Об определении частного решения уравнения

Об определении частного решения уравнения (4.1). Частное решение линейного уравнения (4.1) может быть определено обычным образом. Как показывают многочисленные исследования, во многих случаях частное решение неоднородного уравнения (4.1) может быть построено по безмоментной теории. В частности, это можно сделать, если внешняя нагрузка, срединная поверхность и толщина оболочки изменяются достаточно плавно, при этом срединная поверхность не содержит окрестностей особых точек. [c.249]

Выражения (15.10 , если в них произвольные постоянные заменены некоторыми частными значениями, например из уравнений (15.11), носят название частного решения системы дифференциальных уравнений движения. Таким образом, решение задачи об определении движения по заданной силе и по начальным данным приводится к нахождению некоторого частного решения уравнений движения. [c.141]

Наша первая задача заключается в отыскании собственных функций и, для чего необходимо найти общий интеграл уравнения (1.28). Методы его определения рассматриваются в курсах высшего анализа и некоторые из них дают его в виде, удобном для практических приложений. Очень часто пользуются методом частных решений уравнения Фурье, Это уравнение преобразуем, умножив обе его части на Lg [c.34]

В классическом сочинении Дарбу по теории поверхностей ) задача об определении положения тела по заданной угловой скорости сведена к разысканию одного частного решения уравнения типа Рик-кати. Вывод этого уравнения основывается на рассмотрении стереографической проекции плоскости на единичную сферу 2о о чем говорилось в п. 3.9. Пусть 2, — координаты точки этой сферы. Ее координаты в системе 0х х2х даются преобразованием (9.10) или в другой форме (9.9). Дифференцируя последнее соотношение [c.130]

Таким образом задача об определении положения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, сведена к квадратурам, если известно одно частное решение уравнения типа Риккати (8). [c.133]

В предыдущих параграфах была рассмотрена возмущающая сила, представляющая собой частный случай силы Q( , определенной равенством (IV.56), а именно тот случай, когда ряд Фурье сводится к одной гармонике. Все основные результаты, найденные в предыдущих параграфах, непосредственно распространяются на общий случай возмущающей силы, определенной равенством (IV.56). Это вытекает из основных теорем об интегрировании линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Как известно, в случае, если правая часть неоднородного уравнения является суммой некоторых функций и если найдены частные решения вспомогательных неоднородных уравнений, правые части которых равны слагаемым указанной выше суммы, то сумма частных решений вспомогательных дифференциальных уравнений ) будет частным решением основного дифференциального уравнения ). [c.350]

Полученные уравнения (5.42), (5.44), (5.46) эквивалентны и выбор их должен определяться только простотой получения решения. Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем некоторые общие замечания об их свойствах. Все полученные уравнения нелинейны, так как в них искомые функции входят не в первой степени, что, как известно, чрезвычайно затрудняет получение решений. Кроме того, напомним, что согласно определению (5.39) на звуковой линии 5 = О, з < О соответствует дозвуковому, а 5 > О — сверхзвуковому потоку. Тогда легко заметить, что все основные уравнения [например (5.44) ] в дозвуковой области эллиптического типа, а в сверхзвуковой — гиперболического. Это также осложняет решение, так как методы его получения различны для эллиптических и гиперболических уравнений. Следует отметить, что задача о трансзвуковом потоке даже после упрощений остается одной из самых сложных в газовой динамике. Эти замечания касаются сложности решения краевых задач. Некоторые частные решения, имеющие практическую ценность, строятся достаточно просто. Рассмотрим два таких решения, которые позволяют выяснить особенность перехода через скорость звука в сопле Лаваля. [c.133]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. [c.153]

Таким образом, решена задача об определении напряжённого состояния при изгибе консоли поперечной силой, приложенной на свободном конце консоли в одной из главных плоскостей стержня. Решение это может рассматриваться как точное, поскольку имеет место приложение принципа Сен-Венана. Главная трудность решения задачи об изгибе состоит в определении обоих касательных напряжений и У , возникаюш,их при изгибе в поперечных сечениях стержня. Для этого необходимо интегрирование двух уравнений Лапласа (10.54) и (10.56) при граничных условиях (10.55) и (10.57). Задача эта очень трудна и может быть решена в некоторых частных случаях, имеющих практические приложения. [c.273]

К обсужденному выше кругу проблем весьма близко примыкают также газодинамические исследования, посвященные задаче об определении оптимальной формы обтекаемых тел. Поскольку эти исследования входят в число немногих пока примеров точных решений для задач оптимизации в системах, описываемых уравнениями в частных производных, их нельзя здесь не отметить. Речь идет о работах, посвященных задачам о нахождении (при различных ограничениях) формы тел в стационарном сверхзвуковом потоке газа, обладающих минимальным волновым сопротивлением, и формы сопел, дающих максимальную тягу, В этой области рассмотрены плоские, осесимметричные и пространственные задачи. Решения получены с использованием точных уравнений газовой динамики и базируются на двух подходах. [c.242]

Относительно полученного решения задачи следует сделать одно замечание. Представляя решение задачи в виде полусуммы определенных интегралов (11), мы пришли к уравнению поверхности жидкости в виде (14) анализ этого решения показал, что поверхность жидкости вдалеке от источника имеет форму стоячих колебаний. Мы определяли решение задачи, имеющее тот же период, каким обладает дебит пульсирующего источника. В силу этого на полученное решение (14), (23), (24) может быть наложено любое решение, изображающее свободные периодические волны с частотой а. Наложив на поверхность жидкости стоячие колебания частного вида (25), мы нашли новое частное решение задачи с прогрессивными волнами, разбегающимися в обе стороны от источника. Но мы могли бы наложить на волны (14) и другие свободные волны частоты а, 2а, За и т. д. Иными словами, поставленная задача о волнах, возбуждаемых пульсирующим источником, не имеет единственного решения. [c.70]

Расчеты на прочность изделий сложной формы. Излагая в предыдущей главе теорию сложного напряженного состояния, мы совершенно обошли молчанием вопрос о том, каким образом определить напряженное состояние в телах, подверженных действию сил. Общая задача об определении напряжений и деформаций в упругом теле произвольной формы, подверженном действию произвольных внешних сил, является предметом теории упругости, которая представляет собою раздел механики сплошной среды и развивается в направлении создания и усовершенствования методов решения соответствующих краевых задач для некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на огромные успехи математической теории упругости, далеко не все задачи, представляющие практический интерес, удается решить во многих случаях, даже когда точное решение или метод его отыскания известны, практическое использование этого решения для расчета на прочность затруднительно ввиду чрезвычайной сложности и громоздкости вычислений. с другой стороны, знания распределения напряжений в теле в упругой стадии его работы еще недостаточно для суждения о прочности. Как мы убедились на примере статически неопределимых стержневых систем, переход некоторых элементов в состояние текучести еще не означает разрушения системы в целом. Тем более это относится к телу, находящемуся в условиях сложного напряженного состояния. Достижение состояния текучести в одной или нескольких точках само по себе не является опасным окруженный упругими областями, материал не имеет фактической возможности течь. В то же время, после того как состояние текучести где-та достигнуто, дальнейшее увеличение нагрузки приводит к образованию пластических зон конечных размеров. [c.104]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Выражение (7.6ж) для энергии деформации содержит величины UR/h, г/ ги и пять неизвестных параметров а, Ь, с, К ж к. Простейший способ использования принципа возможной работы для определения этих пяти неизвестных состоит в задании отношения е/бс как постоянной величины, что соответствует случаю, когда цилиндрическая оболочка нагружается сжимающей силой в жесткой испытательной машине. Тогда для данной цилиндрической оболочки оказываются заданными оба параметра в/гы и UR/h, а отсюда, так как длина оболочки остается неизменной, следует, что внешняя осевая сжимающая сила не будет совершать работу на возможных перемещениях таких, которые обусловлены малыми изменениями пяти неизвестных. Отсюда, согласно принципу возможной работы, частные производные от выражения д т энергии деформации и, следовательно, от правой части выражения П.вщ . по каждой из неизвестных а, Ь, с, К и к можно положить равными нулю, что дает пять уравнений, из совместного решения которых определяются пять неизвестных (сказанное, разумеется, эквивалентно выбору таких значений этих неизвестных, которые доставляли бы минимум энергии деформации). [c.505]

Любое частное решение уравнений (264) сводит задачу об определении температурных напряжений к обычной задаче о действии на тело поверхностных сил. Решение для и, V, w с помощью равенств (а) и (б) 153 и с использованием уравнений (2) приводит к значениям компоненг напряжений. Требуемые поверхностные усилия, которые должны действовать вместе с неоднородным распределением температуры, чтобы вызвать эти напряжения, находятся затем из уравнений (124). Устранение этих усилий с целью освобожд( ния границ от нагрузки, для того чтобы напряжения вызывались исключительно неоднородным распределением температуры, представляет собой обычную задачу [c.480]

Дальнейшая работа по отысканию решения задачи об изгибе консоли сводится, с одной стороны, к определению частных решений Ущгч Утъч то уравнения (69.10), соответствующих заданным Сх, (функций переменной у), и, с другой стороны,— к определению постоянных А , и Вуп из граничных условий на сторонах у = Ы2 (условия на двух других сторонах, очевидно, удовлетворены). [c.336]

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона—Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системц а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы. [c.297]

В отличие от него Эйлер, начав с высказываний в том же духе, приходит к другим выводам. Исследуя фактическое применение принципа к частным задачам механики, Эйлер увидел, что найти выражение, которое должно быть максимумом или минимумом, для каждой данной чйстной задачи можно только тогда, когда уже известно решение этой задачи, проведенное исходя из обычных общих принципов механики, формулирующих не конечные цели, а причинно-следственные связи явлений. Таким образом, эвристическое значение принципа оказалось ничтожным. Он не дает возможности предвидеть или установить законы даже тех механических явлений, которые всесторонне исследуются обычными дифференциальными уравнениями движения Ньютона. Как также было отмечено Эйлером, универсальность принципа наименьшего действия даже в пределах механики не является установленной и он, Эйлер, не может сколько-нибудь уверенно оценить границы его применимости. Надо отметить, что Эйлер совершенно не рассматривал вопроса об определении характера варьируемых движений. [c.792]

Чтобы показать теперь пользу, которую приносит повторное применение операции В над решением уравнения Л (f) = О, когда дело не идет больше об определении самого общего решения, а разыскивается частное совместное решение уравнений A(f) = 0 и B(f) = Q, я предположу, что величипн B(/i) = /2, В (/ ) = /у,. . . B" f ) == f, , где т меньше или—самое бо.гьшее—равно п, являются решениями уравнения Л (f) = О, независимыми как друг от друга, так и от f , напротив, B (fj) уже не будет решением, независимым от / ,, f ,. .. тогда надо различать два случая [c.235]

Решение задачи об описании всех классов решений данного типа с линейностью по одной или двум пространственным переменным сводится к исследованию систем переопределенных уравнений в частных производных. Полный анализ совместности таких систем, особенно в случае уравнений газовой динамики, представляет весьма значительные трудности, поэтому в данной работе приводятся лишь некоторые доста точные условия для аналитической формы представления термодинамических величин (температуры Т, давления р и скорости звука с), когда рассматриваемый класс решений описывается определенной системой уравнений в частных производных с достаточно широким произволом в решении. Полученные системы уравнений содержат меньшее по сравнению с исходной задачей число независимых переменных и в этом смысле про ще исходной системы. Они могут быть исходными при построении некоторых классов точных решений, а также могут найти применение при решении отдельных типов кра евых задач. Построенные классы движений условно названы ранее основными, так как для случая других отличных от этого класса движений с аналогичным свойством линей ности, мы приходим к задаче об исследовании переопределенной системы уравнений высокого порядка с относительно малым числом неизвестных искомых функций и, ве роятно, здесь возможны лишь некоторые исключительные решения. При этом вопрос о полной классификационной теореме (теоремы такого типа для газодинамических те чений с вырожденным годографом скоростей были, например, получены в [2, 10]) для решений рассматриваемого класса остается открытым. [c.177]

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра ), Кармана ), Сайнджа ) и др. [c.388]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Для поиска частного решения задачи (5.2)-(5.7) использовался обычный метод разделения переменных. Расчеты проведены с помощью средств компьютерного пакета символьных вычислений МагНетапса. Достоверность решения проверялась его непосредственной подстановкой в уравнения (5.2), (5.3) и граничные условия (5.4)-(5.7). Найденное частное решение представляет собой набор довольно длинных и громоздких выражений для Ф2,1(<2 и 2- Величины Ф2 и ]/2 не несут информации об эволюции формы свободной поверхности во времени и формулы для них здесь не приводятся. Выражение для 2 имеет вид 2 = а [С1СО520 - 2 т0]ехр2Г с коэффициентами и 2. не зависящими от координат и времени, выражения для которых через 5, к, р, V не приводятся в виду громоздкости. Суммируя (4.1) с выражением для 2. можно построить частное решение задачи об определении профиля волны, распространяющейся по поверхности вязкой бесконечно глубокой жидкости, верное с точностью до величин второго порядка малости по отклонению формы поверхности от плоской равновесной [c.189]

Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновешных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Напомним, что в 10.4 были изложены приемы, позволяющие получить относительно простое решение этой задачи формулы (10.4.2) и (10.4.3) относились к случаю, когда на границе Oia = О, а формулы (10.4.7) и (10.4.6) —к случаю, когда равно нулю нормальное давление Огг при Хг = 0. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единствеиноп функции ф(г) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрен] в 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований. [c.348]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Прежде всего рассмотрена локальная задача о контакте между недеформируе-мой четвертью плоскости и полуплоскостью, находящейся в условиях ползучести. Она эквивалентна известной задаче Черепанова Райса Хатчинсона о трещине. Отсюда получено напряженно-деформированное состояние вблизи угла как функция одного свободного параметра. Внутреннее решение для тонкого слоя получено асимптотическим анализом, для полупространства — методом Н.Х.Арутюняна, оба решения с)п ь функции еще одного свободного параметра. Размер погранслоя может быть рассмотрен как третий свободный параметр. Интегральное условие статики системы и требование непрерывности основных характеристик контактной задачи приводят к нелинейному алгебраическому уравнению для численного определения свободных постоянных. В частных сл) аях его решение может быть дано явными формулами. Помимо названных задач решена периодическая задача, моделирующая изготовление штамповкой плиты с ребрами. Более того, полностью изучены как отдельные случаи локальное решение вблизи вершины угла при ползучести (произвольный угол, различные граничные условия), асимптотика осесимметричной задачи вблизи конической точки (произвольный зп ол, различные граничные условия), а также найдены внутренние асимптотики плоской задачи для тонкого слоя из материалов Надаи и Эмбера. [c.539]

На границе Е С) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ф = О ф — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду, кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между фи фу и кривизной контура крыла (см. гл. 1, 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, свободной границе. В задаче профилирования, когда задана граница Е С), условие ЩдР с) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке уо = уо о. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а ф 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа О. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку и] = г оо, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.) [c.159]

Точный критерий устойчивости в действительности не требуется с математической точки зрения. При исследовании нелинейных уравнений Хикс [1969] предлагает миновать вопросы, связанные с критериями устойчивости, и переходить непосредственно к сути дела, а именно к обеспечению сходимости разностного решения (Лаке и Рихтмайер [1956]). Главное состоит в том, что решение конечно-разностного уравнения должно сходиться к решению дифференциального уравнения в частных производных, а определение устойчивости представляет уже вторичный интерес. В свете сказанного теорема эквивалентности Лакса может применяться для непосредственного исследования сходимости при условии, что устойчивость определена таким образом, что оба эти понятия являются эквивалентными. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...