Задача автомодельная

Для уравнений (27), (28) при граничных условиях (29), описывающих ламинарный пограничный слой на плоской пластине, известно точное решение Блазиуса НО . Задача автомодельна [И, 12], введением переменной т] =рХ — она сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению [c.85]

Чтобы определить I (х) и выяснить, не является ли поставленная задача автомодельной, т. е. не сводится ли в рассматриваемом случае уравнение в частных производных (59) с граничными условиями (60) и (61) к обыкновенному дифференциальному уравнению, применим рассуждение, аналогичное тому, которое уже неоднократно использовалось в теории ламинарного пограничного слоя. [c.562]

Интегрируя обыкновенное (задача автомодельна ) линейное дифференциальное уравнение третьего порядка (65), получим общий его интеграл в форме [c.563]

Вводя в уравнение (72) новую переменную т], согласно (75), и принимая во внимание формулу для I, убедимся, что задача автомодельна будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение (штрих — производная по т]) [c.566]

Решение этой задачи автомодельно как нетрудно проверить, оно имеет следующий вид [c.377]

Причина кроется в существовании скрытого инварианта [36], не замеченного предшествующими исследователями. Этот инвариант, о котором пойдет речь, делает задачу автомодельной, что ее упрощает. В точной постановке задачу о струе можно рассматривать как частный случай истечения из сферического источника радиуса До, па котором дано произвольное распределение скоростей при условии покоя на бесконечности. Понимая в соотношении импульсов (1.16) под поверхностью интегрирования S суммарную поверхность 5о + 5, где через S обозначена поверхность сферы произвольного радиуса Д, из (1.16) получаем интеграл сохранения [c.33]

Как заметил К. П. Станюкович (1955), кроме степенной, возможна и экспоненциальная автомодельность, при которой = г/( е ). Однако в большинстве практически интересных задач автомодельность имеет степенной характер. [c.239]

Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин— чисел и критериев подобия, при помош,и которых строятся закономерности, устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравнений, заметить будет ли задача автомодельной или нет, а это позволяет заранее уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных производных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В других случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых решение будет вырал<аться. [c.466]

Поставленная задача автомодельна, рещение зависит от x/t. Возмущения от границы в область а > О распространяются в виде плоских волн деформации. Решение конструируется из последовательности автомодельных (центрированных) волн Римана и ударных волн, разделенных промежутками с постоянными значениями параметров среды. Порядок следования волн определен величинами скоростей впереди идет самая быстрая, далее в порядке убывания скоростей. [c.241]

В этом случае система уравнений (2.40), (2.41) имеет автомодельные решения лишь при выполнении дополнительного условия. Размерность параметра Ti выражается формулой [TJ = С. Требуя, чтобы размерность Ti выражалась в виде степенного одночлена через размерности параметров Су, Ki и либо Tq, либо Wq, получим, что если задано граничное условие вида (2.50), то рассматриваемая задача автомодельна при выполнении условия [c.53]

Случай Ро О (начальное давление отлично от нуля). При Ро О рассматриваемая задача автомодельна, если выполняется соотношение (3.18). Это возможно лишь в случае 1 = 0 (начальная плотность постоянна). [c.92]

Рассмотрим задачу о трещине, начальная длина которой равна нулю. В этом случае метод, основанный на последовательном учете взаимного влияния напряжений о (л у, изложенный в 5.4, не может быть применен. Если задача автомодельна и = t o(t/Xl / 2), то ее можно решить другим способом, например на основе метода функционально-инвариантных решений [32, 31, 117, 122]. При этом используются решения уравнений теории упругости, определенные и вне плоскости трещины. Однако для приближенной модели (1.30) состояние вне указанной плоскости не определено, постулирована лишь связь (4.1) между перемещением и напряжением в плоскости трещины. С целью получить решение как для точной, так и для приближенной моделей, воспользуемся другим методом, основанным на введении аналитических представлений, определяемых формулами [c.221]

Интегрирование уравнений (2-40)—(2-42) не представляет особых трудностей, если коэффициент лобового сопротивления не зависит от числа R0T, т. е. если имеет место автомодельная область обтекания. При других условиях необходимо знание закономерностей типа (2-1"), что позволяет затем графо-аналитически или путем интегрирования получить искомое решение. Подобная задача решена для восходящего прямотока (пневмотранспорт) первым методом в [Л. 143], а вторым в [Л. 48, 50, 292]. В последнем случае окончательные решения особенно громоздки. Особенности прямоточного движения частиц рассмотрены также в [Л. 251, 325] и др. [c.66]

Здесь решение зависит от времени из-за а = a(i). Найдем автомодельное решение этой задачи, которое устанавливается по прошествии достаточного времени, чтобы система забыла начальные условия, и которое зависит только от безразмерной переменной 11 = ria t), т. е. найдем решение вида Т г, t) = Г( п). Тогда, учитывая (5.5.37) и вводя безразмерную температуру Т, [c.322]

Система уравнений (8. 1.1), (8. 1.2) допускает автомодельное решение [ИЗ], которое может быть получено при помощи метода Фурье. Этот метод был использован при решении задачи о массо-переносе внутри газового пузырька (см. разд. 6.1). Запишем окончательный вид решений уравнений (8. 1. 1), (8. 1. 2) с начальными и граничными условиями (8. 1. 3), (8. 1. 4), (8. 1. 7) и (8. 1. 8) [c.310]

Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример автомодельного движения, возникающего в цилиндрической трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разрежение, и возникает описанная выше волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению может произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу) ). [c.515]

Для полноты упомянем, что при столкновении ударной волны ео слабым разрывом (эта задача не относится к рассматриваемому здесь автомодельному типу) ударная волна продолжает распространяться в прежнем направлении, а в пространстве позади нее остается один слабый разрыв первоначального типа и один тангенциальный (см конец 96) слабый разрыв. [c.524]

Таким образом, рассмотренная задача дает пример автомодельного движения, в котором, однако, показатель автомодельности (т. е. вид автомодельной переменной ) не может быть [c.568]

В силу симметрии задачи и ее автомодельности (отсутствия в ее условиях какой-либо характеристической постоянной длины) очевидно, что распределение всех величин (скорости, давления) в потоке за ударной волной будет функцией только от угла 6 наклона к оси конуса (оси х на рис. 114) радиус-вектора, прове- [c.594]

Это соотношение обычно называют законом Ньютона. Коэффициент теплообмена определяют как теоретически (из решения уравнений - пограничного слоя), таки экспериментально. При теоретическом расчете предполагают обычно, что условия на стенке заданы и постоянны (это позволяет считать задачу автомодельной, что облегчает ее решение). Отметим, что температура стенки, например, может считаться постоянной (не зависящей от пространственных координат) лишь в исключительном случае бесконечно большой теплопроводности твердого тела. Однако на практике часто встречаются случаи, когда температура на поверхности обгекаемого тела не может считаться постоянной. Это относится в первую очередь к высокоинтенсивным процессам теплообмена (например, при обтекании потоком, имеющим температуру, значительна отличающуюся от температуры тела). [c.257]

Предположим, что пластические деформации локализованы вдоль некоторых линий скольжения, выходящих из вершины трещины. Из опыта хорошо известна общая тенденция к формированию пластических областей в начале процесса нагружения в виде узких полос скольжения [79]. В осо-бенносш эго характерно для малоуглеродистых сталей, склонных к запаздьтанию текучести. Линии скольжения, очевидно, могут быть только прямыми. Действительно, в указанной постановке задача автомодельна, роль времени в ней играет параметр , а соответствующие автомо- [c.75]

Относительно более подробно изучена устойчивость двумерной свободноконвективной струи над горизонтальным линейным источником тепла (горизонтальная нагретая нить). Исследование основного течения восходит к работе Я.Б. Зельдовича [56], указавщего в этой задаче автомодельное преобразование. Согласно этому преобразованию продольная и поперечная компоненты скорости, толщина струи и температура на оси изменяются с вертикальной координатой следующим образом [c.225]

Решение этой задачи автомодельно (что следует, конечно, и из ее постановки) параметры газа постоянны на лучах л // onst. [c.194]

Не вдаваясь в детали ), укажем, что так же, сравнительно несложно, решаются задачи ламинарного тепломассопереноса в потоках с продольным изменением давления. Так, например, в случае задания степенного распределения внешней скорости по Фокнеру — Скэн (заключительная часть 103)2) расчет температурного погранлчного слоя сводится к необходимости интегрирования обыкновенного (задача автомодельна) линейного дифференциального уравнения (штрих — производная по ) [c.660]

Замечая, что обе задачи автомодельны (образующие конуса, так же как и линия пересечения пластины с плоскостью чертежа, — полубеско-нечные прямые, и нет характерного масштаба длины), будем искать решение задачи о продольном обтекании пластины в обычном виде [c.842]

Из размерностных соображений, изложенных в предыдущем параграфе, ясно, что решение поставленной задачи — автомодельное ). В самом деле, единственная безразмерная комбинация, которую можно составить из координаты х, времени I и параметров задачи а ж Q, есть [c.516]

Термин автомодельность уже встречался в 13 для описания частных случаев кратных волн, обладающих конической автомодельностью. В более щирокой трактовке, применительно к физическому содержанию решаемых задач, автомодельными принято называть решения, которые получаются путем анализа размерностей всех участвующих величин. С точки зрения теоретико-группового подхода это равносильно использованию допускаемых уравнениями групп растяжений. Однако свойство некоторой группы преобразований быть группой растяжений зависит от выбора системы координат в пространстве основных переменных. На самом деле единственным инвариантным характеристическим свойством групп растяжений является то, что они абелевы (коммутативны). Поэтому рационально использовать термин автомодельный применительно к любым решениям, инвариантным относительно абелевых подгрупп основной группы. При этом представление рещения в той системе координат, в которой группа является группой растяжений, удобно называть автомодельным в узком смысле. [c.197]

Отправным пунктом вычислительного эксперимента является физико-математическая модель. Прежде чем переходить к построению численных алгоритмов, ее необходимо исследовать, так как для выбора наиболее эффективных методов численного решения задач большую роль играет знание основных закономерностей изучаемых явлений. При исследовании математической модели используются все традиционные методы и средства, которые включают в себя отыскание аналитических решений в частных случаях, построение асимптотик, применение теории размерностей и подобия [75] и т. д. Значительную помощь в получении информации об изучаемом процессе может оказать анализ инвариантных решений, вид которых определяется из теории групповых свойств дифференциальных уравнений [48, 63]. Наиболее распространенными типами инвариантных решений являются автомодельные решения и решения типа бегущих волн. Автомодельные решения позволяют дать качественную картину отдельных сторон исследуемых процессов. Следует отметить, что при учете большого числа физических эффектов класс автомодельных решений существенным образом ограничен. Однако несмотря на это их свойства зачастую характерны и для более общих случаев. Они могут дать достаточно широкую информацию о сложных нелинейных процессах и позволяют установить зависимости характерных величин от различных параметров задачи. Автомодельные решения представляют собой также хорошие тесты для отработки методов численного интегрирования. Сопоставление результатов расчетов с известными решениями позволяет судить о точности разностных схем, скорости сходимости и т. д. Поэтому построение тестовых решений, в том числе автомодельных, представляет собой необходимый элемент в общей программе конструирования численных методов. Следует подчеркнуть, что при выполнении [c.5]

Следует заметить, что, поскольку существуют только два размерных параметра задачи (кинематическая вязкость [х/р и скорость У), невозможно найти независимые масштабы для трех переменных (v , х и t). Следовательно, система допускает автомодель-ное решение. Автомодельная переменная есть и реше- [c.294]

Разброс опытных точек не превышает 25% от значений по зависимости (3.13). Наступление автомодельной области течения для шаровой насадки, когда коэффициент сопротивления остается неизменным, обнаружено при Re=10 . В работе [28] было показано гораздо более сильное влияние объемной пористости шаровой насадки на коэффициент гидродинамического сопротивления слоя g при рассмотрении явления в рамках внешней задачи, чем это предлагали другие авторы. В литературе известно несколько работ зарубежных авторов, в которых обобщаются опытные данные по сопротивлению шаровых насадок. Так, в работе Клинга [32] для Re=10-f-10 приведена следующая зависи.мость для определения коэффициента сопротив- [c.58]

При наличии трещины поля напряжений у ее края очень сильно локализованы и быстро затухают, так что если зона пластической деформации у края треищны по сравнению с ее длиной и размером образца мала, то при математический трактовке процесса размером этой зоны можно пренебречь и рассматривать поведение тела, как в упругой задаче. Это позволило моделировать различные виды разрушения материала путем растяжения специального образца с предварительно созданной трещиной в условиях, обеспечивающих автомодельность напряженно-деформированного состояния локальных объемов трещины, т.е. когда напряженно-деформированное состояние у края трещины определяется ИЛИ коэффициентом интенсивности нанряжений К, (нормальный отрыв), или Кц (поперечный сдвиг), или К,ц (антиплоская деформация). Когда напряжения и деформации на фронте трещины достигают критической величины, возникает нестабильность разрушения. Это критическое состояние по [c.290]

Другой пример автомодельного движения такого рода представляет задача о распространении ударной волны, создаваемой в результате короткого сильного удара по полупространству, заполненному газом Зельдович Я- Б.—Акустнч. журнал, 1956, т. 2, с. 29). Изложение этой задачи можно найти также в указанной на стр. 461 книге Я. Б. Зельдовича и 10. П. Рай-аера (гл, XI ) и в книге Баренблатта Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, — М. Гидрометеоиздат, 1982, сл. 4. [c.569]

Мы везде полностью отвлекаемся от тепловых потерь, которыми может сопровождаться распространение детонационной волны. Как и в случае мед ленного горения, эти потери могут сделать распространение детонации невоз мо>1<ным. При детонации в трубе источником потерь являются в первую оче редь отвод тепла через стенки трубы и замедление газа благодаря трению Безразмерную автомодельную переменную в этой задаче можно опре де.пнть как r/t s/q, где характерный постоянный параметр q — теплота рсак ЦИН на единицу массы. [c.679]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...