Кастилиано первая теорема

Итак, что же мы имеем Мы вывели две родственные теоремы теорему Кастилиано — производная от энергии по силе равна перемещению — и теорему Лагранжа — производная от энергии по перемещению равна силе. Но первая теорема пригодна только для линейных систем, а вторая — как для линейных, так и для нелинейных. [c.85]

Во-первых, теорема Кастилиано, можно сказать, избыточно аналитична. Она требует при вычислении энергии удерживать буквенное выражение, по крайней мере, той силы, по которой предстоит брать производную. А ведь нередки случаи, когда нагрузки задаются не в буквенном, а в численном виде. [c.92]

Полученный результат является математической формулировкой первой теоремы Кастильяно частная производная от потенциальной энергии деформации по любой внешней силе равна перемещению точки приложения силы в направлении ее действия. Теорема распространяется также и на случай нагружения моментом и позволяет найти угол поворота, т. е. можно получить [c.116]

Первая теорема Кастилиано [c.25]

Мы увидим, что первая теорема Кастилиано , выраженная соотношениями (20), имеет очень большое практическое значение. Надо заметить, что если мы будем исходить [c.25]

Теорема, взаимная с первой теоремой Кастилиано [c.26]

Уравнения (22) устанавливают теорему, взаимную с первой теоремой Кастилиано, и представляют собой частные производные от U по 81, 82,... Нужно заметить, что при нашем доказательстве мы предполагали, что упругая система под действием соответствующих сил Р,, Р ,. .., Р находится в равновесии, но не обращались к закону Гука. В действительности соотношения (22) просто устанавливают принцип виртуальных перемещений . [c.27]

Некоторые приложения теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано [c.52]

А по теореме взаимной с первой теоремой Кастилиано, приложенной силе растяжения, соответствующей удлинению фермы как целого = О и [c.57]

Приложение первой теоремы Кастилиано [c.57]

При решении предыдущих задач мы пользовались теоремой, взаимной с первой теоремой Кастилиано, очевидно, потому, что в них были заданы величины сил. Согласно этой [c.57]

В силу этого взаимная теорема хотя в теории и дает подходящий метод для решения любой статически неопределимой задачи в стиле тех, которые были разобраны выше, но удобна в своем применении только к фермам частного вида. С другой стороны, первая теорема Кастилиано дает простой и непосредственный способ вычисления перемещений в фермах, когда усилия в составляющих ее стержнях статически определимы. [c.58]

Теперь рассмотрим некоторые другие приложения первой теоремы Кастилиано. Для этой цели нам придется использовать некоторые результаты относительно деформаций, вызываемых изгибающими усилиями. Эти результаты вытекают из исследований, которые приводятся несколько позже. В этом отношении мы поступаем здесь так же, как ( 38—39) при изучении действия сил растяжения и сжатия. [c.60]

Применение первой теоремы Кастилиано к задачам об изгибе прямых балок [c.64]

Для вычисления всей кривой прогиба мы можем применить этот же метод, основанный на первой теореме Кастилиано. [c.66]

Применение первой теоремы Кастилиано к задачам об изгибе первоначально искривленных балок [c.72]

В качестве последнего примера на применение первой теоремы Кастилиано к задачам, в которые входят изогнутые стержни, мы рассмотрим прямоугольную раму, показанную Рис. 24. на рис. 24. Три балки постоян- [c.94]

В заключение этой главы приведем доказательство (на основании первой теоремы Кастилиано) теоремы, высказанной Клапейроном ). Теорема относится к прямым балкам, покоящимся на трех и более опорах. Вообще, изгибающие моменты появляются во всех опорах, и если они все известны, [c.96]

Как и в 83 мы можем рассматривать тело с начальными напряжениями, подверженное действию внешних сил Р, Рц- как эквивалентное первоначально ненапряженному телу, находящемуся под действием Я,, Р ,... и одновременно под действием растягивающих сил Ти 7 . При этом следует наложить условие, что перемещения, соответствующие растягивающим силам, имеют величины Xj, Xg,..Рассматриваемые с этой точки зрения растягивающие силы являются внешними силами. Если U— полная упругая энергия, запасенная в теле, то, согласно первой теореме Кастилиано, [c.130]

Данное соотношение означает, что если энергия деформации выражена как функция от перемещений, то частная производная от энергии деформации по произвольному перемещению б г равняется соответствующей этому перемещению силе Это утверждение называется первой теоремой Кастилиано по имени итальянского инженера, который впервые доказал эту теорему и привел ее в своей известной книге, опубликованной в 1879 г. (см. [11.25—11.30]). [c.492]

Для иллюстрации первой теоремы Кастилиано обратимся к нелинейной, конструкции, описанной в примере 1 предыдущего раздела. Энергия деформации этой конструкции представляется выражением (11.45). Применяя к этому выражению первую теорему Кастилиано, получаем [c.492]

Из первой теоремы Кастилиано вытекает метод исследования нелинейных конструкций, основанный на использовании энергии деформаций. Метод строится на использовании в качестве неизвестных величин перемещений в узлах и соответствует тому факту, что если предполагается применять теорему Кастилиано, то энергию деформации необходимо выразить как функцию от перемещений. Для того чтобы пояснить этот метод, предположим, что имеется нелинейная конструкция с п неизвестными перемещениями ... . . ., Оп в узлах. Предположим также, что на конструкцию действуют только те нагрузки, которые соответствуют этим кинематическим неизвестным. Обозначим эти нагрузки через Р , Рт1 соответственно перемещениям Ои О ,. . Оп- Тогда, как уже говорилось выше, энергию деформации конструкции и можно выразить [c.493]

Пример 2. В качестве примера исследования линейного поведения конструкции при помощи первой теоремы Кастилиано и метода жесткостей рассмотрим ферму, изображенную на рис. 11.33, а. Предполагается, что все четыре стержня этой 4 мы изготовлены из одного и того же упругого материала с модулем упругости Ё. Каждый стержень имеет длину Ь и площадь поперечного сечения Р, угол р равен 30°. В узле Е фермы приложены силы и Р . [c.497]

Согласно первой теореме Кастилиано, получаем следующие два уравнения [c.500]

Данный пример хорошо подходит для использования метода энергии деформации и первой теоремы Кастилиано, поскольку нагрузка М(, соответствует одному из неизвестных перемещений в узлах. Единственной другой возможной нагрузкой на конструкцию мог бы быть изгибающий момент, соответствующий перемещению D , поскольку одним из требований, предъявляемых при использовании этого метода, является то, что каждой нагрузке должно соответствовать неизвестное перемещение в узле. [c.501]

Из первой теоремы Кастилиано известно, что р1-=д1//дВ1 и поэтому [c.503]

Первая теорема Кастильяно заключается в том, что [c.78]

Первая теорема Кастильяно [c.387]

Первая теорема Кастильяно гласит [c.97]

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

Решение. Воспользуемся теоремой Кастильяно. В Точке А прикладываем дополнительные силы Ру, Pfj, Рассматриваем только второй участок кривого стержня от сечения, где приложен Мр, до заделки, так как на первом участке кривого стержня М (<р) — 0. [c.326]

В настоящее время эти утверждения обычно называются соответственно первой и второй теоремами Кастилиано, а не частями 1 и 2 одной теоремы, После формулировки теорем Кастилиано доказывает их, а затем применяет к самым различным случаям. В его книге эти теоремы записаны в следующей форме [c.561]

Обычно же встречается ббльшее число неизвестных, и для нахождения их значений с помощью теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано, приходится решать системы п уравнений с п неизвестными перемещениями ). [c.58]

Эти уравнения можно получить или из (VIII) или с помощью теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано ( 18), из выражения (19). На самом деле, на рис. 78 можно видеть, что — Gjf, — Оу, — 2Н у ) являются силами , соответствующими перемещениям х у, и поэтому [c.307]

Первая теорема Кастилиано, см. Кастилнано первая теорема -- [c.669]

В данном примере были умышленно описаны все шаги решения, чтобы показать основные положения метода перемещений при использовании первой теоремы Кастилиано, несмотря на то, что конструкция является очень простой и было бы гораздо проще исследовать ее как статически определимую конструкцию. При использовании метода перемещений требуется решить систему из двух уравнений, поскольку ферма дважды кинематически неопределима. Однако, поскольку конструкция статически определима, ее можно рассчитать следующим образом 1) из уравнений равновесия найти усилия в стержнях 2) подсчитать возникающие в стержнях напряжения, разделив усилия на площади поперечных сечений 3) используя зависимость напряжения от деформации, вычислить деформации в стержнях 4) зная деформации, определить удлинения стержней 5) построить диаграмму Виллио (см. разд. 1.5) и по ней найти перемещения ОхК узле В. [c.497]

Теорема Кротти — Энгессера обнаруживает достопримечательное сходство с первой теоремой Кастилиано, что видно из сравнения соответствующих уравнений (см. уравнения (11.67) и (11.51)). В теореме Кротти — Энгессера дополнительная энергия выражается как функция от нагрузок, а соответствующие перемещения получаются дифференцированием по нагрузкам, в то время как, согласно первой теореме Кастилиано, энергия деформации выражается как функция от перемещений, а соответствующие нагрузки получаются дифференцированием по перемещениям. Обе теоремы являются весьма общими и могут применяться к конструкциям с нелинейным поведением ). [c.518]

Метод сил, которому соответствуют уравнения (11.69), аналогичен методу перемещений, которому соответствуют уравнения (11,52). В методе сил дополнительная энергия выражается как функция лишних статических неизвестных, а затем применяется теорема Кротти — Энгессера, в результате чего получаются уравнения совместности, из которых находятся лишние неизвестные, В методе перемещений энергия деформации выражается как функция неизвестных перемещений в узлах, а затем применяется первая теорема Кастилиано для получения уравнений равновесия, из которых можно определить перемещения. Оба метода могут применяться для расчета конструкций с нелинейным поведением. [c.526]

Кастилиано ве настаивал иа полной оригинальности первой теоремы, хотя в предисловии к своей книге утверждал, что его формулировка и доказательство цоснли более общий характер, чем опубликованные ранее. Вторая теорема принадлежала ему и являлась частью его дапломнОй работы 11,29]. [c.561]

Теорема и формула Лагранжа для дискретных систем (первая формула Коттерилла — Кастильяно). Выразим II через обобщенные перемещения и подставим это выражение в (15.61) [c.488]

Обозначим приложенный груз через Pj, а искомый прогиб (который является перемещением, соответсгвующим Р ) через 8 . По теореме Кастилиано, примененной к первому из соотношений (18), мы получим [c.64]

Кастильяно родился в Асти (Италия). Проработав несколько лет в качестве учителя, он поступил в 1870 г. в Туринский политехнический институт и, еще будучи студентом, выполнил там выдающееся исследование по теории сооружений. Представленная им в 1873 г. научная работа на соискание звания инженера этого политехникума содержит формулировку его знаменитой теоремы вместе с некоторыми приложениями ее в теории сооружений. В более подробном виде эта работа была опубликована Туринской Академией наук в 1875 г. ). Важность этого труда на первых порах не была оценена инженерами, и для того чтобы дать ему более широкую известность, Кастильяно издал его на французском языке ) вместе с полным доказательством своей теоремы и с многочисленными применениями. Преждевременная смерть Кастильяно положила конец дальнейшим успехам этого блестящего ученого. Но его теорема получила всеобщее признание в качестве одного из краеугольных камней теории сооружений. Многочисленные научные труды таких выдающихся инженеров, как Г. Мюллер-Бреслау в Германии и Камилло Гвиди в Италии, основывались на ней. [c.347]

Первая и вторая теоремы Кастилиано приводятся на стр. 15—16 издания 19о6 г, под названием Часть 1 и Часть 2 Теоремы дифференциальных коэффициентов внутоенней работы . Кастилиано с юрмулировал эти теоремы следующим образом. [c.561]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...