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным, а — начальное возмущение б — возмущение после одного шага по времени, d = в — возмущение после очень большого числа шагов по времени.

О-мерной задачи диффузии с использованием явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным увеличивает машинное время в (Дл 1/Дх2) +° раз. Ясно, что методы, в которых удается избежать условия устойчивости (3.73), были бы весьма желательны. [c.65]

Применим схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, накладывая на в точке г возмущение е, что даст [c.66]

Исследование этого уравнения не дает дополнительной информации по сравнению с предыдущим анализом уравнения с одним только диффузионным членом, так как на конвективных членах в точках / 1 не сказывается возмущение в точке /. Применяя схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной и в точке +1, получаем [c.66]

Рассмотрим сначала линейное модельное уравнение с одним только диффузионным членом, снова используя схему (3.18) с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной [c.69]

Теперь рассмотрим схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для уравнения (3.18), включающего конвективный и диффузионный члены это даст [c.71]

Анализ устойчивости при помощи метода дискретных возмущений менее надел<ен. По сравнению с систематичным и формализованным методом фон Неймана успех применения этого метода является делом удачи. Для схемы с разностями против потока он приводит к тому же результату, что и метод фон Неймана (см. последние три упражнения). Дополнительное требование об отсутствии осцилляций, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени (которое, впрочем, не является очевидным требованием устойчивости в смысле ограниченности решения), также приводит в этом методе к результатам, совпадающим с результатами метода фон Неймана для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, но при существенно меньших затратах труда. Однако совсем не очевидно, что этот критерий дает правильные результаты для более сложных схем, поэтому в настоящее время его применимость в общем случае находится под вопросом. Тем не менее с помощью метода дискретных возмущений можно исследовать устойчивость в граничных и во внутренних точках в тех случаях, когда метод фон Неймана оказывается непригодным. [c.82]

Упражнение. Применить метод Неймана к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным для трехмерного уравнения диффузии [c.84]

Некоторые авторы комбинировали схему чехарда , имеющую ощибку порядка 0 Af, Ал ), для конвективных членов со схемой, использующей разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным (на интервале 2Ai) и имеющей ошибку порядка 0(А/, А,г ), для диффузионных членов [c.96]

Формулы (5.6) — (5.8) можно трактовать и так. При использовании (5.6) производная дТ1дх в (5.3) аппроксимируется разностью вперед по направлению движения жидкости (разностью по потоку ) [c.159]

Эту схему с односторонними разностями вперед по времени и центральными (симметричными) разностями по пространственной переменной иногда называют схемой ВВЦП (схемой FT S). [c.43]

Формулы (3.23) и (3.24) с учетом (3.21) и (3.22) в точности совпадают с формулами (3.8) и (3.12) второго порядка с цен-тральными разностями, полученными разложением в ряд Тей лора. Если предположить, что f — полином первой степени, т. е. f = а Ьх, то в зависимости от того, какие значения исполь зуются для определения а и Ь значения и +1 или и fг-l, для ЬЦбх получаются формулы с разностями вперед или назад соответственно. Очевидно, что при линейной аппроксимации f нельзя получить выражение для 6 /8х . Однако если использовать полином первой степени для построения разностных ана- [c.44]

Метод дискретных возмущений (Томан и Шевчик [1966]) и метод Хёрта (Хёрт [1968]) могут быть распространены на случай исследования устойчивости в многомерных задачах. Мы же в качестве примера приведем здесь более простое обобщение метода Неймана на такой случай. Используя схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной для линеаризованного уравнения переноса вихря (2.12) с постоянными коэффициентами в плоском случае (когда а = 1/Re), получаем [c.83]

Рассмотренная для линейного модельного уравнения грубая схема ВВЦП, использующая разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, является одношаговой явной двухслойной по времени схемой. Она называется одношаговой, так как для перехода к новому слою по времени требуется только один вычислительный шаг. Эта схема называется явной, так как все значения в правой части (3.44в), необходимые для вычисления на новом слое по времени, известны, т. е. значения не входят в правую часть уравнения ). Она является двухслойной но времени ), так как для вычислений здесь привлекаются только два слоя по времени новые значения на слое п 1 вычисляются только по значениям на слое п. [c.85]

Поучительно рассмотреть двухслойную схему, аналогичную схеме Дюфорта — Франкела. Аллен [1968] заметил коварную ловушку, имеющуюся при этом подходе. Рассматривая схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (ВВЦП) для уравнения диффузии [c.99]

Заметим также, что при й = ссД /Дх = /з схема Дюфорта— Франкела, примененная к уравнению диффузии без конвективного члена, алгебраически эквивалентна схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по про- [c.100]

При помощи схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (ВВЦП) одномерное уравнение (3.186) можно записать в следующей конечно-разностной форме [c.107]

Легко проверить, что эта схема является консервативной и транспортивной. Эту схему просто интерпретировать с точки зрения метода контрольного объема, если величины скоростей на границах ячеек находятся как средние значения, а соответствующие величины определяются направлением потока. (Замечание. Если величины на сторонах ячеек определять тоже как средние, то получится схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, не обладающая свойством транспортивности.) [c.113]

Разностная схема Адамса — Бэшфорта, использованная Лилли [1965] для уравнения, содержащего только конвективный член, является явной одношаговой трехслойной по времени схемой с разностями вперед по времени она имеет ошибку 0(А/ , Ал 2). Ее можно интерпретировать как конечно-разностную аппроксимацию второй производной по времени. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...