Член сингулярный

Численные методы решения интегральный уравнений 365 Член сингулярный 374 [c.395]

Некоторые члены в (3.4) имеют сингулярность вида [ г — у из результатов IV, 3, п. 4 следует, что эти члены сингулярные (см. определение сингулярного интеграла — IV, 3, п. 4). Остальные слагаемые уравнения (3.4) имеют сингулярности вида г — а > 0. [c.459]

В общем случае в исходном потенциале V имеются и глубокие и квазидискретные состояния, т. е. сумма по а в (2.170) включает в себя как члены, линейные по разности Еа — Е), так II члены, сингулярные при Е — Еа, т. е. пропорциональные [c.68]

Условие, при котором сингулярный член в соотношении (4.29) равен ну- [c.293]

Здесь точками обозначены члены, не содержащие в знаменателе разностей (г — I) и, следовательно, при —> О не дающие особенностей. Первое слагаемое, выписанное в (12.8), дает именно такую особенность при г -> О оно стремится к бесконечности. Оно называется сингулярным членом. В малой окрестности у острия трещины [c.374]

Дислокации Бюргерса. Сингулярные члены [c.456]

Вместо задания нагрузок условия на концах могут основываться иа заданных перемещениях. В некоторых случаях напряжения имеют особенности в углах. )с = 0, (/= с. В этих случаях важно исследовать характер сингулярных членов ) и, если возможно, представить их в замкнутой форме так, чтобы часть решения в виде ряда представляла только несингулярную часть. Пример такого рода встречается в задаче о полосе, которая закреплена на одном конце и имеет нулевые перемещения. Задача решалась указанным путем при действии растягивающей нагрузки ). Исследована также задача о полосе, растягиваемой в двух направлениях, у которой упругие константы в области X > О отличаются от констант в области. к < О ). [c.79]

Предполагаем, что функция Н q, р) разложима в степенной ряд в окрестности сингулярной точки. Постоянный член в разложении не имеет значения в (105.7) и мы его опустим. Тогда, принимая во внимание (105.8), имеем [c.380]

Принимая фундаментальную постановку задачи [ °соб (Л1) известна по всей обобщенной поверхности F° излучающей системы], рассмотрим квадратурную аппроксимацию уравнения (8-74). При наличии в системе ослабляющей среды обобщенное ядро К°(М, Р) для объемных точек имеет особенность при Р—> М, так как К° М, М) = оо. Поэтому прежде, чем производить аппроксимацию (8-74) системой линейных алгебраических уравнений, необходимо проанализировать отмеченную сингулярность ядра К° М/Р). Преобразуем (8-74) к разностной относительно Е°эф форме. Для этого перенесем интегральный член (8-74) в левую часть уравнения и одновременно прибавим и вычтем из нее выражение [c.249]

Условие, при котором сингулярный член в соотношении (165) равен нулю, отвечает автомодельности зоны предразрушения. С позиции неравновесной динамики это условие характеризует достижение критической точки, параметры которой характеризуют бифуркационную неустойчивость треп ины при ее росте в условиях плоской деформации. Ранее было установлено, что критические параметры в этой точке связаны между собой соотношением [255] [c.142]

И обусловлено совместным действием сингулярной и регулярной составляющих поля напряжений. Следовательно, работа внешних воздействий, расходуемая на затупление вершины трещины, активирует появление боковых микротрещин, стремящихся повернуть магистральную трещину в сторону от исходного направления ее распространения (нарушить автомодельность ). Параметрами, относящимися к вершине трещины и управляющими расположением и ориентацией этих возмущающих микротрещин, являются коэффициенты интенсивности напряжений для смешанного типа деформации и компоненты тензора напряжений на бесконечности, представляющие собой первый регулярный член в разложении поля напряжений в окрестности вершины. Большие значения коэффициентов интенсивности напряжений приводят к уменьшению кривизны вершины и соответственно к большим значениям накопленной энергии деформации, которая после высвобождения порождает множество трещин, распространяющихся по различным путям. Поворот [c.28]

Очевидно, что рассмотренное в п. 2.1 распределение напряжений, обладающее особенностью в окрестности вершины трещины, является математической абстракцией в том смысле, что никакой реальный материал бесконечных напряжений выдержать не может. Общепринятое оправдание использования сингулярного (с особенностью) поля напряжений для оценки сопротивления материала с применением упругого коэффициента интенсивности напряжений основывается на утверждении о существовании маломасштабного пластического течения. Таким образом, предполагают, что потенциально большие значения напряжений в непосредственной близости к вершине трещины уменьшаются вследствие пластического течения в области, размеры которой малы по сравнению с длиной трещины и характерными размерами деформируемого тела. Далее принимается гипотеза о том, что распределение напряжений в упругом материале, примыкающем к малой зоне пластического течения, хорошо описывается главным сингулярным членом упругого решения. [c.90]

Если мы допустим, что (1) объем V не содержит сингулярностей, в результате чего каждый из членов (2.80а) может быть в V проинтегрирован-, и (2) L в явном виде не зависит от Xi, т. е. материал однороден по всем направлениям Xt, то с помощью (2.80а) получаем такой закон сохранения [c.152]

Во всех задачах о пластинах или оболочках с трещинами, раскрывающимися по типу I, доминирующая часть ядер в (1) и (2), а именно члены с сингулярностью Коши / t — х) одинаковы. Ядра Фредгольма й, / (i,/=1,2) характеризуют особенности геометрии пластины или оболочки. В случае сквозной трещины в пластине интегральные уравнения (1) и (2) оказываются несвязны.ми, т. е. ki2 = О, Й21 = 0. В результате задачу о сквозной трещине в пластине можно решить отдельно для мембранных и для изгибающих нагрузок. Как будет показано ниже, в случае несквозной трещины эти уравнения оказываются связными за счет членов ст(л ) и т х) (которые также неизвестны). Например, для бесконечной пластины уравнения (1) и (2) можно выразить [2—4, 11] в следующе.м виде [c.247]

Общие решения, определяемые (2.6) и (2.7), содержат нулевые напряжения и перемещения тела как жесткого целого (п = 0), сингулярные напряжения и соответствующие им перемещения (п=1), постоянные напряжения и линейные перемещения (п = 2), а также члены более высокого порядка (п 3). Таким образом, параметры К°, К, эквивалентны динамическим коэффициентам интенсивности напряжений К, Ки, Ai rrr- [c.273]

С каждым следующим шагом повышается степень сингулярности членов внешнего асимптотического разложения (1.56), т. е. [c.127]

Некоторые физические соображения позволяют заключить, что нелинейные ядра релаксации и ползучести содержат сингулярные составляющие в виде дельта-функций [33, с. 172]. Исходя их различного типа допущений о характере этих сингулярностей, можно построить много определяющих соотношений, являющихся частным случаем соотношений (4.15) и (4.16). Если в этих определяющих соотношениях оставить только сингулярные составляющие (т.е. члены, составленные только из дельт а-функций), то получим вместо (4.15) и (4.16) [c.30]

При использовании этого подхода величина 5кр рассчитывается только из сингулярных членов сингулярного поля упругого напряжения в виде уравнений (6.2) — (6.5). Причем описание ограничивается областью, лежащей вне радиуса го вокруг кончика трещины (рис. 6.7). Поскольку в основу подхода положена линейная теория, радиус Го должен быть достаточно большим, чтобы охватить любой нелинейный район около кончика трещины. Было найдено, что средняя величина Го 0,51 мм обеспечивает хорошее соответствие теории [21] экспериментам на слоистом стеклопластике (S ot hply 1002) со схемами армирования [+15°] , [ 30°]s, [ 45°]s, [ 60°]s и [ 75°]s при нагружении в направлении 0° (вдоль оси симметрии). Анализ разрушения однонаправленного стеклопластика этой же марки также не противоречил экспериментам, когда нагружение осуществлялось под углом 6 = = 45° 90° к направлению армирования. В этом случае разрушение определилось в основном трещинообразованием в матрице. [c.237]

Рассмотрим не только сингулярный оператор, а полное выражение вместе с внеинтегральным членом [c.60]

Так же как и для случая одномерных сингулярных уравнений, поставим задачу о таком выборе дополнительного сингулярного оператора К, чтобы в результате композиции ККи — КР получить регулярное уравнение. Очевидно, что такой оператор можно построить следующим образом. Первоначально по характеристике и внеинтегральному члену исходного оператора определяем символическую функцию, и если она такова, что для любого сочетания значений <7о и Я имеет место неравенство [c.61]

Уравнения (5.6) также являются сингулярными уравнениями с разрывными ядрами и разрывным коэффициентом при внеинтегральном члене. Исследования условий разрешимости уравнений класса (5.6) также отсутствуют. Однако, безусловно, является полезной разработка эффективных численных методов решения уравнений (5.2), (5.5), (5.6) ). Например, не составляет труда реализация в той или иной форме метода механических квадратур. Для вычисления сингулярных интегралов, входящих в уравнения (5.2), (5.5) и (5.6), можно использовать регулярное представление (3.2) в его модифицированной форме. Если же осуществить полигонализацию поверхности, то можно воспользоваться кубатурными формулами [88, 206]. [c.597]

Так называемая линейная механика разрушения приписывает физически невозможной сингулярности реальный смысл. Подобная ситуация для механики сплошной среды не столь уж необычна, достаточно вспомнить, например, вихревые нити с нулевым поперечным сечением п конечной циркуляцией. Как оказывается, работа продвижения трещины, которая совершается либо в результате увеличения внешних сил, либо за счет уменьшения упругой энергип тела при увеличении размера трещины, непосредственно выражается через коэффициент при сингулярном члене в формуле для напряжений. Этот коэффициент называется коэффициентом интенсивности и играет для всей теории фундаментальную роль. Работа продвижения трещины может быть связана с преодолением сил поверхностного натяжения (концепция Гриффитса), с работой пластической деформации в малой области, примыкающей к концу трещины, либо с чем-нибудь еще. Важно при этом одно размеры той области, где соотношения линейной теории упругости так или иначе нарушаются, должна быть весьма малой. Тогда способность трещины к дальнейшему продвижению определяется единственной характеристикой — ра-бс.той на единицу длины пути, илп критическим коэффициентом интенсивности. [c.9]

В 3 было показано, что локальный критерий Ирвина связан с характеристикой сингулярности ноля напряжений или деформаций в окрестности вершины трещины. В упругом случае, как отмечалось, такой характеристикой служит коэффициент интенсивности напряжений. Эта характеристика (или критерий) должна быть одинаковой в предельном состоянии при переходе от одной детали (со своей схемой нагружения) к другой детали из того же материала (с другой схемой нагружения). Этому свойству вполне удовлетворяет коэффициент интенсивности напряжений при идеально хрупком разрушении. В случае же развитых пластических деформаций в части петто-сечения инвариантными характеристиками могут служить коэффициенты при сингулярных членах в выражениях напряжений или деформаций. В частности, оказывается, что если диаграмма деформации материала может быть представлена в виде степенной зависимости [c.64]

Наиболее существенные результаты в динамической механике разрушения получены в рамках линеаризованной теории, в которой предполагается, что зона проявления нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины, а поле напряжений вокруг пластической области оппсывается асимптотическими формулами, полученными из решения упругой задачи. Это поле напряжений сингулярно, и главный член его разложения по степеням расстояния от конца трещины г, как п в статике, имеет вид К/У г. Угловое же распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково при статическом и динамическом нагружении, а влияние инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Кроме того, исследования показывают, что спустя некоторый период времени после приложения нагрузки характер зависимости коэффициентов интенсивности напряжений и импульсных нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пикового значения, иногда значительно превышающего статическое (аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического нагружения тела с трещиной). [c.407]

Таи кап напряжения вблизи вершины трещины сингулярны, то конечными членами в этих напряжениях можно пренебречь,и необходимо иэучить только поведение сингулярных членов. Обратимся, например, н напряжению Sljj sbjUi . Представим б у в ниде [c.112]

После разрушения какого-либо слоя нагрузки, приложенные к композиту, не снижаются. Предполагается, что разрушение локализовано в одном слое, хотя доля нагрузки, при--ходящаяся на этот слой, переносится на остальные слои. Формально это осуществляется присвоением соответствующему тангенциальному модулю слоя отрицательного знака при дальнейшем увеличении нагрузки. После того как напряжения в разрушенном слое снизятся до нуля, его тангенциальный модуль при вычислении матрицы [Л] полагается равным нулю. Процесс ступенчатого нагружения продолжается до тех пор, пока матрица [А] не станет сингулярной или пока члены на ее главной диагонали не приобретут отрицательных значений. [c.151]

Таи вак напряжения вблизи вершины трещины сингулярны, то конечными членами в эуюс напряжениях можно пренебречь,и необходимо изучить только поведение сингулярных членов. Обратшся, например, к напряжению . Представим 6ig в виде [c.112]

Отметим, что в этом случае получается комплексная и недиагональная матрица, хотя часто оказывается, что влияние недиагональных членов мало по сравнению с диагональными. Дальнейшая процедура также требует укорочения рядов, но теперь наиболее эффективным методом решения будет использование вычислительных машин для решения системы комплексных матричных уравнений. Здесь это не будет делаться, поскольку наша цель — лишь проиллюстрировать, что можно и чего нельзя сделать прежде, чем приступать к подробному решению этой конкретной задачи. Следует отметить важное обстоятельство несмотря на появление указанного сингулярного выражения в точке х = 1, порядок уравнений задачи не увеличился, в то время как в прямом методе это было не так. Легкость, с которой это решение было получено, указывает на тот факт, что не математический подход создает трудности при учете недиагональных членов в разрешающей матрице (хотя иногда это, конечно, может случиться), а, скорее, отсутствие достаточно полных сведений о механизме демпфирования и о точках его приложения. Что же касается обратного перехода от замера форм колебаний к оценке физической модели механизма демпфирования (что полностью противоположно процессу, описанному ранее), то он исключительно труден в лучшем случае и невозможен — в худшем. Однако для многих эластомеров, полимеров и стекловидных материалов, рассматриваемых в данной книге, разумное количественное математическое описание не только возможно, но и стало весьма совершенным, так что его можно использовать для оценки влияния технологических обработок (для демпфирования) или демпфирующих механизмов (при использовании указанных материалов) на поведение конструкции, шумоизоляцию или акустическое излучение. То же самое можно сказать и о некоторых нелинейных демпфирующих системах типа металлов с высокими демпфирующими свойствами или типа демпферов с сухим трением, хотя при этом существенно возрастают математические трудности, обусловленные учетом нелинейности. [c.29]

Наличие двух-трех членов ряда (5.1.43) обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации. Часто на практике интерес представляют лишь деформации ползучести при больших длительностях нагружения. В этих случаях можно воспользоваться ядром ползучести в виде одной экспоненты. Для более точного описания деформаций ползучести в области малых времен нагружения прибегают к функциям со слабой сингулярностью. Наиболее распространенными ядрами такого рода являются вдра, предложенные Дюффингом, Ржаниххыньпи, Работновым. Применение сингулярных функций в качестве ядер ползучести связано с весьма сложной процедурой определения параметров этих ядер. Поэтому были предприняты попытки разработать аппроксимации интегралов таких функций. Так [c.288]

Если предположить, что поле напряжений вблизи вершины трещины при ползучести является сингулярным, то t соответствует /Сд, поэтому уравнение (5.34) аналогично уравнению (5.30). Однако то, что в расчетах коэффициент а принимают несколько большим коэффициента а, т. е. можно рассматривать как отражение влияния предыстории повреждения образца, как и член I — Iq) в уравнении (5.30). Член, учитывающий влияние предыстории повреждения в расчетах, выражается градиентом наклона линии, характеризующей распределение деформации ползучести у вершины трещины —(Эе /Эг )с, t- Результаты расчетов приведены на рис. 5.57. При этом г — расстояние от вершины трещины г = rlWo. [c.184]

Хорошо известно [3], что в случае развивающейся трещины W и Г у вершины трещины могут содержать сингулярности типа 1/г. Кроме того, производные dWIda и дТfda представляют изменение порядка сингулярности, в то время как тип сингулярности остается прежним (1Д). Поскольку dW/dx и дТ/дх могут привести к неинтегрируемым сингулярностям (что делает недопустимым применение теоремы о дивергенцнн к членам [c.134]

Аберсон и др. [26, 27] сделали одну из ранних попыток применения сингулярного элемента для описания движущейся трещины. Они воспользовались сингулярным элементом, приведенным на рис. 3(a), который включал в себя первые 13 членов собственных функций Уилльямса [28], определенных для стационарной трещины, находящейся в линейно-упругом теле. Собственные функции, использованные в [26,27], учитывают движения тела как твердого целого. Внутри сингулярного элемента вершина трещины перемещается между узлами А и В, как показано на рис. 3(a). После того как вершина доходит до узла В, происходит резкая смена схемы сетки, как это видно из рисунка. Для соблюдения условий совместности по перемещениям на границах между сингулярным и обычными треугольными элементами применяется модифицированный принцип минимума дополнительной энергии. Однако, как сообщается в [62], применение описанного подхода не привело к получению осмысленных результатов. [c.284]

Члены в скобкех появляются для учета уравнений (2.32). Очевидно, форма (2.33) не является единствеяной. Авторы работы [137 указывают, что были испробованы два других варианта, но они привели к тому, что иатрицаСЛj(1.59) оказывалась сингулярной и не имела обратной. Вариант описанный в [j3 ииел несколько иной вид и, как показано в (13 , не адекватно представлял некоторые напряженные состояния. Поэтому в окончательном ва -рианте принимается форма (2.33). [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...