Метод переменных направлений

Наиболее широкое распространение в инженерной практике получили продольно-поперечная схема (метод переменных направлений), локально-одномерная схема (метод расщепления), аддитивная схема (метод суммарной аппроксимации). [c.246]

Эта конечно-разностная схема соответствует методу переменных направлений и благодаря поочередной аппроксимации вторых производных явным и неявным способами приводит к возможности использования эффективного метода разностной факторизации (прогонки) для решения системы двухмерных конечно-разностных уравнений. Разностные уравнения для граничных узлов сетки составляются путем использования условий теплового баланса. [c.265]

Метод переменных направлений позволяет сократить объем вычислений по неявной схеме, сохраняя свойство абсолютной устойчивости. Ниже приводится реализация этого метода для областей прямоугольной формы без внутренних источников теплоты. [c.34]

Для решения уравнений теплообмена был выбран метод переменных направлений [37] как наиболее приемлемый для уравнений параболического типа. [c.139]

Для решения пространственных задач данного класса используется метод ра пепле-1ШЯ [19, 44], являющийся по существу методом переменных направлений [44]. По каждому из направлений решение находится методом прогонки. [c.185]

Рассмотрим рещение системы (8.4) с помощью итерационного метода переменных направлений с чебышевским набором итерационных параметров т [c.187]

Лля того, чтобы перейти от т-го слоя к т+1-му в схеме (6.21), мы ввели промежуточный слой га+ . Разностная система (6.21) эквивалентна двум разностным системам (6.23), (6.24), но в последнем случае в левых частях стоят одномерные операторы. Поэтому, чтобы перейти от т-го слоя к m + -му слою, нужно решить разностную систему (6.24) хотя бы методом прогонки по переменной X, а затем,. чтобы перейти от m + j-ro слоя к m + 1-му, решить систему (6.23) методом прогонки по переменной у. Описанный метод имеет много названий метод переменных направлений, метод дробных шагов, метод продольно-поперечной прогонки и т.п. [107]. [c.202]

Поэтому можно применить метод переменных направлений [c.219]

Метод переменных направлений. Если в дискретном аналоге (5.14) в направлении оси у предположить известными фуу и ф , то в нем останутся только три неизвестные фр, ф - и ф . Построив такие [c.90]

Этот алгоритм обеспечивает быстрое проникновение информации о граничных условиях во внутреннюю часть расчетной области. Сходимость метода переменных направлений достигается быстрее при использовании схемы блочной коррекции, которая описывается далее. [c.91]

Среди прямых методов выделим метод разделения переменных с быстрым преобразованием Фурье, а среди итерационных—метод переменных направлений, попеременно-треугольный и метод последовательной верхней релаксации. [c.97]

Итерационный метод переменных направлений для решения уравнения (4.28) при 1 — строится и реализуется по той же идее, что и схемы (4.34), (4.35) и [c.98]

На рассмотренной задаче попеременно-треугольный метод с оптимальным выбором параметров немного уступает методу переменных направлений по основному показателю — количеству арифметических действий, но он более прост для программной реализации. Этот метод может оказаться эффективным и в случае непрямоугольной области и переменных коэффициентов, хотя процедура оптимизации итерационных параметров усложняется. [c.100]

По количеству арифметических действий одна итерация метода релаксации соответствует примерно 2,5 итерациям попеременно-треугольного метода или четырем итерациям метода переменных направлений. Однако из-за меньшей скорости сходимости при оптимальных значениях параметров метод релаксации требует на решение задачи в 1,5—2,5 раза больше машинного времени, чем два других метода. [c.101]

Отметим, что при р оо параметр др стремится к значению до, оптимальному для метода верхней релаксации. Обобщения, связанные с непрямоугольной конфигурацией границ и применением криволинейных координат, не вносят принципиальных изменений в конструкцию и не отражаются на основных свойствах метода релаксации, Несмотря на то что аналитическая оценка для оптимального параметра до в общем случае не найдена, этот метод, по-видимому, остается наиболее эффективным именно для задач со сложной геометрией и переменными коэффициентами в уравнении функции тока, во-первых, в силу своей простоты и, во-вторых, потому, что подобрать близкое к оптимальному значение одного параметра д несравнимо легче, чем найти оптимальную последовательность та экспериментальным путем в методах переменных направлений и попеременно-треугольном, Так как коэффициенты разностных уравнений для [c.102]

Метод переменных направлений Галеркина (ПНГ) для случая прямоугольных областей (Дуглас и Дюпон, 1971) [c.67]

При центральной разностной явно-неявной схеме расходы потока в КРУ определяются на середину интервала Для ее реализации используются методы расщепления решения — неявный и явный методы переменных направлений [7, 12, 13], использующие комбинацию явных и неявных конечно-разностных схем. Сущность метода рассмотрим на примере неявного метода переменных направлений (НПН). В этом случае временной шаг разбивается на две половины на его первой половине расходы потока в направлении х считаются неявно (на конец интервала ДО, а в направлении —явно (на начало интервала А на второй половине шага направления неявного и явного счета меняются. Исходное КРУ при этом разбивается на два, решение каждого из которых осуществляется методом прогонки [7, 12]. Для обеспечения достаточной точности расчетов по методу НПН рекомендуется [16] следующее ограничение на временной шаг, основанное на численных экспериментах [c.154]

Явный метод переменных направлений (ЯПН) также основан на разбивке временного шага на две половины, но расходы потока рассчитываются неявно не по направлениям х ш у, как в методе НПН, а по диагонали. Рекомендуемое ограничение на временной шаг для этого метода [16] [c.154]

Метод решения. Система уравнений (1.1)-(1-3) решалась конечно-разностным методом по неявной схеме с использованием метода переменных направлений для уравнений завихренности и концентрации. Для конвективных членов применялись как монотонные аппроксимации, так и центральные разности. Использовались неравномерные сетки по обоим направлениям по вертикали в пограничном слое у поверхности растущего кристалла сетки существенно сгущались для разрешения тонкого концентрационного пограничного слоя по горизонтали - в областях X = 2а, 4й и 6а, т.е. в местах смены направлений входящего и выходящего потоков. Уравнение Пуассона решалось итерационным методом с набором оптимальных итерационных параметров. Тестовые расчеты на различных сетках (101 х 61, 201 х 71, 285 х 81) позволили выявить оптимальные сеточные и временные параметры как для эволюционных уравнений, так и итерационные шаги для уравнения Пуассона. [c.73]

Методы случайных направлений. Эти методы позволяют выбрать направления поиска случайным образом с помощью программ выработки случайных чисел. Простейшие из них возникли при включении элементов случайности в детерминированные методы направленного поиска. Например, при покоординатном поиске последовательность варьируемых переменных может устанавливаться случайно. Или в градиентных методах вместо (П. 16) градиент можно определять по выражению [c.246]

Второй пример (приложение 4) иллюстрирует решение стационарной задачи методом счета на установление. Благодаря абсолютной устойчивости схемы переменных направлений шаг по времени можно выбрать достаточно большим (Fo=4), с тем чтобы быстрее достичь стационарного состояния. [c.223]

Условие устойчивости (5.29) является весьма жестким оно, как правило, не соответствует естественным требованиям точности. В случае двух (и более) пространственных переменных применение неявных схем вызывает большие трудности, связанные с решением системы уравнений на верхнем слое. Это обстоятельство послужило одним из стимулов развития группы родственных между собой eтoдoБ (метода переменных направлений, метода дробных шагов, метода расщепления и др.). [c.135]

Уравнения теплообмена и энергии можно решить методом переменных направлений [34]. Численные аналоги уравнений при этом расписываются по неявной схеме и решаются методом прогонки. При решении уравнений движения и неразрывности можно использовать явную двухшаговую схему Р. МакКормака [34, 35], обладающую вторым порядком точности. Таким образом, решение задачи разбивается на два последовательных этапа — решение уравнений теплообмена и совместное решение уравнений движения и неразрывности, которые затем увязываются через уравнение состояния и итерационные циклы. [c.23]

Уравнения теплообмена и энергии решались методом переменных направления [34]. Численные аналоги уравнений при этом расписывались по неявной схеме и решались методом прогонки. При решении уравнений движения и неразрьшности использовался метод прогонки с помощью подстановки Симу-ни. Таким образом, решение задачи было разбито на два последовательных этапа — решение уравнений теплообмена (1.37), (5.3) и совместное решение уравнений движения и неразрывности (5.1), (5.2), которые затем увязывались через уравнение состояния (1.40) и итерационные циклы. [c.137]

Следует отметить, -что ввиду при- менения неявных конечно-разностных схем метод переменных направлений позволяет избежать строгшс ограничений на соотношение пространственно-временных шагов. Для выбранной сетки использовался шаблон, показанный на рис. 5.1. [c.139]

Задача решается методом переменных направлений. При этом исходные уравнения расщепляются на три направления, а затем с помопщю двухслойных итерационных методов находится решение этой системы [ 36, 38]. [c.143]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Хорошо известные, простые в реализации, но от-личаюшиеся медленной сходимостью итерационные методы Якоби и Зейделя изложены в 5.1. Детальный анализ более эффективных методов решения многомерных нелинейных дискретных аналогов можно найти в [43, 57,59,73,79]. Среди них заслуживают особого внимания методы переменных направлений (неявный, существенно неявный, модифицированный существенно неявный и др.) [47,73]. Ниже рассмотрен неявный метод переменных направлений как наиболее простой в реализации и обладающий вполне приемлемой эффективностью при решении задач тепло- и массопереноса. Метод пре.дставля-ет собой удобную комбинацию метода прогонки (см. п. 5.1.4) для одномерных задач и метода Зейделя. [c.157]

В п. 2.4.4 мы использовали метод прогонки для решения одномерных уравнений. Алгоритм прогонки не может быть легко расширен на случай двумерных уравнений. Стандартные прямые методы для двумерных уравнений требуют большого объема компьютерной памяти и длительного времени счета. Поэтому мы будем применять итерационный метод решения этих линейных алгебраических уравнений. Как будет видно далее, в итерационнном методе важное место занимает алгоритм прогонки. Описанная ниже процедура решения является комбинацией метода переменных направлений (или метода линия за линией ) и схемы блочной коррекции. [c.90]

Метод переменных направлений состоит в том, что сначала прогонка применяется для всех линий, параллельных оси х, а затем повторяется для всех линий, параллельных оси у. Рассчитанные новые значения ф вдоль линии используются в качестве оценок ф при решении уравнений для соседней линии. Последовательность выбора линий может быть произвольной. В ONDU T сначала рассматривается линия вдоль оси X сразу над нижней границей. Затем все параллельные ей линии перебираются снизу вверх до верхней границы и в обратном направлении. После этого применяется прогонка ко всем линиям вдоль оси у слева направо и обратно. [c.91]

Применение релаксаций. Итерационный процесс не всегда приводит к сошедшемуся решению. Иногда значения ф колеблются от итерации к итерации или все время плывут . Такой расходимости итерационного процесса следует избегать. Хотя для линейных уравнений метод переменных направлений, используемый в ONDU T, гарантированно приводит к сходимости решения, для нелинейных [c.94]

Предпочтительными оказались так называемый а—р-итерацион-ный алгоритм [86, 87] и классический метод переменных направлений [81 ]. Метод переменных направлений применительно к (2.126) может быть записан следующим образом [c.105]

Алгоритм (53) получил название метода переменных направлений (МПН), развитого в работах Вашпресса [24], [25]. Д. Биркгофа и Р. Варги [17]. [c.14]

Имеется несколько алгоритмов решения систем уравнений с ленточными матрицами, эффективных и дешевых (т. е. дающих максимальную точность при минимуме времени и памяти), однако такие методы менее эффективны и значительно дороже в применении к задачам с блочно-ленточными матрицами. Цель метода ПНГ в методе конечных элементов та же, что и в методе переменных направлений в разностных схемах, а именно свести систему уравнений многомерной задачи к последовательности систем, по форме аналогичных системам уравнений, возникающих в одномерных задачах (Митчелл, 1967). [c.67]

Метод переменных направлений Галеркина для параболических уравнений (Денди и Файервезер, 1975). [c.176]

В третьей и шестой главах кйнги описывается метод переменных направлений Галеркина. Это отражает тот факт, что и в рамках метода конечных элементов стоит проблема создания экономичных схем. Большой материал по построению различных схем расщепления можно найти в следующих работах [c.213]

Так как все эти пространства натянуты на произведения одномерных базисных функций, матрицы жесткости К также могут допускать разложение на одномерные операторы. Грубо говоря, это происходит, когда в дифференциальном операторе Ь можно разделить переменные. На практике это встречается в параболических задачах, когда метод Галёркина приводит к неявной разностной схеме с двумерной матрицей массы М, или матрицей Грама, образованной из скалярных произведений функций фз, которую приходится обращать на каждом шаге по времени. Для разностных уравнений именно эта трудность породила метод переменных направлений, в котором обратная матрица приближалась с помощью обращений двух одномерных операторов. Для пространства, образованного как произведение одномерных, применима та же техника с обычной оговоркой,. что если область не в точности прямоугольная, то метод переменных направлений дает хорошие результаты, но сходимость не доказана. [c.111]

Работа метода заключается в следующем. После определения градиента критерия оптимальности в точке X движутся вдоль направления антиградиента до точки, в которой достигается минимальное значение функции. Затем в этой точке снова определяют градиент и движутся по прямой согласно направлению нового антиградиента и т. д., пока не достигнут точки, имеющей наименьшее значение функции F(X). На рис. 6.4, в приведен пример движения при поиске методом наискорейшего спуска оптимума для критерия оптимальности, зависящего от двух переменных. Направление grad F(X, i) является касательным к поверхности уровня в точке Х, и, следовательно, gradF(Xft) в точке Х +1 ортогонален grad F(X,4 i). [c.286]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...