Левоинвариантное поле

Найдем теперь соответствующие базисные левоинвариантные поля на группе Е 3). Для этого запишем производную по времени в силу уравнений (5.1) [c.59]

Если г — радиус-вектор, i —скорость той же точки в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, то снова v=(uXr, где (o=fi" Q — вектор угловой скорости в теле. Соответствие f B B- (u задает изоморфизм алгебры so(3) (которую можно трактовать как алгебру левоинвариантных полей на 50(3)) и алгебры векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства, в котором коммутатором является обычное векторное умножение. [c.25]

С учетом формулы (1.8) из этого факта вытекает важное следствие коммутатор левоинвариантных полей является левоинвариантным векторным полем. Таким образом, линейное пространство g превращается в алгебру Ли, если умножение элементов из g определить как операцию коммутирования. Это умножение обладает следующими свойствами [c.150]

Ортогональное преобразование с матрицей х переводит твердое тело в начальное положение. Следовательно, v t) = x t)V t) — скорость точки тела в подвижной системе отчета, связанной с твердым телом. Таким образом, v = х хг = ш х г, где ш — вектор угловой скорости, а г = x t)R t) = Д(0) — радиус-вектор точки тела в подвижном пространстве. Отсюда вытекает, что левоинвариантные поля на 50(3) отвечают вращениям твердого тела с угловой скоростью, постоянной в подвижном пространстве. [c.152]

Выберем в твердом теле три взаимно ортогональные оси, проходящие через неподвижную точку (например, главные оси инерции тела). Пусть vi,v2,v3 — независимые левоинвариантные поля на 50(3), порожденные вращениями твердого тела с единичной угловой скоростью вокруг этих осей. В силу отмеченного изоморфизма алгебры so(3) и алгебры векторов трехмерного евклидова пространства, получаем следующие формулы для коммутаторов [c.153]

Пусть Vl,..., Vn — базис независимых левоинвариантных полей. Положительно определенная матрица Грама [c.153]

Пусть теперь z zA — левоинвариантное поле. Тогда уравнение (3.1) надо заменить на следующее [c.163]

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера — Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = во Ъ) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда [их, иг] = из, [иг, из] = их, [из, их] = иг- Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой [c.28]

Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в силовом поле с потенциалом V. Пусть а,р, — векторы неподвижного ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение тела в неподвижном пространстве, то потенциал V можно считать функцией от а,/9,7. Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства положений группу 50(3). Пусть снова (как и в п. 3 2) Щ,и2, щ обозначают левоинвариантные векторные поля на группе 50(3), порождаемые постоянными вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью. Вычислим щ[У) — производные от потенциала вдоль П . Пусть — вектор угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) 1,0,0. При вращении со скоростью О) векторы а,/9,7 изменяются в соответствии с геометрическими уравнениями Пуассона а = ахи), 3 = /9 хо , 7 = 7х о . Следовательно, [c.33]

Гладкое векторное поле V па С называется левоинвариантным, [c.149]

Если VI,..., Vk — набор линейно независимых левоинвариантных векторных полей на G, то в равенстве (1.1) коэффициенты будут постоянными. Они называются структурными постоянными алгебры Ли. Очевидно, = — jj. [c.150]

Пусть г zB — еще одно левоинвариантное векторное поле. Их коммутатор в точке z = е равен, очевидно, [А, В = В А — АВ. Следовательно, алгебра Ли gl n) изоморфна пространству всех вещественных п X и-матриц с естественным законом коммутирования. [c.151]

Метрика ( , ) называется левоинвариантной, если она не меняет значений при всех левых сдвигах. Другими словами, значение билинейной формы ( , ) на любой паре левоинвариантных векторных полей постоянно (не зависит от точки на G). [c.153]

Поскольку поля wi,..., Wk левоинвариантные, то эти векторы линейно независимы во всех точках группы G. Так как они коммутируют, то (по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое fe-мерное распределение касательных векторов на G. Интегральные fe-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми многообразиями. [c.180]

Снабдим это множество структурой линейного векторного пространства над полем комплексных чисел, задав на нем обычные законы композиции комплексных функций. Однако инволюцию мы определим соотношением Г(д) = (д ) А(д ), где Д (д) — действительная положительная функция, определяемая соотношением с/ц = Л (Л) с/ц ( ) и называемая модулярной функцией на группе О относительно левоинвариантной меры Хаара ц. Наконец, введем на группе свертку [c.221]

Пусть теперь N—группа Ли G и ui,...,u — независимые левоинвариантные поля на G. В этом случае = onst. Предположим еще, что лагранжиан сводится лишь к кинетической энергии, которая является левоинвариантной метрикой (, ) на [c.27]

Рассмотрим группу Е Ъ) движений твердого тела в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве и ее алгебру е(3). Ясно, что с11т Е Ъ) = 6. Выберем в твердом теле ортонормирован-ный базис с началом в некоторой точке О. Постоянным вращениям тела с единичной скоростью вокруг векторов базиса отвечают левоинвариантные поля г>1, г>2, г>з на группе Е[Ъ). Точно так же движениям твердого тела, при которых скорость точки О постоянна и равна одному из векторов выделенного базиса, отвечают левоинвариантные поля щ,и2,щ. Ясно, что поля всюду линейно независимы. Можно показать, что структурные константы алгебры е(3) определяются таблицей [c.39]

Этот пример обобщается на движения по произвольной группе Ли (5, задаваемые левоинвариантным лагранжианом. Роль интеграла момента играют нётеровы интегралы (их число равно dim (5), отвечающие левоинвариантным полям симметрий. [c.72]

Здесь (со, х) —функция Лагранжа с - —структурные постоянные алгебры Ли 5 г>1,..., — базис левоинвариантных полей на соответствующей группе G. Полагая т, = d fdu),, введем две матрицы, L и А, с элементами Ьк, = А1 = J2 ka a. [c.106]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Пусть теперь М — группа Ли G и Wi,..., t — независимые левоинвариантные поля на G. В этом случае /y = onst. Предположим, что лагранжиан инвариантен относительно левых сдвигов на G. Тогда Vk L) 0 и, следовательно, L зависит [c.24]

Пусть г = llajjll Vi А = ajj . Левоинвариантному полю z zA отвечает оператор дифференцирования [c.151]

Предложение 2. Фазовый поток правоинвариантного (левоинвариантного) поля — семейство левых (правых) сдвигов на G. [c.163]

Действительно, как отмечено в 1, лево- и правоинвариантные поля на группе G получаются переносами одного и того же касательного вектора в единице с помощью левых и правых сдвигов. Следовательно, левоинвариантные поля в единице также имеют вид (5.3) и поэтому матрица их компонент w j будет единичной. Учитывая (1.2) и (5.3), получим [c.177]

Как уже отмечалось в гл. III ( 3), правые сдвиги включаются в фазовые потоки левоинвариантных полей. Левоинвариантные поля на группе SDiff М — это соленоидальные поля на М, удовлетворяющие уравнению Эйлера (6). Следовательно, по теореме Нетер уравнения геодезических на группе SDiff М допускают бесконечную серию линейных интегралов (8) w,v) = onst. [c.221]

В качестве базиса векторных полей (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. [c.37]

Вследствие того, что угловые скорости проектируются на одни и те же оси, связанные с оболочкой —61,62,63, которые для воображаемой сферы играют роль неподвижных осей (аналогичных неподвижным осям в пространстве для тела), векторные поля го1,го2,гоз — левоинвариантные, а С1,С2,Сз правоинвариантные. Поэтому их коммутаторы отличаются знаком ( ) [c.272]

Пусть — единичные векторы осей инерции, занумерованные так, что 61X62=63, . Пусть О], 1 г, из —левоинвариантные векторные поля на 50(3), которые являются прообразами векторов в, б2, Сз при изоморфизме / 5о(3) / (о . Ясно, что [c.26]

Пусть G — группа Ли с локальными координатами x= xi,..., ж ), Т х,х) — левоинвариантная метрика, wi,..., w — независимые правоинвариантные поля на группе G. [c.163]

Согласно предложению 2, фазовые потоки правоинвариантных векторных полей гих,..., ад — семейства левых сдвигов на С. Поскольку кинетическая энергия Т левоинвариантна, то уравнения движения допускают п нетеровых интегралов [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...