Волна расширения

Простейшим видом объемных волн являются плоские волны. Плоские волны делятся пъ продольные и поперечные (см. рис. 82). В продольной волне или волне расширения - сжатия частицы сжимаются и растягиваются, двигаясь вдоль распространения волны. В поперечных (сдвиговых) волнах, или волнах искажения частицы среды перемещаются поперек направления движения волны, испытывая только деформации сдвига. При этом искажается только их форма, но объем не меняется. Характерно, что скорости объемных [c.139]

Рис. 10.24. К взаимодействию волн расширения и косых скачков при обтекании ромбовидного профиля (а) и пластинки (б) 1 — волны Маха, 2 — отраженные волны Маха, 3 — присоединенная ударная волна, 4 — ударная

Рис. 10.25. К взаимодействию волн расширения и косых скачков при обтекании симметричного профиля, составленного из клина и криволинейных дужек. (Обозначения такие же, как на рис. 10.24)

При постоянном модуле упругости импульс напряжений может распространяться на значительное расстояние без изменения формы, изменение модуля упругости приводит к искажению импульса напряжений конечной амплитуды. Для большинства деформируемых тел уменьшается за пределом упругости и в материале при достаточно больших деформациях возникают пластические волны, распространяющиеся со скоростью, меньшей скорости распространения упругой волны. Однако существуют такие деформируемые тела (резины, полимерные материалы), в которых большие деформации приводят к ориентации длинных молекулярных цепочек, что вызывает возрастание модуля упругости . Поэтому при распространении возмущений в таких материалах зарождаются волны особой природы, называемые ударными волнами. В деформируемых телах ударные волны возникают и в том случае, когда распространяются волны расширения большой амплитуды. Как показано Бриджменом, зависимость между средней деформацией е и средним напряжением а в твердых телах может иметь вид е = (—аа + Ьо )/3, где а, Ь — постоянные величины. Модуль объемного сжатия К при малых давлениях стремится к постоянной 1/а, при высоких давлениях принимает значение 1/(а — 2Ьа) (т. е. при высоких давлениях К растет). Упругие волны расширения распространяются со скоростью а , но модуль К при высоких давлениях возрастает, это приводит к тому, что скорость волны большой амплитуды больше скорости волны малой амплитуды. В результате образуется ступенчатый фронт, характерный для ударной волны. Модуль сдвига G в этом случае играет незначительную роль, так как задолго до достижения достаточно высокого давления предел текучести будет пройден и материал ведет себя подобно жидкости. [c.38]

Покажем теперь, что при отражении прямой волны напряжений возникают отраженные волна расширения и волна сдвига. Для простоты рассуждений условимся считать прямую волну плоской волной расширения, направление распространения которой в плоскости хОу составляет угол 1 с осью Ох свободной границей является плоскость уОг (рис. 31). Рассмотрим простую гармоническую волну, в которой перемещение перпендикулярно фронту волны [c.73]

Пусть отраженная волна расширения составляет угол с осью Ох и ее перемещение, перпендикулярное фронту волны, [c.74]

Отсюда имеем aj = a , sin j/sin pa = Это означает, что волна расширения отражается под углом, равным углу падения прямой волны отражение волны сдвига подобно преломлению с коэффициентом [c.76]

При нормальном падении волны расширения Л 3 = 0 и отраженные волны сдвига не возникают амплитуда отраженной волны расширения Л 2 равна амплитуде прямой волны Al, фаза при отражении может изменяться на л. [c.76]

Процесс отражения плоской волны сдвига также связан с возникновением отраженных волн расширения и сдвига. Рассмотрим отражение волны сдвига, распространяющейся параллельно плоскости хОу и падающей на свободную границу (плоскость yOz) под углом (рис. 32) с направлением колебаний, перпендикулярных оси Oz. В этом случае движения в направлении оси Oz нет, на границе имеем условия ст = 0, 012 = 0> которым можно удовлетворить только в предположении, что отражается не только волна сдвига, но и волна расширения, причем первая отражается под углом Рз) равным углу падения Pi, а вторая — под углом 2, для которого [c.76]

Пусть амплитуда прямой волны сдвига Вт , отраженной волны сдвига Ва и отраженной волны расширения В- . В этом случае условия на границе при л = О эквивалентны соотношениям [c.77]

При нормальном падении отраженная волна расширения не возникает (Бд = 0). Если направление колебаний параллельно оси Ог, то движения в направлениях осей Ох и Оу нет и =0, о = 0). Следовательно, волна сдвига с та- [c.77]

Рассмотрим процесс отражения и преломления волн напряжений внутри тела при их взаимодействии друг с другом, учитывая при этом, что переднему фронту волны напряжений всегда соответствует упругое состояние и тот факт, что отражение и преломление прямой волны проходят в предварительно напряженных областях тела. Передний фронт прямых волн напряжений при их взаимодействии является границей раздела двух сред (областей возмущений с различными физико-механическими свойствами материала). Предположим, что волна расширения нагрузки распространяется параллельно плоскости хОу и падает на границу раздела иод углом 1, углы отражения и преломления волн расширения соответственно равны углы [c.80]

При нормальном падении волны сдвига отраженная и преломленная волны расширения не возникают, уравнения (1.5.44) упрош,аются и принимают вид [c.82]

Предположим теперь, что на плоскую стенку падает волна искажения под углом Ро- Все построение производится совершенно аналогично, нет надобности его повторять. Мы находим, что от стенки отражаются две волны, волна искажения под углом и волна расширения под углом а, при этом [c.443]

Недостаток уравнения (13.7.2) состоит в том, что оно соответствует бесконечно большой скорости распространения импульсов, волнистая кривая, изображенная на рис. 13.8.1, уходит вперед бесконечно далеко. В действительности передний фронт образован волной расширения, которая движется вдоль оси стержня с наибольшей скоростью, но очень быстро ослабевает с расстоянием. Далее, по-видимому, возникает сложная комбинация продольных и поперечных волн, отражающихся от боковой поверхности, и наиболее возмущенная область продвигается со скоростью со. [c.452]

Здесь с = Е/р. Для волн расширения в неограниченной среде Е заменяется на ь + 2[г, для волн искажения на р,, таким образом, математическая теория оказывается совершенно тождественной. Заменяя Е через наследственно-упругий оператор, получим следующее интегро-дифференциальное уравнение [c.608]

Волны расширения и волны искажения в изотропной упругой среде [c.490]

Волны, определяемые этими уравнениями, называются безвихревыми волнами или волнами расширения ). [c.491]

Общий случай распространения волн в упругой среде получается в результате суперпозиции волн искажения и волн расширения ). Для обоих видов волн уравнения движения выражаются в общей форме [c.491]

Покажем теперь, что величины и представляют собой скорости распространения волн расширения и искажения. [c.491]

Если в некоторой точке упругой среды производится какое-либо возмущение, то из этой точки во все стороны начинают излучаться волны. На большом расстоянии от центра возмущения эти волны можно рассматривать как плоские и считать, что все частицы движутся параллельно направлению распространения волны (продольные волны) или перпендикулярно этому направлению (поперечные волны). В первом случае мы будем иметь волны расширения, во втором — волны искажения. [c.491]

В случае землетрясения в толще земли со скоростями q и Сз распространяются оба вида волн волны расширения и волны искажения. Их можно зарегистрировать с помощью сейсмографа, и интервал времени между прибытием этих двух видов волн позволяет получить некоторую информацию относительно расстояния регистрирующей станции от центра возмущения. [c.495]

На большом расстоянии от источника деформации, вызываемые такими волнами, можно считать двумерными. Предположим, что тело ограничено плоскостью у —О, и будем считать положительным направление оси у внутрь тела, а оси х—в сторону распространения волн. Выражения для перемещений получаются путем комбинирования волн расширения (уравнения (271)) и волн искажения (уравнения (270)). Считая в обоих случаях, что w = 0, решение уравнений (271), представляющих волны расширения, можно принять в виде [c.509]

Волны безвихревые (волны расширения) 491 [c.572]

Ансамбль волновых фронтов в задаче Лэмба состоит из цилиндрических волн расширения и сдвига вместе с головной поперечной волной, распространяющихся от точки нагружения [232]. Достигая вершины трещин, они отражаются и появляются новые волны, ансамбль волновых фронтов которых (для момента времени после этого отражения) показан на рис. 52.2 (первоначальные волны расширения и сдвига обозначены через Р ш S соответственно, а сдвиговая волна, образовавшаяся в результате дифракции Р-вол-ны,—через SP и т. д.). [c.413]

Таким образом, задача о распространении упругих волн в изотропной среде в безграничном трехмерном пространстве и в случае плоской задачи сводится к интегрированию двух обособленных волновых уравнений. Отсюда видно, что в однородной, изотропной, упругой среде, заполняющей безграничное пространство, любое малое возмущение может быть представлено с помощью наложения волн расширения и волн сдвига. Если среда неоднородна или занимает ограниченную часть пространства, то могут возникать другие типы волн, например волны, распространяющиеся в окрестности границы среды. Такого рода волны будут рассмотрены ниже. [c.403]

Волну, характеризующуюся U , называют продольной волной или волной расширения-сжатия. Первый термин объясняется совпадением направления колебаний в волне с направлением рас- [c.8]

Эти волны существуют при любых частотах и толщинах пластин. Нулевая симметричная мода So соответствует волне расширения-сжатия, а нулевая антисимметричная мода a,Q соответствует волне изгиба. Значения скоростей этих волн при толщине пластины, меньшей длины волны, приведены в табл. 1.2. [c.17]

При использовании численных методов решения уравнений (1.41) и (1.47) встает вопрос о корректном выборе шага интегрирования Ат, т. е. о получении результатов с требуемой точностью при минимальном времени счета. Многочисленные исследования показали, что достаточно точные результаты получаются при использовании шага по времени в пределах времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ [177, 178, 187]. С целью оценки эффективности предложенного алгоритма и выбора допустимых шагов интегрирования Ат было решено нескодыго модельных-задач колебан й стержня и балки [102]. Во всех задачах принимали следующие механические свойства материала модуль упругости = 2-10 МПа, плотность материала р = 5- 10 кг/м коэффициент Пуассона ц = 0,3. [c.37]

Очевидно, что на точность получаемых результатов будут влиять такие факторы, как схема интегрирования, величина шага интегрирования Ат,-, количество КЭ в проскоке, число подынтервалов времени k, на которые разбит интервал Атс. Из рис. 4.20 видно, что при использовании уравнения (1.47) при k = 4 11 18 (кривые 1, 2, 3, 4) отличие результатов расчета от приближенной аналитической зависимости (4.79) составляет соответственно 0,19 0,14 0,08 0,01G (0) (при v = r). Таким образом, использование условия < 10 приводит к существенной погрешности расчетной схемы, что, в свою очередь, в задаче об определении СРТ приводит к необоснованному завышению скорости трещины, особенно в области ее высоких значений (o r). Следует отметить, что значению k = при v = r соответствует шаг интегрирования Ат, равный времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ в вершине трещины. Попытки более адекватного описания зависимости G (y) с помощью более точного моделирования раскрытия трещины путем увеличения количества КЭ в проскоке не дали существенного изменения зависимости G (o) (кривая 6). При использовании уравнения (1.41) зависимость G v) отличается от аналитической (4.79) менее чем на 1 % (кривая 5). В то же время следует отметить, что ограничение на шаг интегрирования, обусловленное устойчивостью решения уравнения (1.41), делает применение данной схемы при и < Сд неэффективным, поскольку резко возрастает количество шагов Ат (при v = r /г = 18 при v = rI2 fe = 36 и т. д.). [c.250]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Пусть ударник — идеально упругий стержень длины I, тогда при ударе о жесткий приемник (плиту) со скоростью Пс передний конец стержня останавливается, возникает напряжение о = рСоПс. где р — плотность материала стержня, Сд — скорость распространения волны расширения (рис. 5). Возникшее на конце ударника [c.11]

Если рдОа = Рь 4< то Ба О и волна сдвига не отражается. Если колебания параллельны оси Ог, то перпендикулярно границе раздела движения нет, следовательно, отраженные и преломленные волны расширения не возникают. Амплитуды отраженной Ба и преломленной Б волн сдвига можно определить. Первая из них отразится под углом, равным углу падения, вторая — преломится под углом Рз, так что [c.82]

Волны, соответствующие этому слагаемому, распространяются со скоростью а и называются волнами расширения или продольными волнами, а называется скоростью распространения продольных волн, а Ф — скалярнр1М потенциалом продольных волн. [c.295]

Таким образом, волна расширения отражается по закону геометрической оптики, угол падения равен углу отражения. Кроме этого возникает волна искажения, отражающаяся под углом р, при этом р < laal, как показано на рис. 13.5.2. Если известна форма падающей волны, т. е. функция /о, из уравнений (13.5.4) находятся функции / и g, определяющие форму отраженных воли. Как видно, они отличаются от функции /о лишь постоянным множителем, а для функции g также масштабом аргумента. [c.443]

Как следует из данных, приведенных в табл. 1.2, скорость моды Sn в стержне меньше скорости аналогичной моды в пластине и они вместе меньше скорости продольной волны. Это связано с тем, что в безграничной среде при распространении продольной волны расширению и сжатию элементарного объема в поперечном направлении препятствуют соседние области твердого тела, придавая элементарному объему дополнительную жесткость. Деформирование сечения стержня происходит свободно, скорость моды о наименьшая и при d < X равна YEIp- Пластина соответствует промежуточному случаю между стержнем и безграничной средой. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...