Решение конечно-разностное

В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравне[1ий (7.45) не обеспечивает выполнение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации при этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравнений (7.45), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, отмечено, что сходимость итерационных методов, применяемых для решения (7.45), практически всегда улучшается, если значения ап+ во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения. [c.208]

Это уравнение обычно нужно интегрировать в некоторой криволинейной области при заданных граничных условиях. Применение для его решения конечно-разностных методов существенно упрощается, если перейти от переменных х, у к переменным, переводящим криволинейную область в прямоугольник [c.210]

Решения конечно-разностных уравнений сходятся к точному решению краевой задачи при h , hy- 0. Скорость сходимости зависит от порядка аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Поэтому важно, чтобы погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий имели одинаковый порядок. В рассмотренном примере погрешность решения равна [c.487]

Второй путь связан с решением конечно-разностными методами задач для бесконечных областей. В этом случае имеется трудность в том, где ограничить сеточную область и какие условия задать на ее внешней границе Г. Для этой цели можно использовать метод ГИУ рассмотреть область, внешнюю по отношению к Г, и записать ГИУ по Г. Это ГИУ и Можно принять в качестве точного граничного условия на внешней границе сеточной области. Подобная процедура реализована в [45, 46]. [c.192]

Численные решения конечно-разностных уравнений должны сходиться к точному решению исходной задачи при стремлении шага по пространству к нулю. Это условие выполняется, если схема удовлетворяет определенным требованиям. Во-первых, во всех сверхзвуковых течениях счет устойчив, если величина шага по времени М и шаг по пространству ax связаны критерием Куранта — Фридрихса —Леви [24] [c.36]

Для решения конечно-разностного аналога уравнений вихря и энергии применялась консервативная конечно-разностная схема второго порядка точности по пространственной переменной и первого порядка по временной переменной. Диффузионные члены ап- [c.325]

Таким образом, решение конечно-разностных уравнений (11.12) разбивается на два этапа. [c.287]

РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ [c.107]

При решении конечно-разностных уравнений диффузионного приближения в двухмерной геометрии, например уравнения (3.60), компоненты потока в данном направлении двухмерно системы можно рассматривать в любой момент времени как неизвестные величины и для их получения использовать одномерные методы. Это приближение известно как метод линейной релаксации . Предложить итерационную схему для решения двухмерных уравнений таким методом. Преимущества этого метода обсуждаются в соответствующей литературе [37]. [c.132]

РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ [c.182]

Теперь обсудим понятие сходимости разностного решения. Это свойство означает, что решение конечно-разностного уравнения сходится к решению уравнения в частных производных при /г —О, г —0. Для исследования вопроса о сходимости обычно используются методы функционального анализа. Мы здесь не будем приводить соответствуюш,ее точное изложение доказательств, а ограничимся лишь формулировкой основного результата этих исследований. [c.28]

Точный расчет малых концентраций не имеет важного значения в тех задачах газовой динамики реагирующих сред, где определяются интегральные характеристики. Например, погрешность расчета малых концентраций при определении потерь удельного импульса па химическую неравновесность для течения многокомпонентной смеси в сопле реактивного двигателя пе дает существенной погрешности в результатах исследований. В задачах н<е исследования процессов токсичных компонентов в энергетических установках необходимо с достаточной точностью определять концентрации токсичных веществ. Поэтому становится очевидной необходимость разработки таких итерационных схем решения конечно-разностных уравнений химической кинетики, в которых обеспечивается точное выполнение законов сохранения на каждой итерации и, следовательно, малые концентрации вычисляются с заданной относительной точностью. Напомним, что законы сохранения являются точными интегралами уравнений кинетики. [c.66]

Решение конечно-разностное 205 [c.389]

На фиг. 15.4 решение, полученное методом конечных элементов при нерегулярной сетке, сравнивается с решением конечно-разностных уравнений наименьшего порядка аппроксимации методом релаксации. Как и следовало ожидать, оба решения дают результаты одного порядка точности. [c.326]

В книге освещаются вопросы устойчивости и сходимости решения конечно-разностных уравнений. Представляет интерес анализ различного типа ошибок, обусловленных разностными схемами. Автор уделяет очень большое внимание численному представлению граничных условий, которые имеют первостепенное значение, влияя как на точность, так и на устойчивость численного решения задачи. Обсуждение этого вопроса проводится столь детально, что в этом отношении книга не имеет себе аналогов. [c.9]

Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уравнения (3.93) при нулевых граничных условиях. Общее решение получается заменой в (3.94) V" на Л ", где л интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разностной схемы (3.93) (см, Рихтмайер и Мортон [1967]). Хотя (3.94) не является решением уравнения с конвективным и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фон Нейману. [c.69]

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости ). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах->0, А О конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и А (см. разд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ах->0, А/ О решение конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что конечно-разностное уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение. [c.79]

Основываясь на рис. 3.10, можно сделать и другое очень интересное заключение. Обычно не обращают внимания на то, что при решении конечно-разностных уравнений для задач, аналогичных представленной на рис. 3.10, существует два характеристических параметра. Первый параметр представляет собой число Куранта, которое является единственным параметром при решении конечно-разностного уравнения во внутренних точках. Вторым параметром является сеточная частота N = = 2я/А , т. е. число временных слоев за период изменения функции на входной границе потока. [c.92]

Поэтому не удивительно, что задание численных граничных условий оказывает существенное влияние не только на устойчивость, но и на точность решения конечно-разностного уравнения. Следует удивляться другому почему важность этих условий не была широко признана в течение многих лет (и, возможно, недооценивается даже в настоящее время). Ричардсон [1910] вполне определенно охарактеризовал важность граничных условий, но в последующие годы в большинстве работ внимание уделялось разностным схемам во внутренних точках. Одной из возможных причин этого было то, что основное внимание тогда уделялось задачам теплопроводности, в которых граничные условия, как правило, просты и однозначны. Другой причиной было отсутствие реальной возможности численных экспериментов с различными граничными условиями [c.214]

Решение, представленное на рис. 3.26, а, получено при а/ц = 1, что соответствует Ке= 1, и является гладким. Решение, приведенное на рис. 3.26,6, получено при а/и 0.01, что соответствует Ре = 100, образует характерные пилообразные осцилляции. Подчеркнем, что изображенное на рис. 3.26 решение представляет собой точное стационарное решение линейного конечно-разностного уравнения (3.491) с постоянными коэффициентами. Пилообразные осцилляции в данном случае вызваны не неустойчивостью итерационного процесса, не нелинейностью и не переменностью коэффициентов они просто являются решением конечно-разностного уравнения (3.491). [c.248]

Легко показать, что в решении конечно-разностного уравнения должны появляться такие пилообразные осцилляции. Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение (3.490), рещение которого показано на рис. 3.27, а. При и = О (течение [c.248]

Как же формируется такое колено профиля в предпоследней точке при 1— 10 В решении дифференциального урав 1с-иия с ростом и/а величина д1,/дх при х = 1 неограниченно увеличивается так, чтобы сбалансировать конвективный и диффузионный члены в уравнении (3.492), но в решении конечно-разностного уравнения величина ЬХ/Ьх ограничена. Когда колено появляется в последней ячейке, мы имеем [c.250]

Когда это условие нарушается (при Re >2), член 81 /8х остается по-прежнему ограниченным, и для достижения баланса в уравнении (3.492) член 6%/8х будет увеличиваться за счет уменьшения t/-i вплоть до отрицательных значений, как показано на рис. 3.27,6. Заметим, что это решение конечно-разностного уравнения приводит к нарушению условий монотонности и ограниченности решения исходного дифференциального уравнения, приводя тем самым к ошибкам, связанным со свойствами схемы (см. разд. 3.1.23). Когда <0, величина b%/bx i-2 несколько уменьшается и этот эффект передается вперед, вызывая пилообразные осцилляции. [c.251]

Термин сходимость употребляется в двух различных смыслах. Термин итерационная сходимость относится к окончательному выходу на решение конечно-разностного уравнения, [c.264]

Для решения конечно-разностных уравнений (36) методом итераций примем некоторые начальные значения функции напряжения ф , фз,. .. Ф15. Подставляя их в уравнения (36), получим остаточные усилия для всех внутренних точек, которые можно затем устранить методом релаксации. Соответстнуюш,ая [c.545]

Впоследствии прямоугольные укладки волокон рассматривали Уилсон и Хилл [169], применявшие методы теории комплексного переменного, а также Адамс и Донер [1, 2], использовавшие для решения конечно-разностные схемы. [c.85]

Для записи численных аналогов исходных уравнений на оси пучка использовался метод Гершгорина, позволяющий выразить. значение искомой функции на оси через совокупность азимутальных значений на первом расчетном радиусе. Для решения конечно-разностных аналогов уравнения энергии и движения они приводились к виду [c.18]

Азархин А. М., Андреев Н. П. Два приема ускорения сходимости решения конечно-разностных уравнений для плит и оболочек методом неполной релаксации. — В кн. Вопросы оптимального использования ЭЦВМ в расчете сложных конструкций. — Казань Изд-во КГУ, 1973. [c.282]

Итерационные методы достаточно эффективны при решении конечно-разностных СЛАУ, матрицы которых имеют весьма специальные структуру и спектральные свойства. Метод сопряженных градиентов (МСГ) [2, 10] нельзя отнести безоговорочно к первой или второй группе, поскольку, будучи итерационным по характеру вычислительного процесса, он дает (при отсутствии погрешностей округления) точное решение за число шагов, не превышающее размерности задачи. Однако наличие погрешностей округления в реальных расчетах на ЭВМ сводит на нет эту его особенность. Спектральные свойства конечно-элементных матриц обычно обеспечивают достаточно быструю сходимость МСГ число [c.34]

Выражая искомые решения через разрешающие функции (см. гл. П1), мы преследовали цель свести более трудную задачу решения дифференциальных уравнений в перемещениях к хорошо известной задаче решения гармонического или бигармонического уравнения. Рассмотренное в п. 61 решение конечно-разностных уравнений показало, что особенности получаемых систем алгебраических уравнений не позволяют пока назвать достаточно надежный метод решения этих систем. Наиболее подробно изучены численные методы решения такой системы линейных алгебраических уравнений, которую мы получаем, применяя конечно-разно-етную аппроксимацию уравнения Лапласа = О или Пуассона V if) = / (д ). В работе Г. М. Максимова [55] применен численный метод, приводящий к неоднократному решению уравнения Лапласа для сжимаемого материала. Используем этот метод для несжимаемого материала. Выбираем решение (103). Введем обозначение [c.198]

Принцип работы модели основан на аналогии дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические и электрические стационарные процессы. Электрическая модель (электроинтегратор) предназначена для решения конечно-разностных уравнений, которыми аппроксимируются дифференциальные урав1нения типа Лапласа. [c.62]

Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения. Конечно-разностные [5, 6] методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разностными метод Ритпа и его вариант —метод конечных элементов— связаны с приближенной минимизацией функционала. [c.44]

Точный критерий устойчивости в действительности не требуется с математической точки зрения. При исследовании нелинейных уравнений Хикс [1969] предлагает миновать вопросы, связанные с критериями устойчивости, и переходить непосредственно к сути дела, а именно к обеспечению сходимости разностного решения (Лаке и Рихтмайер [1956]). Главное состоит в том, что решение конечно-разностного уравнения должно сходиться к решению дифференциального уравнения в частных производных, а определение устойчивости представляет уже вторичный интерес. В свете сказанного теорема эквивалентности Лакса может применяться для непосредственного исследования сходимости при условии, что устойчивость определена таким образом, что оба эти понятия являются эквивалентными. [c.80]

Интерпретация коэффициента а,, в случае многомерных и вязких течений не столь очевидна, как это могло бы показаться. Рассмотрим,-например, случай, когда достигается стационарное состояние. Тогда левая часть уравнения (3.176) обращается в нуль и можно уменьшать At, не меняя нри этом решения конечно-разностного уравнения. Уравнение же (3.179) показывает, что уменьшение At приводит к увеличению осе (через С). Если понятие схемной вязкости ае имеет какой-либо смысл, то решение коиечно-разностного уравнения, казалось бы, должно было зависеть от величины ае- Однако если вместо исследования нестационарного уравнения положить dt /dt = 0 в уравнении [c.103]

Покажем сначала, что 5,-, / не оказывает влияния на устой чивость уравнения (3.368). Следуя работе Шортли и Уэллера [1938], будем рассматривать граничные условия Дирихле и обо значим через 11)°° точное конечно-разностное решение ) конечно разностного уравнения Пуассона (3.364). Тогда ошибка е- значения после итерации к будет составлять [c.178]

Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле = f x,y), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я] , которая определяется как точное решение уравнения с граничными условиями я] = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию i] , которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа = О с граничным условием я] = f x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечноразностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку у2я з> = и У я] " = О, имеем у2(я15 + я] ) = и, поскольку на границах ф == О и я " = f (х, (/), имеем я15 + я15 = = f(x,y). Поэтому функция я15 = я]з я удовлетворяет уравнению у2я з = и граничному условию я] = f(x,y). [c.205]

Если ставятся граничные условия типа Неймана с нулевым градиентом, то разложение проводится в ряд по косинусам. Если же градиент по нормали к границе отличен от нуля, д /дп = g x, у), то задача решается следующим образом (Уильямс [1969]). Теперь вспомогательная функция я]з> вводится следующим образом я) = О во всех внутренних точках, ф = +g(x, у) Ап на границах г = / и / = / и я] = —g x, у) Ап на границах г = 1 и / = 1. Эта функция я) является решением вспомогательного дискретизированного уравнения Пуассона у2я] 1 = с граничным условием 8i>y8n = g x, у) и с = О всюду, за исключением точек, смежных с границами, где = = у2я )1 ф 0. (В узле, отстоящем на две позиции внутрь от границы, У я] = О, поскольку я з> = О во всех соседних точках.) Если ввести я] = я15 — я]з> и = —то исходная задача сведется к нахождению решения конечно-разностного уравнения У я = с граничным условием бя1з 7бп = О, что можно сделать с помощью разложения по косинусам. Искомое решение имеет вид я з = я + я . [c.205]

На рис. 3.26 представлено полученное неитерационным прямым методом прогонки (см. ириложение А) точное решение конечно-разностного уравнения, соответствующего стационарному линейному модельному уравнению с постоянными коэффициентами у конвективного и диффузионного членов [c.247]

В целом решение конечно-разностного уравнения будет == О для i от 1 до 10 и 11 = 1. Равенство (3.495) снова приводит к вездесушему условию на сеточное число Рейнольдса [c.251]

Вазов [1957] применил методы асимптотических разложений для доказательства сходимости решения конечно-разностного уравнения в случае, когда граничные значения представляли собой кусочно аналитические функции, а граница — аналитическую кривую без угловых точек. Он также доказал существование (и дал форму) асимптотического разложения в случае угла, образованного пересечением двух дуг аналитических кривых. Вудс [1953] предполагал различные формы особенностей для т]) на границе (включая случай, когда г] конечна, но имеет бесконечные производные) и показал, как формально исключить особенности и решить получающиеся конечно-разностные уравнения методом Саусвелла. Он также ссылается на Саусвелла, когда говорит, что скорость сходимости итерационного процесса замедляется при скруглении угла. [c.263]

В другой статье при изучении сходимости решения конечно-разностного уравнения в окрестности угловой точки Лаасонен [1958а] продемонстрировал как аналитические исследования, так и численный эксперимент. Эта статья имеет важное значение для задач вычислительной гидродинамики. Лаасонен показал вредное влияние на скорость сходимости как наличия угловой точки, так и разрыва функции. Если для прямолинейной границы с непрерывными значениями функции на границе [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...