Уравнения равновесия в зависимости от перемещений

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [c.225]

Уравнения равновесия в зависимости от перемещений. [c.225]

Для определения этих напряжений мы воспользуемся уравнениями равновесия в зависимости от перемещений и, V "и) (см. параграф 63), Заметив, что деформации и зависят не только от напряжений, [c.230]

Один из способов решения задач теории упругости состоят в исключении составляющих напряжения из уравнений [116] и [117], на основании закона Гука, и в выражении составляющих деформации в зависимости от перемещений по формулам [2]. Таким образом мы приходим к трем уравнениям равновесия, содержащим только три неизвестные функции щ V т. [c.225]

Входящий в полученные выражения для проекций аэродинамической силы qi, коэффициент Сь(аа) зависит от угла атаки и формы сечения стержня. Как уже указывалось выше, зависимость от угла Ga можно получить только экспериментально. Экспериментально полученные графики, устанавливающие зависимость аэродинамических коэффициентов с ,, l и Ст для ряда сечений, приведены в 6.3. При численном решении уравнений равновесия стержней, нагруженных аэродинамическими силами, достаточно иметь числовые значения в зависимости от аа, что и получают при обработке экспериментальных данных. Для стержня, который под действием аэродинамических сил и моментов деформируется, угол атаки аа=аао+ааь где аао — начальный (известный) угол атаки о.а — дополнительный угол атаки, вызванный деформацией стержня, который определяется из решения уравнений равновесия стержня в потоке. Выражение для угла Oai при малых перемещениях точек осевой линии стержня и малых углах поворота связанных осей выводится дальше [см. соотношение (6.85)]. [c.251]

Как уже указывалось, уравнения равновесия элемента оболочки (5.59) после подстановки сил и моментов, выраженных через деформации и параметры изменения кривизны, и замены последних их значениями по (5.33) представляют собой систему трех уравнений в частных производных относительно компонентов перемещения и, V, W. Выписывать эту громоздкую систему в общем виде нецелесообразно. Представим однако структуру этой системи. В нее входят силы, которые определяются в зависимости от дефор- [c.257]

Далее рассмотрим, какого рода уравнения могут быть получены из принципа виртуальной работы, если принять, что этот вариационный принцип справедлив для произвольного допустимого перемещения. Проводя все рассуждения в обратном порядке, можно получить (1.28) из уравнения (1.32). Поскольку бы, 6v, 6w произвольны в V и на Sj, требуется, чтобы все коэффициенты в (1.28) были равны нулю. Отсюда мы получаем уравнения (1.26) и (1.27). Таким образом, принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия в V н граничным условиям в напряжениях на Si- Стоит отметить, что принцип виртуальной работы выполняется безотносительно к конкретному выбору зависимостей напряжений от деформаций. [c.31]

Выбирая некоторым специальным образом усилия, моменты и перемещения внутри элемента и при определенном задании граничных перемещений, можно добиться удовлетворения уравнений равновесия точно или прибли енно. В зависимости от этого мы можем определять разные гибридные модели. Следуя Вольфу 2l], введем классификацию этих моделей на равновесную, стандартную гибридную, альтернативную гибридную и расширенную гибридную модель (табл.3.1). [c.217]

В упомянутых решениях предполагалась малость упругих перемещений, благодаря чему уравнения задачи оказались линейными. Соответственно этому задача могла быть поставлена единственным образом определить, при какой наименьшей скорости потока возможно возрастание размахов колебаний такая скорость называется критической скоростью флаттера. Иными словами, задача сводилась к исследованию структуры фазового пространства в малой окрестности положения равновесия, т. е. к оценке устойчивости этого положения в зависимости от скорости потока. [c.104]

При формулировке условия равновесия в вариациях (1.29) не делалось никаких предположений о законах деформирования тела и характере зависимости внешних сил от перемещений. Поэтому уравнение (1.29) справедливо для любого сплошного тела, нагруженного системой [c.22]

Уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформации и перемещения и аналогичные тем, что выведены в главе 6 для произвольной оболочки, не ограничиваются случаем упругого материала и могут быть применены ко всем материалам при различных условиях их работы. Частично, кроме упоминавшихся вопросов общности, в оставшейся части этой главы будут обсуждены некоторые аспекты более общих зависимостей напряжений от деформаций, такие, как близко связанные с этими вопросами теории разрушений, коэффициенты запаса и т. п., что лежит в основе всех расчетов. [c.28]

Вне зависимости от реологических свойств сплошной среды кинематические параметры (скорости деформаций Уч или обобщенные скорости деформаций, их выражения через перемещения) должны быть энергетически согласованы с силовыми факторами (напряжениями т - или обобщенными напряжениями и формой их связи в уравнениях равновесия или движения). Это означает, что для любой приближенной модели, так же как и для общей, должны быть выполнены баланс механической мощности и вариационное равенство, соответствующее принципу виртуальных скоростей (массовые внешние силы опущены) [c.34]

Далее приводится вывод уравнений равновесия для непологой трехслойной оболочки вращения средней толщины. Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа-Лява, в заполнителе учитывается работа поперечного сдвига и обжатие по толщине. Для него справедливы точные соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией зависимости перемещений его точек от поперечной координаты. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Деформации малые. [c.460]

Определим энергию деформации и дополнительную энер -ию для данной конструкции, Для того чтобы сделать это, сначала нужно установить зависимость силы Р от перемещения Ь. Эту зависимость можно найти из выражений для возникающих в стержнях усилий и удлинений стержней. Так, из уравнений равновесия получаем растягивающее усилие N в каждом стержне [c.488]

Во-первых, при решении задач, для которых перемещения нельзя считать малыми по сравнению с некоторыми размерами исследуемого тела, ряд авторов предпочитает принимать за независимые переменные координаты материальной точки тела в его первоначальном недеформированном состоянии. Так, например, одни из них преобразуют уравнения равновесия элементарного объема путем замены переменных, переходя от координат тела в его напряженно-деформированном состоянии к координатам исходного состояния тела. Другие при этом уточняют и выводы геометрических зависимостей, т. е. уравнений сплошности, отбрасывая допущения в том, что перемещения малы по сравнению с размерами рассматриваемого тела, а их производные по координатам малы по сравнению с единицей. Таким образом получают уточненную систему основных уравнений теории упругости, относительно громоздкую по написанию, но зато свободную от обычно свойственной ей неувязки. [c.204]

Плоское напряженное состояние. При плоском напряженном состоянии в плоскости, параллельной ху, компоненты напряжения х ,, равны нулю, однако компоненты и, V, хю вектора перемещения в общем случае не являются не зависимыми от ъ. Поэтому отсюда следует, что уравнения равновесия принимают вид (25.2) и (25.3), и соотношения между напряжениями и деформациями сводятся к следующей системе [c.76]

Совместное решение этих трех групп уравнений позволяет определить все реакции связей, т. е. раскрыть статическую неопределимость. Поскольку при установлении реакций связей используются перемещения системы, можно утверждать, что они будут зависимыми от способности к деформированию отдельных частей механической системы. Следовательно, статически неопределимой можно назвать систему, реакции связей которой зависят от деформаций. С примерами таких систем мы уже знакомы. Так, при определении законов распределения напряжений (внутренних сил) по поперечному сечению при растяжении, кручении, чистом изгибе сначала записывали уравнения равновесия (связь напряжений с внутренними силовыми факторами, которые определены через внешние силы), затем — с использованием гипотезы плоских сечений связь между деформациями в различных точках сечения и дополняли полученную систему уравнений физическими законами. [c.508]

Вместе с тем при деформировании стержня плечо силы Р относительно точки О будет зависимым от деформации стержня, т. е. при определении реакций в жесткой заделке необходимо учитывать возникающие перемещения. Задача с использованием уравнений статического равновесия не решается. Она является статически неопределимой. [c.508]

Следует отметить, что перед потерей устойчивости оболочки происходит значительное искривление ее образующей в зоне образования вмятин. Зависимость отношения докритического перемещения Шо при х=0 к толщине оболочки Л от относительной длины Z (при У = 0,3) приведена на рис. 9.73 (кривая 2). Пренебрежение величиной таких значительных искривлений в уравнениях равновесия (9.24) должно привести к заметной погрешности определения критического перепада температуры 0. [c.248]

Применение линейной теории оболочек ограничивается областью случаев, в которых, во-первых, переход от нелинейных уравнений равновесия, полученных с учетом деформации элемента-оболочки, к линейным, относящимся к недеформированному элементу, не влечет за собой недопустимых погрешностей во-вторых, линеаризация зависимостей между перемещениями и параметрами деформации не приводит к недозволенной потере точности в-третьих справедлив закон Гука для материала. [c.12]

Процесс переноса конечных параметров вектора V на вектор X основан на следующем. Векторы X, V любой линейной системы при граничном значении переменной х = I будут содержать 3 группы граничных параметров. Первая группа - это нулевые граничные параметры, что определяется заданными условиями опирания (краевыми условиями). Вторая группа - это зависимые параметры, связь между которыми выражается уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов линейной системы. Третья группа граничных параметров векторов X, V никак не связаны между собой. Эти параметры условно могут быть названы независимыми. Перенос параметров из V в X должен компенсироваться соответствующими ненулевыми элементами матрицы А, иначе нарушится исходное уравнение (1.32) при х = I. Очевидно, что независимые параметры V должны быть перенесены на место нулевых параметров вектора X, а зависимые параметры переносятся в соответствии с уравнениями их связи. Перед операцией переноса параметров необходимо освободить поля матрицы А от элементов, связанных с нулевыми параметрами вектора X. Выполняется это путем обнуления столбцов матрицы А, номера которых равны номерам строк нулевых параметров вектора X. Далее в матрицу А вводятся ненулевые компенсирующие элементы и преобразования по схеме (1.38) завершены. Правило для определения величины и положения компенсирующих элементов при переносе параметров включает 3 случая. [c.24]

Перейдем к доказательству теоремы А. А. Ильюшина о простом нагружении. Допустим, что для какого-либо определенного значения параметра р, например, для р = 1, пластическая задача решена. Обозначим напряжения, деформации и перемещения, полученные в решении, через а /, е /, щ. Очевидно, что компоненты напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.4) и условиям на поверхности (1.2), а компоненты деформаций — условиям совместности деформаций (2.4). Также удовлетворяются зависимости компонентов деформации от компонентов перемещения (2.3) и зависимости компонентов девиатора деформации от компонентов девиатора напряжения (4.30). На основании соотношения (4.39) имеем [c.66]

При линейных колебаниях вблизи состояний равновесия перемещения считаются столь малыми, что сохраняется линейная зависимость их от действующих на систему и (или) возникающих в ней сил. Вследствие линейности дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания, сами системы, пребывающие в состоянии таких колебаний, называют линейными. [c.84]

Связь между нагрузками и перемещениями точек детали. Приведенные выше уравнения совместности перемещений и равновесия одинаковы для точного и приближенного решений. Достигаемая же в результате расчета точность решения задачи определяется, как правило, классом расчетной модели детали, т. е. принятыми в расчете зависимостями перемещений точек модели от действующих на нее сил. [c.73]

Обобщенные позиционные силы - это силы, зависящие от положения точек системы, т.е. от обобщенных координат. Особое значение здесь имеют восстанавливающие силы, которые возникают при отклонении системы от положения равновесия. Эти силы обусловливают способность системы совершать свободные колебания. Основным типом восстанавливающих сил являются силы упругости. В простейшем случае линейно деформируемой системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна отклонению системы. Свойства упругих связей при этом определяются коэффициентом жесткости, который представляет собой обобщенную силу, способную вызвать обобщенное единичное перемещение. Возможны случаи, когда между силой и отклонением существует нелинейная зависимость. При этом упругие свойства связей невозможно определить одним коэффициентом и приходится использовать так называемую упругую характеристику, уравнение которой Р=Р(х) иллюстрируется графиком в координатах х, Р. Упругая характеристика строится расчетным путём или экспериментально. [c.7]

Уравнения равновесия в зависимости от перемещений. До сих пор иы пользовались днффереициальнымн уравиеинями равновесия, выраженными в зависимости от напряжений. При помощи закона Гука (см. выражения [11], стр. 23), эти же уравнения можно выразить в функциях от перемещений. При плоской деформации имеем [c.183]

Для решения частных задач в большинстве случаев избран путь опре-,1еления непосредственно напряжений при помощи уравнений совместности, выраженных в зависимости от составляющих напряжения. Такой ход решения более обычен для инженеров, интересующихся главным образом величиной напряжений. Кроме того, при введении соответственно подобранных функций напряжений, он часто оказывается более простым, чем использонание уравнений равновесия, выраженных в зависимости от перемещений. [c.4]

При расчете клеевого соединения с применение.м безмоментной теории тонкостенных оболочек некоторые отличия от разобранной выше методики представляют условия равновесия элемента втулки и неразрывности перемещений в радиальном направлении, ввиду отсутствия изгибающих моментов и перерезывающих сил. В этом случае исходная система эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка, а расчетные формулы в зависимости от характера приложения внеш них на Ррузок имеют следующий вид а) для трубного соединения [3] [c.26]

Изложенный метод приближенного решения уравнения равновесия с использованием принципа возможных перемещений потребовал сведения системы уравнений равновесия первого порядка к одному уравнению четвертого порядка, что приводит к громоздким промежуточным преобразованиям, особенно для стержней переменного сечения и при нелинейной зависимости приращений сил Aq, Ар, ДРг, АТ от перемещения точек осевой линии и или от угла в з- Например, для стержня переменного сечения (см. рис. 4.10) (стержень нагружен дополнительной осевой силой Pi = Pioii, поэтому Qio=Pio4 0) получаем следующую систему четырех уравнений равновесия при следящих силах [c.173]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Возможен случай, когда механическая система является системой с распределенными пара,метрами. К тако.му случаю относятся задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений. К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел, расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями, и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель рассмотрена в работе [181. [c.340]

С учетом этих предварительных замечаний анализ полумоно-коковой конструкции с использованием метода матрицы жесткости проводится следующим образом прежде всего от координат, связанных с элементами, переходят к абсолютным координатам для того, чтобы выразить матрицы жесткости в абсолютных координатах. Затем с использованием этих матриц условия равновесия всех узлов выражаются через компоненты перемещений узлов. Поскольку в силу линейной зависимости перемещений узлов условия непрерывности перемещений смежных элементов выполняются, полученные таким образом уравнения равновесия эквивалентны уравнениям, полученным из принципа минимума потенциальной энергии. Решая эти уравнения, определяют перемещения всех узлов. Тогда можно вычислить напряжения [c.310]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

К малому провисанию / иити в точке приложения к ней силы Р удлинение нити является величиной второго порядка малости. Для определения усилий в таких системах в принципе необходимо рассматривать равновесие в де рмированном их состоянии. Задача становится геометрически нелинейной. Поэтому совершенно очевидно, что говорить о линейности зависимости перемещения / течки приложения силы или удлинения 26 нити от силы Р недопустимо. В связи с геометрической нелинейностью системы она статически неопределима и наряду с уравнением равновесия приходится использовать уравнение совместности деформаций. Зависимость Р от f имеет вид [c.573]

Если конструкция статически определима, то осевые силы могут быть найдены из уравнений равновесия без рассмотрения свойств материала. Затем, зная силы, можно вычислить напряжения в каждой точке конструкции. И наконец, используя диаграмму зависимости напряжения от деформации, можно получить деформации в каждой точке и соответственно изменение. длины каждой части конструкции и результирующие перемещения. Такая процедура исследования статически определимой системы вполне ясна и проил--люстрирована задачами 1.8.1—1.8.5. [c.37]

В данном примере были умышленно описаны все шаги решения, чтобы показать основные положения метода перемещений при использовании первой теоремы Кастилиано, несмотря на то, что конструкция является очень простой и было бы гораздо проще исследовать ее как статически определимую конструкцию. При использовании метода перемещений требуется решить систему из двух уравнений, поскольку ферма дважды кинематически неопределима. Однако, поскольку конструкция статически определима, ее можно рассчитать следующим образом 1) из уравнений равновесия найти усилия в стержнях 2) подсчитать возникающие в стержнях напряжения, разделив усилия на площади поперечных сечений 3) используя зависимость напряжения от деформации, вычислить деформации в стержнях 4) зная деформации, определить удлинения стержней 5) построить диаграмму Виллио (см. разд. 1.5) и по ней найти перемещения ОхК узле В. [c.497]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Повторное пластическое течение при разгрузке. Полученное решение задачи о разгрузочном состоянии нельзя считать окончательным. Связано это с тем, что при значительном уровне накопленных материалом необратимых деформаций (Ло > г Го) напряженное состояние в процессе разгрузки может снова достигать поверхности нагружения. В рассматриваемом случае это связано с выполнение равенства (Тдд — = 2к при г = Го- Если данное условие может выполняться, то полученное решение задачи о полной разгрузке оказывается несправедливым, поскольку, начиная с момента выполняемости отмеченного условия, при дальнейшем уменьшении внешнего давления от границы цилиндрической полости распространяется зона повторного пластического течения, вызванного теперь уже растягивающими напряжениями. Теперь следует интегрировать уравнение равновесия (квазистатическое приближение) в трех областях в зоне повторного пластического течения г о г < Г2, в зоне с накопленными и изменяющимися пластическими деформациями Г2 г < Г1 и в упругой области Г1 г Яо- При этом перемещения в упругой области вычисляются зависимостью (1-21), в области с изменяющимися необратимы- [c.82]

Следует прямо сказать, что более чем столетние попытки доказать выводы термодинамики в рамках теоретической физики исходя из уравнений динамики не привели к значительным успехам. Но никто не сомневался, что этот термодинамический принцип работает сам по себе, вне зависимости от возможности редукционистских объяснений. Наличие двух уровней описания системы ставит проблему выделения некоторых параметров — может быть совершенно неочевидных, — равенство которых является условием равновесия, интуитивно понимаемого как отсутствие значимых потоков между отдельными частями системы. Если макропараметры функционально связаны между собой, а получающая из этой взаимосвязи поверхность уравнения состояния дифференцируема, то возникающая линейная зависимость между дифференциалами макропараметров дает пфаффовы уравнения термодинамики. Как мы уже отмечали выше, идея термодинамического равновесия вполне годится и для описания экономических систем, которые, так же как и физические макросистемы, имеют два уровня описания и очевидно наблюдаемые потоки перемещения денег, товаров и людей. И описание это должно быть вполне эквивалентно термодинамическому описанию физических систем, но при этом параметры равновесия — температура, давление, химический потенциал — приобретут, конечно, совершенно иные интерпретации, связанные именно со спецификой описания экономических систем. [c.39]

Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около полонсения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения. [c.439]

Определить зависимость пертсода малых колебаний диска около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие трегьго степень перемещения. [c.439]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...