Канонические переменные поля

В 2.4 были введены дискретные канонические переменные поля и Энергия поля W выражалась через эти переменные при помощи соотношения (2.4.16) [c.253]

Канонические переменные поля. Индекс к нумерует независимые в общем случае степени свободы или моды поля в объеме нормировки Понятие моды здесь аналогично понятию типа колебания в случае объемного резонатора, когда поле представляется суммой стоячих волн. Состояние данной моды в момент I задается двумя комплексными (т. е. четырьмя действительными) функциями Е-ц (О и H (г), причем эти же две комплексные функции согласно (15) определяют состояние моды с обратным направлением волнового вектора. [c.83]

Зависимость а от времени в (64.5) выражается как ехр(— Нашей целью является квантование этого поля. Для этого введем (как мы это делали в 12 для электрического поля коллективных колебаний электронного газа) канонические переменные поля [c.250]

При квантовании поля канонические переменные Q и Р заменяют соответствующими операторами Q и Р, При этом, согласно (2.4.16), гамильтониан поля излучения может быть представлен в виде [c.253]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Так как не содержит ф, то мы не в состоянии ввести плотность импульса, соответствующую ф поэтому невозможно, не вводя дальнейших модификаций, найти плотность гамильтониана такую, чтобы уравненпя Максвелла (8.210) следовали бы из уравнений (8.129). Однако мы увидим, что уравнения Максвелла могут быть записаны в канонической форме, если воспользоваться компонентами Фурье переменных поля. [c.216]

В терминах канонических переменных для импульса Р, и координаты Яг, а также потенциалов (скалярного (ро и векторного Ао) внешнего поля. [c.278]

Описание электромагнитного поля уравнением (1.64) или, что то же самое, системой уравнений Максвелла (1.39), т. е. описание с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помощью непрерывного множества переменных. Однако возможен переход к описанию электромагнитного поля с помощью бесконечного, но дискретного ряда переменных. Такие переменные (канонические переменные) можно определить в виде [c.34]

В 4 мы рассматривали канонические уравнения и канонические переменные для простейшей задачи о движении одной материальной точки в центральном поле и под действием возмущающей силы. Здесь мы распространим изложенные ранее результаты на задачу о движении системы материальных точек, предполагая, что все действующие силы, и основные и возмущающие, исключительно силы взаимных притяжений, определяемые законом Ньютона. [c.704]

Эта форма уравнений также нуждается в дополнительных разъяснениях в связи со сказанным выше относительно смысла индекса г. Уравнения (4.12), (4.13) соответствуют исключению частных производных из функций и Я -... Следовательно, система уравнений (4.12), (4.13) распадается на подсистемы, состоящие из восьми уравнений, которые, в отличие от канонических уравнений, содержат вторые производные от искомых функций и по переменным Следовательно, назвать уравнения (4.12), (4.13) каноническими нельзя. Однако порядок каждой подсистемы равен восьми в соответствии с порядком системы уравнений Лагранжа второго рода для элемента сплошной среды в переменных поля первого рода. [c.95]

Канонические переменные электромагнитного поля [c.80]

Канонические уравнения поля и функция Грина. Найдем уравнения движения для переменных а . Для этого подставим [c.83]

Для систем с конечным числом степеней свободы можно доказать, что нри определенных условиях любые два представления перестановочных соотношений связаны каноническим (унитарным) преобразованием. Если бы этот результат можно было перенести в теорию поля, 10 мы могли бы определить так называемую картину взаимодействия. в этом случае канонические переменные в каждый момент времени предполагаются эквивалентными каноническим переменным свободного ноля фш1. В частности, [c.227]

Основная часть задачи об ускорении фононов заключается в том, чтобы вычислить вероятность их перехода из заданного элемента фазового пространства. Для определения этой вероятности следует определить операторы рождения и уничтожения фононов, для чего необходимо корректно построить гамильтониан звукового поля на основе введения соответствующих канонических переменных. Из этого гамильтониана должны следовать уравнения движения среды. [c.177]

Теперь мы можем сформулировать вторую форму принципа Гамильтона. Пусть голономная материальная система движется в потенциальном силовом поле и состояние движения системы определяется каноническими переменными тогда в действительном движении обращается в нуль первая вариация функционала (5.70) при краевых условиях (5.57) [c.302]

Бюргере - показал, что задача о комбинированном эффекте Штарка и Зеемана (движение электрона вокруг ядра, возмущенное внешним электрическим и магнитным полями) не допускает разделения переменных ни при каких системах координат, и вместе с тем разделение переменных возможно после соответствующего канонического преобразования. [c.279]

При рассмотрении классической гидродинамики мы убедились, что для вывода термодинамических равенств удобно выполнить каноническое преобразование фазовых переменных частиц, исключающее макроскопическое движение жидкости. К сожалению, в случае сверхтекучей жидкости переход в движущуюся систему координат позволяет исключить лишь одно из векторных полей или которыми теперь описывается макроскопическое движение. Для определенности получим термодинамические равенства в системе координат, движущейся со скоростью v (r). Переход в эту систему координат можно осуществить с помощью унитарного преобразования [c.193]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Переменные с, г с играют роль канонических координат и импульсов, фундаментальные СП [с, г с ] = 1. Гамильтониан, описывающий эволюцию системы N электронов и поля [c.412]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Подставляя в (28.10) Я и любую динамическую переменную F, получим решение канонических уравнений в виде ряда. Отметим, что гамильтониан Я не описывает непосредственно кулоновское взаимодействие. Однако ряд теории возмущений содержит члены е , е ,. .., соответствующие кулоновскому взаимодействию во всех порядках по — как и в квантовой электродинамике взаимодействие частиц реализуется виртуальным электромагнитным полем. [c.308]

Рассмотрим движение протона в синхрофазотроне, используя метод усреднения канонических систем. Ограничимся анализом ускорения и фазовых колебаний, не учитывая проблем фокусировки. Протон движется в переменном однородном магнитном ноле и ускоряется в электрическом поле, создаваемым электродами, расположенными в плоскости х = 0. [c.377]

В гамильтоновом случае картина сложнее. Первая трудность привести гамильтоново поле к линейной нормальной форме канонической заменой переменных, вообще говоря, невозможно. А именно, обычно можно убить кубическую часть функции Га- [c.351]

ЭТО, разумеется, конечная величина. В общем случае будет п переменных поля и п соответствующих сопряженных переменных (или канонических плотностей импульсов) л ) = дХ1дц >. В соответствии с предыдущими рассуждениями плотность функции Гамильтона определяется так [c.123]

К рассмотренным выше тесно примыкает вопрос о существовании в НТП системы канонических переменных [10,11]. Хотя, в силу (14), в качестве таких переменных нельзя выбрать сами операторы поля, тем не менее искомая система операторов существует, будучи связана с операторами поля однозначным, хотя и неупитарным образом. Можно, в частности, сделать следующий выбор [c.128]

Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном поле сил. В работе [2] получены векторные уравнения онисы-ваюш,ие эволюцию движения центра масс и враш,ения вокруг центра масс вязкоупругого шара в случае пространственной задачи, когда в процессе движения эволюционирует орбита (ее форма и положение в пространстве и момент количеств движения). Ниже исследуются уравнения, описываюш,ие эволюцию в канонических переменных Делоне-Андуайе в плоском случае, когда плоскость орбиты центра [c.389]

Следовательно, вновь получена система квазиканонических уравнений. Для получения канонических уравнений в обычном смысле следует найти переменные поля, отличающиеся от переменных поля первого рода или произвести преобразование независимых переменних. Целесообразно также изменение исходного определения обобщенных импульсов равенствами (4.1). Это указывает Лич [78]. [c.102]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Укажем классический способ сведения задачи Эйлера к га-мильтоиовой системе с одной степенью свободы, использующий специальные канонические переменные. Пусть оХ 1 — неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, одг /2 —подвижная система координат (главные оси инерции тела). Положение твердого тела в неподвижном пространстве определяется тоемя углами Эйлера О (угол нутации)—угол между осями о2 и ог, ф (собственного вращения) — между осью ох и линией пересечения плоскостей оху и оХУ (называемой линией узлов), (угол прецессии) — между осью оХ и линией узлов. Углы О, ф, 1 ) образуют на 50(3) систему координат, подобную географическим координатам на сфере с особенностями у полюсов (где 0=0, л) и многозначностью на одном меридиане. Пусть р. рщ, — канонические импульсы, сопряженные с координатами О, ф, 11). Еслн твердое тело вращается в осесимметричном силовом поле с осью симметрии oZ, то функция Гамильтона не будет зависеть от угла 1 ). Понижение порядка в этом случае можно трактовать как исключение узла — исключение циклической переменной я ), определяющей положение линии узлов в неподвижном пространстве. [c.111]

Яо — кинетическая энергия (функция Г амильтона интегрируемой задачи Эйлера о движении тела по инерции), а Н — потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести (е — произведение веса тела на расстояние от центра масс до точки подвеса). Будем считать параметр е малым (ср. с п. 2.1, гл. 5, пример 2). Это эквивалентно изучению быстрых вращений тела в умеренном силовом поле. В невозмущеиной интегрируемой задаче Эйлера можно ввести переменные действие — угол /, ф. Формулы перехода от специальных канонических переменных. I, О, I, к переменным действие — угол I, ф можно найти, например, в работе [12]. В новых переменных Я= = Яо(/)+еЯ (/, ф). Переменные действие 1, /г могут изменяться в области А= /1 /2, /г О . Гамильтониан Яо(Л,/2) — однородная функция степени 2, аналитическая в каждой из четырех связных подобластей Д, на которые делят область три прямые Л], Л2 и /[ = 0. Уравнение прямых П1 и яг есть 2Яо//г = Они симметричны относительно вертикальной оси и стремятся к прямой /1 = 0, когда А - Ах и к паре прямых 1/1 = 2, когда Аг- Аз (напомним, что А, Аг, Аз — главные моменты инерции тела и Ах Аг Аз). Линии уровня функции Но изображены на рис. 57. [c.234]

Имеются другие пути рассмотрения задачи о нелинейном взаимодействии монохроматического сигнала с шумом, позволящие получить решение для трехмерного случая. Один путь—это использование гамильтонова подхода (подробнее об этом см. статью [45]). В рассматриваемой задаче каноническиг переменные и гамильтониан определены. Следовательно, можно использовать квантовомеханическую аналогию для описания процесса. Записав известные коммутационные соотношения для канонических переменных, можно определить операторы рождения и уничтожения элементарных возбуждений акустического поля. Гамильтониан взаимодействия содержит комбинацию канонических переменных в степени выше второй. Поэтому элементарные возбуждения в результате действия возмуш ения, определяемого нелинейностью, с некоторой вероятностью могут переходить из одиого состояния в другое. Эта вероятность вычисляется, если из- [c.115]

ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ [по имени ирл. математика У. Р. Гамильтона (W. R. Hamilton)], характеристич. функция механической системы, выраженная через канонические переменные обобщённые координаты Qi И обобщённые импульсы р/. Для системы со связями, явно не зависящими от времени i, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, Г. ф. H qi, />,)= ги=п, где П — потенц. энергия, а Г — кинетич. энергия системы, в выражении к-рой все обобщённые скорости qi заменены на Pi с помощью равенства /), = (9 Г/5д,. Т. о., в этом случае Г. ф. равна полной механич. энергии системы, выраженной через qi и р,-. В общем случае Г. ф. H pi, qi, t) может быть определена через др. характеристич. ф Цию — Лагранжа функцию L ( , qi, t) равенством [c.107]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Таким образом, широко используемые в термодинамике жид костей и газов свободная энергия Гельмгольца F( T, V) и тер модинамический потенциал Гиббса Ф(Р, Т) —F-j PV не явля ются характеристическими функциями для параметра порядка и сопряженного ему поля . Ьолее того, сам термодинамический потенциал Гиббса, приходящийся на одну частицу, т. е. химический потенциал вещества ([i=0/iV), выступает в качестве поля . Термодинамическими функциями, зависящими от плотности и химического потенциала, являются соответственно плотность свободной энергии I F—FjV) и плотность термодинамического потенциала —PV —P=Q/V. Термодинамический потенциал Q широко используется в статистической термодинамике систем с переменным числом частиц и связан с большим каноническим распределением [1] [c.18]

Рассмотрим теперь важный для приложений случай, когда динамические переменные соответствуют полу макроскопическим величинам ). Тогда можно воспользоваться термодинамической эквивалентностью ансамблей и считать, что энтропия S ai , N,V) микроканонического ансамбля является такой же функцией от а-, как энтропия 5( (аЛ, А , К) канонического ансамбля от а-) при условии, что а-) = а-. Это предположение фактически лежит в основе так называемой квазитермодинами-ческой теории флуктуаций впервые развитой Эйнштейном [76], который исходил из интуитивных соображений. [c.72]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

Однако квадратичная часть функции Гамильтона в устойчивом положении равновесия может и не быть знакоопределенной. Простейший пример доставляет функция Я = 9 — р. — Исследование устойчивости систем с такой квадратичной частью должно учитывать члены ряда Тейлора следующих степеней, прежде всего кубические члены функции Гамильтона (т. е. квадратичные члены векторов поля фазовой скорости). Исследование это удобно производить, приводя функцию Гамильтона (и следовательно, гамильтоново векторное поле) к возможно более простому виду подходящей канонической заменой переменных. Иными словами, для изучения решений полезно подобрать систему канонических координат вблизи положения равновесия так, чтобы по возможности упростить вид функции Гамильтона и уравнений движения. [c.351]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...