Функции Казимира

Кроме функций Казимира Fi,...,Fk, уравнения (9.11) имеют еще m = п - к)/2 полиномиальных интегралов Fk+i = Я, Fk+2, , Fk+m, причем функции Fi,..., Fk+m почти всюду независимы. Для почти всех вещественных i,..., Ск+т множество [c.116]

Система (9.16) имеет вид (9.11). Функции Fi и F2 являются функциями Казимира. Как установлено в работе [177], гамильтонова система (9.16) алгебраически вполне интегрируема. В частности, импульсы Ук и экспоненты Vk — мероморфные функции комплексного времени. [c.117]

Форма гироскопических сил Функции Казимира 111 [c.429]

Скобка Пуассона (4.16) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира [c.51]

Скобка (4.22) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира [c.53]

Скобка Ли-Пуассона (1.3) является вырожденной, она обладает двумя функциями Казимира, коммутирующими в структуре (1.3) с любой функцией от М, 7, [c.86]

Скобка (8.6) соответствует прямой сумме алгебр зо(2) е(2) и обладает двумя функциями Казимира [c.161]

Функции Fi и F2, которые называются интегралами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, являются функциями Казимира и фиксируют симплектический лист (в дальнейшем интеграл Fi, по аналогии с уравнениями Эйлера-Пуассона, мы называем интегралом площадей). Для интегрируемости возникающей на листе гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) не хватает еще одного дополнительного интеграла (это следует также из теории последнего множителя — вследствие наличия стандартной инвариантной меры). В общем случае уравнения Кирхгофа не являются интегрируемыми. Их неинтегрируемость и стохастичность обсуждается, например, в [31]. [c.165]

Функции Казимира структуры (2.1) следующие [c.180]

Гамильтониан (2.8), (2.9) зависит от 21 параметра. Существует три типа простейших преобразований, которые изменяют (в частности, исключают) параметры в гамильтониане без изменения уравнений движения. К первому типу относятся групповые преобразования 30(3) х 30(3). С их помощью в представлении (2.9) матрицы А и С могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Добавление к гамильтониану произвольной линейной комбинации функций Казимира Рг,Р2, которые являются однородными квадратичными функциями, позволяет исключить еще два параметра. Умножение гамильтониана на произвольную константу Н аН с заменой времени t 1, также позволяет уменьшить число параметров на единицу. Таким образом, квадратичное семейство гамильтонианов (2.8) либо (2.9)) определяется двенадцатью параметрами. [c.181]

Исключая из гамильтониана (указанного в таблице 3.2) бесконечное (при ж 0) слагаемое, пропорциональное функции Казимира по правилу [c.191]

Пуассонова структура (4.11), соответствующая алгебре обладает функциями Казимира [c.213]

С точностью до функций Казимира их можно представить в явном виде [c.214]

Коммутационные соотношения для образующих (1.16) соответствуют алгебре е(3) (см. 3 гл. 1). Ее функции Казимира имеют вид [c.227]

Кроме того, поскольку структура гамильтониана (1.21) не изменилась — в числителе последнего слагаемого стоит функция Казимира, которая эквивалентна константе, можно заключить, что гамильтониан (1.20) определяет общий случай интегрируемости на нелинейной скобке (1.11). Для того чтобы получить интеграл на произвольном листе, переопределим константы [c.229]

Эта система, имеющая одну степень свободы, легко сводится к квадратурам. Действительно, на уровне функций Казимира и интеграла энергии Н = Ь получаем [c.234]

Исключая а г из совместного уравнения для энергии (2.8) и функции Казимира Рг [c.234]

Скобка (3.1) является вырожденной и имеет две функции Казимира [c.282]

Скобка (7.3) имеет две квадратичные функции Казимира [c.298]

Согласно (7.14) М не зависит от д, а для 7 при помощи уравнений (7.14) и функций Казимира (7.4) находим [c.302]

Действительно, гамильтониан в этом случае остается прежним (8.25), при этом функции Казимира задаются уравнениями (8.14), а аналог интеграла Ковалевской имеет вид [c.312]

Случай Чаплыгина (I). Рассмотрим явное интегрирование в частном случае Чаплыгина на пучке скобок (8.13) при нулевой постоянной площадей. Примем следующие обозначения функций Казимира [c.315]

Постоянные функций Казимира определены формулой (8.36). На во(4) интегрирование приведено в [21], в общем случае — в [34, 197]. При введении переменных [c.316]

В результате получается гамильтонова система, определенная скобкой е(3), нулевым уровнем функции Казимира (М,7) = О и гамильтонианом [c.326]

Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst > 0. [c.111]

Б такой окрестности можно ввести координаты р1, с, так, что р и д имеют обычные симплектические скобки Пуассона, а скобки Пуассона каждой из функций со всеми функциями тождественно равны 0. В физике координатыр , дг называются переменными Клебша, а функции С — функциями Казимира (Клебш ввел свои переменные для гамильтонова описания гидродинамики идеальной жидкости, а Казимир рассматривал центр алгебры Ли функций на дуальном пространстве исходной алгебры Ли). [c.424]

В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности, (т. е. для любой функции F x) ф onst существует G ф onst, i", G ф 0), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В наших рассмотрениях пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира Fk x), коммутирующими со всеми переменными Xi и, стало быть, с любыми функциями — G x) на М Fk,G = 0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами. [c.29]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Поскольку произвольной линейной комбинации функций Казимира aFi + 3F2 соответствует нулевое векторное поле, ее можно добавлять к гамильтониану, что не влечет за собой изменение уравнений движения. Это позволяет уменьшить число параметров в гамильтониане на два. В частности, условия В = АЕ и В = О (а также С = АЕ и С = 0), где А = onst, — [c.165]

Этот гамильтониан соответствует случаю Клебша (см. далее) при дополнительном условии М, 7) = О, то есть зафиксирован нулевой уровень функции Казимира F2 (1.3). Отмеченная аналогия между движением точки по сфере и движением твердого тела сохраняется и в п-мерной ситуации (см. [195]). Связь задачи Неймана и случая Клебша с автомодельными решениями уравнений Ландау-Лифшица рассматриваются в 6 гл. 5. [c.167]

Таким образом, линейная комбинация четырех интегралов (2.17) на каждой поверхности уровня функций Казимира задает пятипараметрическое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов три параметра — разности — А , два параметра — коэффициенты линейной комбинации, после исключения функций Казимира). Гамильтониан случая Шотки-Манакова входит в семейство (2.17). [c.190]

Общий случай интегрируемости, найденный М. Адлером и П. ван Мёрбеке [185], до сих пор является в динамике твердого тела наиболее сложным и наименее изученным. Он не имеет аналогов для уравнений Кирхгофа, а при ретракции гамильтониан вырождается в функцию Казимира алгебры е(3). [c.195]

Руководящей идеей далее является использование этого набора интегралов, как правило избыточного, в качестве новых переменных для первоначальной системы. Если алгебра новых переменных относительно скобок Пуассона является замкнутой (но, вообще говоря, нелинейной) и гамильтониан выражается только через эти переменные, то мы получаем новую гамильтонову систему, для которой циклический интеграл (1.1) является функцией Казимира, ранг скобок Пуассона падает на две единицы, т. е. система является приведенной. Преимущества описанной процедуры редукции, сохраняющей алгебраичность системы и ее различные динамические приложения рассматриваются в нашей книге [31]. Здесь мы только остановимся на ее использование в динамике твердого тела в трех различных вариантах, описываемых приведенными ниже теоремами. [c.222]

Общие уровни функций Казимира Fi = i,F2 = 2, j = onst представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство L, тг, Л, Ао) на орбиты коприсоединенного представления группы -Б (4). [c.282]

Для уравнений (18) гамипьтоновость докозана пока лишь при к = . Функции Гу =(М.М), =(у,у) являются функциями Казимира для скобки (21). При редукции но поверхности уровня этих функций вырожденная структура (21) становится невырожденной и уровнения движения смогут быть записаны в обычной гомильтоновой форме [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...