Постановка задач для полупространства

Постановка задач для полупространства. Пусть — трехмерное евклидово пространство х (х , х , Хд), Ох х х — ортогональная, прямолинейная, левая система координат. В полупространстве Хд О ищется регулярное решение и (Wj, — уравнений термоупругости [c.600]

Рассмотрим теперь задачу для полупространства, когда на части границы 5 заданы касательные напряжения и нормальная компонента перемещений, а на оставшейся части — все компоненты напряжений. Посредством наложения частного решения второй основной задачи для полупространства можно перейти к случаю, когда касательные напряжения будут всюду равны нулю, а вне 5 будет обращаться в нуль и нормальная компонента напряжений. Приступим именно к постановке последней задачи, для которой [c.291]

Более общая постановка задач для кусочно-однородной среды допускает случаи, когда области О/" сами заполнены неоднородной средой, а также когда поверхности раздела сред выходят на наружную поверхность. Частным случаем такой задачи является описанная в 5 задача о сжатии двух полупространств. [c.617]

Контактные задачи для полупространства с переменным по глубине коэффициентом Пуассона в плоской постановке подробно исследовались в работах Е. А. Кузнецова [18, 20-22, 34, 35]. [c.199]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

Для полноты постановки задачи необходимо указать математическое описание физических свойств взаимодействия полупространств на границе 2= 0. Наиболее простым из возможных типов взаимодействия является такое, при котором соблюдается равенство кинематических и силовых характеристик по направлению нормали к поверхности раздела и допускается возможность проскальзывания вдоль самой поверхности. Эти условия можно записать в виде следующих равенств [c.58]

Ниже будут даны постановка и аналитический метод решения периодической контактной задачи для упругого полупространства и системы выступов заданной геометрической формы, [c.19]

В 1.1 этой главы дается краткая постановка контактных задач для тел конечных размеров канонической формы для цилиндра, прямоугольника, кольцевого сектора, кольца, усеченного клина, сектора сферического слоя, сферического слоя и усеченного конуса (п. 1.1.1), контактных задач для тел конечных размеров неканонической формы в виде криволинейной трапеции и тела вращения с криволинейной образующей (п. 1.1.2), динамических контактных задач для слоя и цилиндра периодической структуры (п. 1.1.3), пространственных контактных задач для слоя, лежащего на жестком основании или на упругом полупространстве с учетом сил трения в зоне контакта (п. 1.1.4). [c.13]

Заметим, что с помощью метода работы В. ]М. Александрова [15], может быть построено двусторонне асимптотически точное решение парных интегральных уравнений, порождаемых 1) контактной задачей для полосы, лежащей без трения на жестком основании или защемленной по основанию, 2) контактной задачей для клина с защемленной гранью (плоская постановка) 3) осесимметричной задачей о действии кольцевого штампа на полупространство, 4) осесимметричной задачей о взаимодействии упругого бандажа с упругим цилиндром [18]. Полоса, клин. [c.27]

Осесимметричные контактные задачи. Наибольший теоретический и прикладной интерес представляют основные смешанные задачи (ОСЗ) теории упругости в обобщенной постановке, когда краевые условия на внешней поверхности многослойного полупространства разделяются на совокупности произвольного четного 2п или нечетного числа 2п - 1 (п= 1,2,...) концентрических окружностей. Частными случаями этих задач являются контактные задачи для п концентрических кольцевых штампов или одного кругового и п - 1 концентрических кольцевых штампов с учетом сцепления в области контакта. Математический аппарат исследования ОСЗ непосредственно распространяется и на аналогичные контактные задачи для круговых и кольцевых штампов с учетом и без учета трения, а также на родственные смешанные задачи для многослойного полупространства с круговыми и концентрическими кольцевыми трещинами на границах раздела слоев. Иными словами, ОСЗ имеют общетеоретическое значение и, в свою очередь, являются базовыми для построения и исследования решений обширного класса контактных и других смешанных задач теории упругости для многослойного полупространства. Учитывая это положение, изложим подробнее математическую постановку и методику аналитического и численного решения ОСЗ. [c.218]

Плоские контактные задачи. В условиях плоской деформации многослойного полупространства наибольший теоретический и прикладной интерес представляют основные смешанные задачи в обобщенной постановке, аналогичных осесимметричным ОСЗ (п. 4). В случае плоских ОСЗ краевые условия на внешней поверхности многослойного полупространства разделяются на совокупности произвольного числа 4п или 2(2п - 1) (п = 1,2,...) прямых = =Ь д. (к = 1,2п или = 1,2п - 1). Частными случаями этих задач являются контактные задачи для четного 2п или нечетного числа 2п - 1 (п = 1,2,...) полосовых в плане штампов с учетом сцепления, трения и без трения в областях контакта. Кроме того, математический аппарат исследования плоских ОСЗ непосредственно распространяется и на родственные смешанные задачи для многослойного полупространства с полосовыми трещинами на границах раздела слоев. [c.224]

Постановку контактных задач для гиперупругих тел, подверженных однородной начальной деформации, изложил А. Н. Гузь в работе [15] для сжимаемых материалов и в работе [16] для несжимаемых материалов при произвольной форме упругого потенциала. В этих работах предложены методы решения отдельных классов задач. В качестве иллюстрации рассмотрены контактные задачи о кручении для начально-деформированного полупространства, приведены простые соотношения, связывающие момент, приложенный к штампу, с углом его поворота. [c.235]

Постановка [33] допускает наличие сферической полости в полупространстве, с которым сцеплен круговой штамп. Решение задачи ищется обобщенным методом Фурье, с использованием наборов точных решений для полупространства и пространства с полостью. В результате задача сводится к системе парных интегральных уравнений, которые, в конечном счете, преобразуются в бесконечную систему алгебраических уравнений. [c.244]

Осесимметричная задача с трением и сцеплением для трансверсально-изотропного полупространства рассматривается в [10]. Постановка задачи предполагает малым отношение е = Е /Е модулей упругости в перпендикулярном к плоскости изотропии направлении (Е ) ив плоскости изотропии (Е). В этом случае соответствующая система уравнений Ламе расщепляется на две подсистемы, первая из которых описывает относительно медленно меняющееся вдоль нормального к границе направления напряженное состояние, тогда как решение второй подсистемы носит характер погранслоя. Решение такой задачи ищется в виде асимптотических по е степенных рядов. В частности, для штампа с плоским основанием получено следующее соотношение для радиуса Ь участка сцепления [c.249]

Для наглядности и в связи с ограниченностью объема публикации проиллюстрируем описанную выше схему исследования на примере решения контактной задачи для двуслойного полупространства с заглубленной круговой цилиндрической полостью в антиплоской постановке. [c.312]

Последнее соотношение тождественно хорошо изученному уравнению динамической контактной задачи для двуслойного полупространства без полости в соответствующей постановке. Для его решения можно использовать любой из хорошо развитых и апробированных методов [1, 2, 4, 5, 10, 11, 13] (метод приближенной факторизации функций и матриц-функций, метод фиктивного поглощения, метод малого параметра и др.). Предположим, что решение этого уравнения получено и обозначим его о( /)- Подставляя его в правые части двух первых уравнений системы, получаем во втором приближении [c.315]

Существенно, что аналогичную структуру и свойства имеют системы интегро-функциональных уравнений контактных задач для многослойного полупространства с заглубленной полостью канонической формы, целиком расположенной в одном из слоев структуры, в плоской, осесимметричной и пространственной постановках [8, 9, 12, 15]. [c.316]

Под таковыми будем понимать задачи о динамическом контакте абсолютно жесткого тела (ударника, штампа), занимающего область G с граничной поверхностью Hi, и упругого полупространства Gi, ограниченного плоскостью U2 z O (см. обозначения параграфа 1 этой главы). Ограничимся, в основном, случаем выпуклой области G. Для постановки задачи необходимо добавить к уравнениям движения однородного изотропного полупространства (1.1) уравнения движения тела Gi [c.369]

Для дальнейшего важен класс задач для упругого пространства или полупространства Хз > О, в которых на плоскости Хз = О касательные напряжения обращаются в нуль. К числу таких задач относятся контактная задача и задача о трещине в рассмотренной в разд. 3.1 и 3.2 постановке. [c.82]

Поскольку рассматривается трещина произвольного разрыва, то из постановки краевых условий не ясно, имеется ли зависимость нормальных компонент напряжений и смещений от касательных. Для того чтобы выяснить этот вопрос, напомним, что связь между компонентами напряжений и скачка смещений в плоскости Хз = О (для полупространства Хз > О в отсутствие объемных сил, к рассмотрению которого можно свести задачу [35, 36]), имеет вид [c.183]

Другие формы штампа и модели основания. ПФ для круглого щтампа, лежащего на слое, подстилаемым жестким основанием, построены в приближенной постановке задачи в работах [24, 25, 32]. ПФ, которые определяют перемещение некоторых точек поверхности полупространства при действии [c.124]

Постановка задачи. Рассмотрим одноатомный разреженный газ, представляющий собой пар конденсированной фазы, занимающий полупространство лг > О и находящийся в термодинамическом равновесии со своей конденсированной фазой, расположенной в полупространстве л < О, при температуре 7 и давлении насыщенного пара р . Числовая плотность пара равна п Поверхность раздела фаз представляет собой плоскость д = 0. В начальный момент времени I = О температура конденсированной фазы мгновенно поднимается до температуры Г , и затем остается постоянной для всех I > 0. Температуре Т , соответствует повышенное давление насыщенного пара р, = р Т ), определяемое кривой насыщения [6] [c.142]

Вопросы коррозии блуждающими токами в справочнике излагаются по материалам самых ранних публикаций с использованием крайне упрощенных моделей. В СССР уже в 1960-е гг. распределение токов и потенциалов в системе реле — земля — подземные сооружения было рассмотрено в самой общей постановке вопроса определялось распределение потенциалов в проводящем полупространстве, в котором расположены хорошо проводящие тела. В математическом отношении задача при этом сводится к нахождению решения уравнения Лапласа, которое должно удовлетворять на поверхности проводящих тел граничным условиям, связывающим значения тангенциальной производной потенциала с током утечки данного проводника. Такая задача легко сводится к системе двухмерных интегрально-дифференциальных уравнений. Для одиночных круговых цилиндров бесконечной протяженности решения получены в аналитическом виде, для более сложных случаев решения найдены в численном виде с применением ЭВМ. [c.14]

Ясно, что аппроксимация реального упругого тела полупространством при постановке контактной задачи возможна лишь при соблюдении определенных условий. Стремление к увеличению точности прочностных расчетов приводит к новым постановкам контактных задач теории упругости (в частности, для упругого слоя), которые принято назвать неклассическими. При этом основная особенность неклассических [c.23]

Знание набора нормальных мод в волноводе является важным фактом при решении вопросов практического их использования. Однако не менее важным является вопрос о способах и эффективности возбуждения того или иного типа волнового движения. Здесь картина оказывается значительно сложнее, чем в рассмотренной в главе 3 задаче о вынужденных колебаниях полупространства. Это усложнение физической картины приводит к постановке ряда сложных краевых задач, не все из которых имеют к настоящему времени достаточно полное решение. Наиболее простые задачи, возникающие при моделировании реальных ситуаций, относятся к бесконечному и полубесконечному волноводам. Для бесконечного волновода задача о возбуждении волн связана с заданием на некоторой части границы системы внешних воздействий — кинематические или силовые граничные условия. Вне этой области границы волновода считаются свободными. Задачи другого типа возникают при моделировании процесса возбуждения волн путем задания внешних усилий или смещений на торце полу-бесконечного волновода. Они оказываются намного сложнее для теоретического анализа. [c.241]

Заметим, что решение задачи об адгезии сухих поверхностей в аналогичной постановке для частного случая взаимодействия штампа в форме параболоида вращения (п = 1) с упругим полупространством получено ранее методами механики разрушения [211]. Это решение, полученное только для случая контакта поверхностей, также указывает на немонотонность и неоднозначность зависимости нагрузки от расстояния между телами. [c.101]

Решение классической задачи Герца для однородного полупространства хорошо известно, например, [16]. В работе [29] постановка классической задачи Герца обобщается и рассматривается случай, когда сферический штамп вдавливается в слой, лежащий на недеформируемом основании или на однородном полупространстве, имеющем упругие свойства, отличные от упругих свойств слоя. [c.206]

При решении задачи (1.13) при заданной вдавливающей силе и моментах подлежат определению граница области контакта, распределение контактных напряжений, осадка и углы поворота штампа, а также распределение смещений точек поверхности полупространства вне области контакта. Возможна и иная постановка, когда по заданным осадке и углам поворота штампа требуется найти необходимые для их обеспечения значения вдавливающей силы и моментов. [c.75]

Полученные системы (2.20) решаются средствами операционного исчисления на базе преобразования Фурье. Именно в такой постановке, принимая в случае изгиба [c.292]

Предположение малости зоны контакта по сравнению с характерными размерами тел и пренебрежение микрорельефом поверхности тел и их особыми физико-механическими свойствами приводит к классической постановке контактных задач. В этом случае вопрос сводится к смешанным задачам теории упругости для полуплоскости или полупространства, решение которых представляет известные трудности, особенно в трехмерных задачах. [c.433]

Для автомодельности задачи необходимо, чтобы скорость движения плоскости, а также задаваемые на ней значения щ были бы постоянны во времени. Поскольку решение задачи ищется в полупространстве, то оно должно конструироваться только из волн Римана и ударных волн, уходящих от границы. Соответственно, число граничных условий, задаваемых на границе, которое должно удовлетворять требованию эволюционности, меньше порядка системы п. Обычно в конкретных задачах вопрос о постановке граничных условий не вызывает затруднений. Так в задачах об упругих волнах в полупространстве (Глава 5) на границе полупространства могут с равным успехом задаваться (1)вектор скорости среды, (2)вектор нормальных напряжений, (З)три компоненты тензора деформаций. [c.62]

Остановимся теперь более подробно на постановке задачи, когда имеет место именно последовательное сближение штампа с упругим телом. Для простоты будем считать, что штамп является абсолютно гладким, а вне контактной поверхности напряжения обращаются в нуль. Наиболее очевидной является постановка такого рода задач в случае, когда жесткое тело, ограниченное выпуклой поверхностью, вдавливается в упругое полупространство. Обозначим через 51 зону контакта. Будем предполагать, что тело перемещается поступательно, и допустим, что первоначальный контакт произошел в некоторой точке, которую и примем за начало декартовой системы координат (расположив оси х и I/ по границе полупространства). Обозначим через г = Цх,у) уравнение поверхности штампа. Если пренеб- [c.248]

В качестве примера остановимся подробнее на случае вакансии, считая потенциал попов равномерно распределенным в пространстве п рассматривая вакансию как полость в среде. Для простоты примем, что па границах полости имеются бесконечно высокие потенциальные стенки и, следовательно, электроны не могут находиться в этой полостп, т. е. волновые функции их там равны нулю. Сформулируем постановку задачи в одномерном случае, когда полость представляет собою пустой зазор между двумя плоскостями и где задача сводится к определению распределения плотности электронного заряда вблизи плоской поверхности среды, заполняющей полупространство [16]. Пусть эта поверхность является нлос- [c.86]

Постановка задачи. Построение равномерно пригодного решения. Пусть тонкое пространственное тело проникает в полупространство, занятое жидкостью, со скоростью vo(t), направление которой для простоты изложения совпадает с направлением внутренней нормали к свободной поверхности жидкости. Предположим, что форма тела и условия входа обеспечивают безотрывное обтекание и известно регнение соответствуюгцей линейной задачи для потенциала возмугценного движения жидкости. Его далее будем называть внегнним регнением ре х1 ), где у1 Zl — абсолютная [c.661]

При математической формулировке задачи о возбуждении и распространении волн в идеально упругом волноводе появляются определенные затруднения с постановкой условий на бесконечности, которые должны играть ту же роль, что и условие излучения в случае пространства. Ведь уже для полупространства необходимо задавать не только бегущую на бесконечность цилиндрическую волну, нэ и условие на приповерхностные возмущения — волну Рэлея. Сформулированные при этом требования исключали из общего представления решения стоячую волну Рэлея. Условие аналогичного типа должно ставиться и в случае нормальных волн, с учетом дополнительных трудностей — геометрической дисперсии мод в волноводе. Постановка таких условий в упругих волноводах затруд- [c.110]

Впервые такая задача рассматривалась в [11-13] для упругого полупространства, взаимодействующего без трения со штампами различной формы (пирамида, конус, параболоид). После линеаризации по и правой части условия (2) и замены в нем перемещений и, V ш. известными выражениями через контактное давление р, получается интегральное уравнение первого рода относительно р х). Решение этого уравнения, при условии равновесия и соотношениях р х) О, ж а, р а) = О, строится либо с помощью конечно-разностной аппроксимации интегрального оператора, либо методом последовательных приближений с применением регуляри-зующего алгоритма. Проведенный анализ показывает, что уточненная постановка задачи приводит к уменьшению несовместности контактных деформаций. [c.251]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Математические постановки задач следует дополнить условиями на классы функций, в которых разыскиваются решения, и на классы функций, задающих условия задач границы О, модули с, плотность р, внешние воздействия Г. Данные важные вопросы должны являться предметом отдельных исследований для конкретных задач. Ниже будем предполагать, что входные данные задач таковы, что все применяемые далее интегральные преобразования имеют смысл. Классы же функций и содержат функции, по крайней мере убывающие по направлениям вдоль которых области полуограничены (вглубь полупространств), и по крайней мере ограничены вдоль осей х . Постановки плоских, антиплоских (И П2) и одномерных (И = П ) задач аналогичны описанному выше общему трехмерному случаю при соответствующих изменениях. [c.333]

В четвертой главе рассматриваются пространственные смешанные задачи для упругих тел, усиленных накладками. Здесь дается постановка и решение задачи о контакте узкой прямоугольной накладки конечной длины с упругим полупространством. Обсуждается контактная задача о напряженном состоянии упругого полупространства, усиленного узкой прямоугольной накладкой бесконечнбй или полубесконечной длины. Рассматривается осесимметричная контактная задача о передаче нагрузки от круглой накладки к упругому полупространству. Решается задача о взаимодействии цилиндрической накладки конечной длины с упругим бесконечным сплошным цилиндром или с бесконечным пространством нри наличии в нем цилиндрической полости. Наконец, рассматривается равновесие тяжелого упругого шара, усиленного симметрично относительно экватора сферической поясо-вой накладкой и подвешенного при помощи нерастяжимых лент к одной неподвижной точке. Обсуждаются различные постановки этой задачи. [c.12]

Наличие поверхпостных волн Рэлея установлено для полупространства. Для оценки влияния второй границы в аналогичной постановке рассмотрим задачу о распространении плоских прогрессивных волн в плоском упругом слое толщины 2/г. Соответствующая геометрия задачи и выбранная прямоугольная декартова система координат указаны на рис. 12.14. [c.316]

Взаимодействие штампов и полупростраиства и соударение упругих тел приводят в строгой постановке к основным смешанным динамическим задачам теории упругости для тюлупространства, сформулированным в 2. До последнего времени точное решение этих задач отсутствовало. Лишь в последнее время появились работы, посвященные исследованию в точной постановке задачи о динамическом действии гладкого штампа на полупространство. О них будет сказано ниже. [c.334]

Для общего исследования данной задачи, аналогично задаче разд. 9.1, необходимо рассмотреть вспомогательную о воздействии сосредоточенной силы на вязкоупругое полупространство в двумерной постановке или задачу Лемба. [c.185]

Задача о действии гладкого осесимметричного штампа на полупространство рассмотрена и в упругопластической постановке. Точное решение такой задачи неизвестно. Для определенности в этой и последующих задачах о штампах была использована диаграмма деформирования материала идеальнопластического тела. На рис. 3 кривыми 1—5 показано развитие зон пластичности по мере увеличения параметра [c.34]

В [7, 21, 22, 26, 48] рассмотрены осесимметричные износоконтактные задачи в различных постановках для кольцевого штампа, вращающегося на границе упругого полупространства. Показано, что интегральный оператор А для осесимметричных задач [c.442]

В такой постановке источником движения служат неоднородные граничные условия при ж = 0. Одпако существует один выделенный случай, когда задача ставится в безграничной области, а движение вызывается источником импульса в начале координат. Это струя Ландау, для которой в случае v = onst и i2 = о решение, регулярное при х = , выписывается аналитически и имеет вид F — = —2v [i — х" )/ Aq — х). Здесь Ао — постоянная интегрирования, которую можно связать с заданным импульсом струи. Таким образом, случай струи Ландау спектральный, когда существует нетривиальное решение с однородными условиями при ж = 1. Если апалогич-liyro однородную задачу поставить в полупространстве то, [c.147]

Смешанные задачи, которые имеются здесь в виду, могут быть двоякого рода. Во-первых, это динамические задачи о действии штампа на упругое тело. В простейших постановках под телом понимается упругое полупространство, а штамп рассматривается либо в виде бесконечной полосы (плоская задача), либо круговой в плане (Л. М. Флитман, 1959 Н. М. Бородачев, 1960). Задачи такого типа решались аналитически, но для завершения требовали расчета последовательных типов дифракции на краях штампа или обращения к длинноволновой асимптотике. Предполагалось, что касательное напряжение на подошве штампа отсутствуют (свободное проскальзывание). [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...