Линейные нормальные формы

Приведение к линейной нормальной форме. Из предыдущей теоремы немедленно получается [c.71]

В гамильтоновом случае картина сложнее. Первая трудность привести гамильтоново поле к линейной нормальной форме канонической заменой переменных, вообще говоря, невозможно. А именно, обычно можно убить кубическую часть функции Га- [c.351]

Линейные нормальные формы [c.77]

Арифметические условия на А, в теореме Зигеля можно ослабить [18 31]. Аналитические и геометрические теоремы о расходимости формальных замен, приводящих аналитический диффеоморфизм к линейной нормальной форме, в случае патологической близости набора Я счетному числу резонансов [34 6] аналогичны сформулированным в 1 главы 4 теоремам [c.105]

Линейные нормальные формы. Область Пуанкаре для [c.109]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Пример 2.18. Получение нормальной формы линейной системы в случае цилиндрической прецессии на круговой орбите (см. пример 2.4). [c.126]

Пусть возмущенное движение определяется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что эти уравнения приведены к нормальной форме [c.142]

Найдем вещественное линейное унивалентное каноническое преобразование Xj yj j = 1, 2,..., 2n), приводящее систему (30) к ее нормальной форме [c.396]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Соотношения (2) и (3) позволяют, в силу определения (1), прочитать законы преобразования для производных от / (х, dx), чем, впрочем, нам не придется пользоваться в дальнейшем. Из инвариантов (3) можно посредством линейной комбинации получить нормальную форму р-й вариации , которая для р = 1 имеется у Лагранжа, а для р = 2 — у Римана эта форма характеризуется тем, что исключаются смешанные дифференциалы (р + 1)-го порядка d 6, d д ,... Для этой формы получаем [c.606]

Ниже показывается использование фазовой плоскости применительно к нормальной форме ) линейной однородной системы дифференциальных уравнений свободных линейных колебаний системы с одной степенью свободы [c.75]

Теперь не представляет труда с помощью метода нормальных форм колебаний учесть линейное демпфирование. Например если требуется заменить на ( 1 -f it]) в уравнении движения, то при этом ничего в процессе решения не изменится и модуль Юнга можно заменить на его комплексный аналог на любом этапе решения, и решение (1.31) примет вид [c.27]

В случае простых элементарных делителей нормальная форма Яг задается соотношением (173), а нормализующая матрица N определяется формулой (172), где ю, == Юг = (о, причем в качестве векторов at = Ri + iSi, а — R2 + iSi в матрице (172) можно взять любые два линейно независимых столбца комплексной матрицы [c.231]

Приведение к нормальной форме можно осуществить последовательно, начиная с линейной части. После упрощения линейной части приступают к упрощению членов второго порядка, затем упрощают члены третьего порядка и так далее вплоть до заданного. [c.196]

Ремонт скользящих линейных контактов реверсора. Неподвижный пальцевый силовой контакт 3 (рис. 281) с изношенной наполовину по толщине рабочей поверхностью, а также потерявший упругость из-за сильного перегрева, заменяют. При этом гибкую часть контакта используют вторично. Если нет запасного контакта, поверхность трения можно восстановить припайкой медной или металлокерамической накладки, а жесткость (упругость) контакта— присоединением к нему на заклепках пластины толщиной 1—1,5 мм из пружинной стали. Контактную поверхность обрабатывают по шаблону. Блокировочный пальцевый контакт 6 с изношенной наполовину толщиной заменяют. Нормальную форму изношенной контактной поверхности восстанавливают обработкой на наждачном камне с последующей полировкой. [c.351]

Точное определение перемещений масс упругой системы значительно усложняется тем обстоятельством, что частота при передвижении крана является переменной величиной, зависящей от V и I, которые изменяются в весьма широком диапазоне. Кроме того, равенство со = р (частота р при этом может относиться к любой из нормальных форм колебаний) сохраняется непродолжительное время, при этом максимальные амплитуды получаются не в момент совпадения частот, а несколько позже и нарастают по линейному закону [17]. [c.329]

Формальные замены, приводящие ростки аналитическнз векторных полей с нерезонансной линейной частью к линейной нормальной форме, называются в этом параграфе нормализующими рядами при их вычислении приходится делить на выражения iX,k)—kj, где /= ( ,/) fe =SA< 2, /е 1,rt эти выражения обращаются в О для резонансных наборов. Для нерезонансного набора X множество чисел (Я,, A)—Xj k, i) J имеет предельную точку нуль, если в только если X принадлежит области Зигеля. Числа из этого множества и называются малыми знаменателями их, появление затрудняет сходимость нормализующих рядов. [c.78]

Линейные нормальные формы. В этом пункте обсуждается аналитическая, тладкая и топологическая эквивалентность ростка диффеоморфизма в неподвижной точке своей линейной части. [c.104]

Теорема Пуанкаре. Периодическое дифференциальное уравнение, спектр линейной части которого лежит в области Пуанкаре и не резонансен, приводится в окрестности нулевого решения к автономной линейной нормальной форме х=Ах би-голоморфным 2я-периоднческим по Ь преобразованием. [c.109]

Расходимость рядов, приводящих аналитическое дифференциальное уравнение к линейной нормальной форме в особой точке. Фуикц. анализ н его прнл., 1979, 13, вып. 3, 87—88 [c.143]

Сл5 чай, когда все вещественные части положительны, можно получить, заменив знак у t. Однако условие для знаков вещественных частей собственных значений нельзя использовать для рекуррентного определения степенных рядов (pi,. .., и можно иснользовать только для доказательства сходимости этих рядов. Спрашивается, всегда ли можно получить линейную нормальную форму (13) с помощью аналитического нреобразования, если все собственные значения различны и условия (8) удовлетворены с ш вместо р. Для исследования этого вопроса нужно привлечь те же идеи, что и в первых двух параграфах этой главы, посвященных теоретико-функциональной проблеме центра. Вместо делителей Л" — Л (п = 2, 3,. ..) теперь войдут выражения [c.266]

Изложим алгоритм нормализации линейной системы (2.92), следуя работам [9, 18, 19]. Введем обозначение у = (у, . ... Уп, у + ь. ... УгпУ- Тогда, учитывая (2.93), получим, что нормальная форма линей- [c.125]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

В этой главе будет продолжено рассмотрение методов исследования устойчивости двця ения линейных автономных систем. 15 нормальной форме дифференциальные уравнения нонмущенного движения имеют вид (см. уравнения (1.14)) [c.124]

Нормальная форма в случае унипотентной жордановой клетки. Росток диффеоморфизма в неподвижной точке на плоскости с унипотентной линейной частью может быть реализован как преобразование монодромии периодического дифференциального уравнения с нильпотентной линейной частью [c.56]

Предположим, что характеристические показатели i Tk при = О таковы, что все величины аи (/с = 1, 2,..., п) различны. Тогда, согласно п. 189, при = О систему (3) при помощи линейной вещественной канонической замены переменных можно привести к нормальной форме. В новых переменных функция приведется к форме (21) и [c.552]

ЛИЯ ИСКОМОГО решения в виде суммы конечного числа членов бесконечных рядов [1.14—1.18]. Этот метод отличается от метода нормальных форм тем, что он применяется для как бы дискретных моделей, для которых уравнения движения также лриближенны, или, точнее, физическая модель конструкции приближенно представляется в виде конечной системы масс и жесткостей, описываемых чаще линейными алгебраическими уравнениями по пространственным координатам, а не дифференциальными уравнениями. Метод нахождения решения в виде бесконечных рядов в основном аналогичен прямому методу. Решение однородного уравнения движения соответствует F x,t) = = 0. Так же, как и в прямом методе, решение представляется в форме w x,t) = A x Kx/LШ) и отыскиваются значения Я, при которых А Фа (т. е. существуют нетривиальные реше-лия). Это может иметь место только при выполнении соотношения [c.24]

Возможны и другие методы решения задачи о вынужденных колебаниях с произвольно распределенным вязким или гисте-резисным демпфированием. Было показано, например, что для этих случаев можно получить несвязанные уравнения движения линейных систем, если использовать комплексные функции демпфированных нормальных форм колебаний и комплексные собственные значения. Однако эти демпфированные нормальные формы не совпадают с классическими нормальными формами колебаний системы, обсуждавшейся здесь, и определять их оказывается непросто [4.5, 4.6]. [c.180]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Это как раз нормальная форма ультраэллиптических интегралов 1-го рода и известное решение этой системы диф. уравнений как раз таково, что каждая симметрическая функция 51 и 82 есть рациональная функция от в п1, И2), где щ и П2 — линейные функции времени. [c.33]

Папомним следующее определение. Говорят, что система (23) записана в нормальной форме Пуанкаре, если exlp Dt)w y) = w exlp Dt)y) (см., например, [10]). Таким образом мы можем использовать следующую конструкцию. После следующего линейного неавтономного обратимого преобразования у = ехр( ) )г система (23) принимает вид [c.99]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

Преобразование гамильтониана к более простой форме называют нормализацией. Нормальные формы в окрестности особых точек подробно исследовал Дж. Бирхгоф [16, 227]. Произведем линейное КП х, р х, р , диагонализирующее форму ктпРтХп- Выберем производящую функцию в виде [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...