Энергетические и вариационные уравнения

Это первая в мировой литературе монография по теории связанной термоупругости. Термоупругость — новая область механики, обобщающая в единое целое две независимые ранее дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности. В книге дан вывод основных уравнений термоупругости, изложены методы их решения, а также сформулированы основные энергетические и вариационные теоремы. Приведен подробный анализ распространения гармонических и апериодических волн. В конце книги в качестве приложения помещен обзор новейших результатов, полученных в термоупругости после выхода в свет польского издания. [c.4]

В первой главе излагаются термодинамические основы термоупругости и выводятся основные соотношения и дифференциальные уравнения этой теории. Даны общие энергетические и вариационные теоремы, а также теорема взаимности с вытекающими из нее методами интегрирования уравнений. [c.8]

Термоупругость описывает широкий круг явлений, являясь обобщением классической теории упругости и теории теплопроводности. В настоящее время термоупругость является вполне законченной областью записаны основные зависимости и дифференциальные уравнения, предложено несколько методов решения уравнений термоупругости, доказаны основные энергетические и вариационные теоремы, решено несколько задач по распространению термоупругих волн. [c.757]

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного функцио- [c.142]

Вне зависимости от реологических свойств сплошной среды кинематические параметры (скорости деформаций Уч или обобщенные скорости деформаций, их выражения через перемещения) должны быть энергетически согласованы с силовыми факторами (напряжениями т - или обобщенными напряжениями и формой их связи в уравнениях равновесия или движения). Это означает, что для любой приближенной модели, так же как и для общей, должны быть выполнены баланс механической мощности и вариационное равенство, соответствующее принципу виртуальных скоростей (массовые внешние силы опущены) [c.34]

Уравнения (1.32) и (1.32а) выражают равенство нулю вариации некоторых функционалов. Эти функционалы Л. М. Качанов называет соответственно полной энергией и рассеянием. В действительном движении эти функционалы имеют минимум. Вариационные уравнения принципа возможных изменений деформированного состояния (1.32) и (1.32а) являются энергетической формулировкой условия равновесия. [c.18]

Вариационные уравнения (1.33) и (1.33а) свидетельствуют об экстремуме (минимуме) некоторых функционалов, которые Л. М. Качанов называет дополнительным рассеянием и дополнительной работой. Действительному напряженному состоянию соответствуют напряжения, для которых выполняются условия совместности деформаций (1.18), следовательно, уравнения (1.33) и (1.33а) являются энергетической формулировкой условия неразрывности деформаций [103, с. 189]. [c.19]

Весовые функции можно выбирать различным образом и каждый конкретный выбор отвечает соответствующему критерию в МВН. Обратимся к методу Галеркина, так как этот метод приводит к таким же уравнениям, как и при использовании обычных энергетических или вариационных подходов [5.6—5.8]. [c.143]

Таким образом, безразлично решать ли уравнение с заданными граничными условиями или минимизировать интеграл. До последнего времени математический аппарат, которым мы располагали, был ориентирован скорее на решение дифференциальных задач, нежели на минимизацию функционалов, поэтому в большинстве физических исследований стремились описывать явления в дифференциальной форме, хотя, как правило, анализ использовал энергетические и термодинамические принципы и давал интегральные или даже вариационные представления при рассмотрении задач механики или электромагнетизма. [c.16]

Другое преимущество вариационного подхода состоит в том, что основные уравнения (11.80)—(11.82) остаются неизменными, если среда медленно изменяется с изменением х и Это имеет место, например, в том случае, когда параметры а, р, -у в выражениях (11.76) зависят от X и Если изменение за один период мало, то усредненный лагранжиан можно получить так же, как и раньше, пренебрегая изменениями параметров а, р и "у за один период (и вкладами производных от со, к, а и т]). Тогда усредненный вариационный принцип (11.79) предлагается в прежнем виде с единственным исключением теперь X зависит от х и i явно, а не только через функции а (х, ) и 6 (х, ). Однако вариационные уравнения остаются без изменения следует только быть внимательным и учитывать дополнительные производные, возникающие при преобразованиях уравнений. В частности, энергетическое уравнение, как легко проверить, принимает вид [c.381]

Вариационные принципы механики, с одной стороны, имеют большое теоретическое значение, поскольку они выявляют энергетическую основу теории и устанавливают связь между различными подходами в описании проблемы теории. С другой стороны, важным является практическое значение принципов, поскольку они позволяют, во-первых, имея общие выражения для функционалов, находить дифференциальные уравнения и естественные граничные условия в любых конкретных случаях, что непосредственно в ряде случаев сделать затруднительно, а во-вторых, находить решения, минуя составление дифференциальных уравнений, при помощи так называемых прямых методов. [c.457]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

Оба описанных способа основываются на дифференциальных уравнениях теории упругости, но ими не исчерпываются возможные подходы к решению задач. Еще одна возможность заключена в использовании минимальных энергетических принципов и в применении основанных на них прямых методов решения вариационных задач. [c.126]

Для консервативных систем статический и энергетический критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, получающиеся при использовании статического метода, являются дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой приводит энергетический критерий. [c.267]

Мы здесь не предполагаем рассматривать полную вариационную формулировку задачи об устойчивости, но читатель самостоятельно может убедиться, что уравнение Эйлера для функционала (12.3.7) сводится к дифференциальному уравнению (12.2.3) с граничными условиями (12.2.5). Таким образом, энергетический метод приводит к тем же результатам, что и метод Эйлера. Но он позволяет судить об устойчивости прямолинейного состояния стойки. Непосредственной проверкой можно убедиться, что при v x) = С8т тгх/1) и при Р < Ркр = имеет место АЭ > О, т.е. состояние стойки устойчиво, а случаю Р > Ркр соответствует АЭ < О, и поэтому ее состояние неустойчиво. [c.386]

Для гауссового пучка на границе среды уравнения для f и F были получены вариационным методом из условия минимума энергетического функционала для класса решений [c.44]

В то время как исследования, в которых используются интегральные уравнения для потенциала, были в большинстве своем направлены на выяснение теоретических вопросов, в прикладной математике пытались найти общие методы решения инженерных задач, исходя из решения дифференциальных уравнений. На этом пути был ряд крупных достижений, к которым относятся различные усовершенствования в методах бесконечных рядов и конечных разностей, приближенные методы вариационного исчисления и, наконец, метод конечных элементов, что привело к созданию мощных и общих численных методов прикладной механики. Метод конечных элементов является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин. [c.9]

Ряд разделов содержит новые результаты или более совершенное изложение известных работ. В особенности отметим следующие разделы изложение вариационных принципов (п. 14, 15, 24 и 47), теорию динамического подобия (п. 36 и 66), теорию тензора напряжений (п. 59), энергетический метод (п. 73), обобщение теоремы Гельмгольца — Рэлея (п. 75) и некоторые новые формулы и уравнения, например (29.9), [c.7]

Задача имеет ряд особенностей. Во-первых, она нерегулярна [26] уравнения Эйлера Лагранжа не содержат управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Как выяснилось, это является внешним проявлением принципиально нового факта оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие и поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для их нахождения. Вторая особенность вытекает из первой и состоит в проблеме подсчета энергетических затрат. Для этого требуется определить корректный способ умножения импульсных управляющих воздействий на разрывные реализации скоростей звеньев ММР [19, 49. [c.6]

Классическая теория при некоторых упрощениях дает для этой задачи приближенную формулу (6.2). Опытные значения обычно лежат в пределах, которым в этой формуле соответствуют значения числового коэффициента от 0,18 до 0,60. При этом верхнее значение получается для наиболее тщательно изготовленных оболочек и для наиболее аккуратных условий эксперимента. Теоретическое значение нижней критической силы вычислялось для этой задачи приближенно — путем применения вариационных методов либо к системе уравнений нелинейной теории оболочек, либо к соответствующему энергетическому функционалу. Число варьируемых параметров в ранних работах было весьма невелико. Так, принимались выражения типа [c.344]

Следующий шаг в решении уравнения переноса — интегрирование по энергетическим интервалам групп и определение групповых сечений, в результате чего получаются многогрупповые уравнения Рл/-приближения. Когда угловое распределение потока достаточно хорошо описывается двумя первыми полиномами Лежандра Ро ( -1) и Р1(ц), получается многогрупповое Рх-прибли-жение. В гл. 4 показано, что если сделать некоторые предположения о энергетической зависимости потока нейтронов, Р -приближение будет эквивалент но многогрупповому диффузионному приближению или многогрупповому диффузионно-возрастному приближению. Другой (вариационный) метод получения многогрупповых уравнений р1-приближения обсуждается в гл. 6. [c.43]

Выведенные таким образом уравнения назовем уравнениями сме-манного типа [см. уравнение (2.3) в разд. (2.3)]. В гл. 6 показано, что, применяя вариационные принципы при построении соотношений для элемента, можно прийти к тем же результатам, если использовать энергетический принцип Рейсснера. Так как возможны отличные от приведенных выше комбинации основных уравнений упругости, то ясно, что можно построить и другие типы соотношений между силами и перемещ,ениями смешанного вида. [c.147]

В настояш,ее время термопругость вполне оформилась как научная дисциплина. Четко сформулированы ее исходные предположения, выведены основные соотношения и дифференциальные уравнения. Разработан ряд методов решения дифференциальных уравнений термоупругости, получены основные энергетические и вариационные теоремы. Обш,ие теоремы и методы термоупругости в качестве частных случаев содержат, естественно, теоремы и методы теории упругости и теории теплопроводности. [c.7]

В последнее время появились работы, в которых рассматривается сопряжение нескольких физических полей. В работах [9, 13, 20Ь—(1, 21, 22, 24, 29, 33, 35е— , 36, 45, 58а] рассмотрено совместное влияние температурного, магнитного и электрического полей и поля деформаций. В этом направлении получено много общих результатов определены основные уравнения магнитотермоупругости, сформулированы энергетические принципы, получены вариационное уравнение и теорема взаимности, рассмотре ны вопросы единственности решения уравнений, в некоторых задачах исследованы волновые процессы. [c.244]

Я. А. Пратусевича (1948) и др. В задачах устойчивости оболочек потеря устойчивости, как правило, сопровождается переходом через предельные точки кроме того, послекритические состояния оболочек представляют определенный технический интерес. Поэтому в теории устойчивости оболочек широко используются нелинейные уравнения и соответствующие энергетические функционалы. Вариационные методы служат здесь почти единственным средством получения конкретных численных результатов (X. М. Муштари, 1946, 1955 А. С. Вольмир, 1956, 1965 X. М. Муштари и К. 3. Галимов, 1957 А. В. Погорелов, 1962, 1966, 1967, и др.). Многие задачи решены при помощи процедуры П. Ф. Папковича (1939), согласно которой часть уравнений удовлетворяется точно, а часть — в вариационном смысле. Получил распространение также метод сведения задачи устойчивости к обыкновенным дифференциальным уравнениям (В. 3. Власов, 1932, 1939). [c.337]

Для получения конечноэлементной формулировки необходимо, чтобы уравнение, описываюш,ее физические законы конкретного явления, привязывалось к определенной области. Примерами таких связей являются функционал, соответствуюш ий вариационному принципу, и критерий малости в методе невязок. Определяюш,ие уравнения в обычной дифференциальной форме не годятся, поскольку они применяются к точке, а не к области. Одеи [15], однако, заметил, что имеются формы определяющих уравнений, которые можно использовать в качестве основы для метода конечных элементов. Например, в механике сплошной среды энергетический баланс для области может быть записан в общей форме или на основе контрольного объема. Аналогичным образом уравнения неразрывности могут быть получены [c.280]

Таким образом, существенным недостатком классического вариационного исчисления является практическая невозможность учета в сложных задачах ограничений в форме неравенств. В современной математике разработан ряд методов учета таких ограничений—метод штрафных функций, методы возможных направлений (проекционные методы), метод модифицированных множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Первые два метода, используемые в данной работе, будут рассмотрены ниже более подробно. Анализ метода модифицированных множителей Лагранжа применительно к энергетическим задачам проведен в работах [Л. 47, 48]. Исследования по применению принципа максимума Понтрягина к задаче оптимизации долгосрочных режимов ГЭС только еще начаты в работах Л. С. Беляева, Далина, Шена, Нариты [Л. 48, 95, 96]. Авторы отмечают большую перспективность этого метода решения задачи. Исследования но применению принципа максимума Понтрягина, по-видимому, позволят дать объективную оценку этому методу. В настоящей работе этот метод не рассматривается. Р ешение задачи на основе интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера не получило в настоящее время распространения, хотя и не доказано, что оно бесперспективно. [c.37]

Вместо метода Бубнова—Галеркина можно использовать вариационный принцип Гамильтона—Остроградского для соответствующего квадратичного функционала. Это позволяет расплирить класс допустимых базисных функций, введя в рассмотрение функции, которые удовлетворяют всем кинематическим, но не обязательно всем динамическим граничным условиям. Уравнения относительно функций qi, (t) сохраняют вид (27), а элементы матриц А, С, F и G определяют по формулам (28) с заменой скалярного произведения на соответствующие энергетические произведения. [c.249]

Некоторые авторы, прежде всего Плезет, Цвик и Зубр, рассматривали асимптотический рост и разрушение парового пузыря при кипении недогретой жидкости, считая такой рост и разрушение двумя отдельными процессами. На основе энергетических соображений и отправных предпосылок модели парового пузыря по Плезету и Цвику нам удалось вывести интегральное уравнение траектории поверхности раздела жидкость — пар в процессе роста и разрушения парового пузыря. Из этого интегрального уравнения находится простая зависимость как для асимптотического роста, так и для процесса разрушения, если отметить существование стационарной точки в момент разрушения и воспользоваться методами вариационного исчисления для отыскания траектории рост — разрушение. [c.410]

Отметим, что и являются именно параметрами, поскольку их введение не повышает порядок системы разрешающих уравнений. Ектественно, что и при вариационном подходе они не варьируются ( 9) — не являются энергетическими аргументами". [c.115]

В главе 4 описана общая схема дискретно-вариационного метода, имеющего наглядный физический смысл и основанного на дискретных энергетических представлениях — задании вида мощности внутренних сил для дискретных элементов, объединенпе которых моделирует деформируемое тело. Обсун<даются вопросы взаимосвязи ДВМ с МКЭ и ВРМ, отличительные особенности метода, его использование в численном моделировании однородных и неоднородных тел, многокомпонентных сред и сред с заданной структурой. Рассматривается обобщение ДВМ, проводится сопоставление его с миогоскоростными моделями гетерогенных сред. Для получения дискретных уравнений движения обобщенных узловых масс или уравнений Ньютона системы материальных точек с внутренними и внешними связями используется принцип виртуальных скоростей в дискретной форме. Решение этих уравнений — интегрирование по времени — осуществляется по явной схеме типа крест. Определяющие уравнения или реологические соотношения могут быть достаточно общего вида. Для удобства алгоритмизации они представляются в форме, разрешенной относительно напряжений п их скоростей. Приведены примеры построения дискретных моделей и алгоритмов численного решения одно-, дву- и трехмерных задач динамического деформирования оболочек на основе ДВМ. [c.7]

В предыдущей главе была поставлена и решена общая задача по выводу уравнений движения точки, претерпевающей изменение массы как функции самой массы, скорости и ускорения ее изменения в зависимости от времени. Несмотря на всю очевидную важность такого динамического исследования, вне рамок анализа остались вопросы энергетического обеспечения гинерреактивного движения и его фундаментальной связи с вариационными принципами механики. Решению этих задач посвящена первая часть главы. Другая часть содержит результаты исследования гинерреактивного движения в центральном поле тяготения в различных вариантах. [c.174]

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра ), Кармана ), Сайнджа ) и др. [c.388]

Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемой системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы прцдем к так называемым обобщенным уравнениям движения. [c.32]

В связи с попытками решения проблемы приведения вариационными методами следует отметить постановку задачи о наилучшем варианте системы дифференциальных уравнений для определения основных напряженных состояний. Обычно структура уравнений задана (например, в случае изгиба пластинки требуется, чтобы разрешаюш,ее уравнение было четвертого порядка), иш ется наилучшее в энергетическом смысле и постоянное по срединной поверхности распределение перемеш,ений и напряжений ло толш ине, выраженных через одну (искомую) функцию от % (Л. Я. Айнола, 1963). Задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений способом последовательных приближений. [c.263]

Первые дискретные модели несжимаемой жидкости строились также на основе принципа Гамильтона с дискретными условиями несжимаемости в виде голономных связей. Дальнейшая забота над ними привела сначала к добавлению неголономных связей ( 3.1, 5.3), затем к дополнению уравнений Лагранжа энергетически нейтральными обменными членами ( 5.3), позволившими в известном смысле развязать динамику среды и кинематику сетки и, наконец, к идее использования другого подхода на основе вариационного нринцина Гаусса (гл. 6), который поз- [c.8]

Теория оболочек, изложенная в монографии В. В. Новожилова (использованная и в настоящей книге), согласуется с вариационными энергетическими -принципами и теоремами взаимности, причем принятые в ней параметры допустимы в понимании В. Т. Койтера, но от уравнений, отнесенных к линиям главных кривизн, представленных в упомянутой монографии, не может быть осуществлен переход к уравнениям в тензорной ( юрме в общих координатах для произвольной оболочки. В частности, и в статико-геометрической аналогии в этой монографии должны иметься в виду не-тензбрные мембранные усилия и моменты. [c.130]

На первый взгляд можно ожидать, что уравнение (11.87) представляет собой усредненное энергетическое уравнение (11.70). Но примеры показывают, что множитель / (к) в и множитель (к) не совпадают. В то же время существует стандартный метод, ассоциирующий с вариационным принципом соответствующее энергетическое уравнение. Теорема Нётер утверждает, что каждой группе преобразований, относительно которой лагранжиан инва- [c.379]

Подход, использующий разложение (11.95), вполне пригоден для ряда линейных задач, включая задачи с неоднородной средой. Но (даже в большей степени, чем это было обнаружено при обсуждении усредненного энергетического уравнения в 11.6) после длительных вычислений, связанных со спецификой данной задачи, мы в конце концов обнаруживаем, что полученные результаты имеют общий характер. В случае обобщений на нелинейные задачи корректная форма разложения не сразу очевидна, выкладки могут стать угрожающими и общие результаты снова окажутся погребенными под ненужными деталями. Эти недостатки устраняются применением разложений, подобных (11.95), непосредственно к вариационной формулировке задачи. В сущности именно так оправдывйё гся вариационный подход. Но для этого требуется известная изобретательность, и в качестве подготовки полезно [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...