Интегралы системы дифференциальных уравнений

Решение основной задачи динамики можно еще свести к отысканию первых интегралов системы дифференциальных уравнений (7), т. е. соотношений вида [c.323]

Определение 3.5.1. Первым интегралом системы дифференциальных уравнений движения называется функция времени, координат и скоростей, сохраняющая постоянное значение для любого конкретного решения системы. Очевидно, что при переходе от одного решения системы к другому постоянные первых интегралов могут изменяться. [c.174]

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений удобно получать из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются некоторые дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, даже когда по ним нельзя определить первые интегралы, дают ценную информацию о движении точки или системы. В некоторых задачах, где не требуется полного знания движения системы, эти сведения могут оказаться достаточными. [c.256]

Из теоремы об изменении количества движения для точки и системы при некоторых условиях для внешних сил можно получить так называемые первые интегралы системы дифференциальных уравнений точки и системы. Эти первые интегралы называют законами сохранения количества движения или проекции количества движения на ось. Рассмотрим эти законы сохранения для точки и системы одновременно, считая материальную точку механической системой, состоящей из одной точки. [c.261]

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) црл заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной. зависимости силы от времени t, координаты х и скорости а. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде f t] х, у, г х, у, z) = С называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9). [c.234]

Из теоремы об изменении количества движения для точки и системы при некоторых условиях для внешних сил можно получить так называемые первые интегралы системы дифференциальных уравнений точки и системы. Эти первые интегралы называют законами сохранения [c.287]

Рассмотрим первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг закрепленной точки в случае, исследованном Лагранжем. [c.427]

Выяснить, всегда ли интегралами системы дифференциальных уравнений (П1. 12) и (III. 14) являются мероморфные и однозначные функции времени t если это не так, то найти те зависимости между коэффициентами уравнений (III. 12) и (III. 14), которые обеспечат упомянутый аналитический характер их интегралов на плоскости комплексной переменной t. [c.449]

Для разрешения этой задачи С. В. Ковалевская определяла интегралы системы дифференциальных уравнений движения твердого тела в форме разложений вида [c.449]

Общим интегралом системы дифференциальных уравнений движения (52) служит система уравнений в конечной форме [c.32]

Вихревые линии и вихревые поверхности. — Вихревая линия, есть кривая, касающаяся в каждой из своих точек вихря р, Ч, г в этой точке. Уравнения вихревых линий при данном Ь суть интегралы системы дифференциальных уравнений [c.312]

Пусть функция V(ati,. .., t) является интегралом системы дифференциальных уравнений (2), т. е. функция V при подстановке в нее любого решения системы (2) превращается [c.209]

ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 271 [c.271]

ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 273 [c.273]

ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 277 [c.277]

Интегралы системы дифференциальных уравнений. Теперь, после того как мы изучили основные свойства автономной системы второго порядка (т = 2), перейдем к системе общего вида [c.401]

J ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 403 [c.403]

Интегралы системы дифференциальных уравнений (10) могут быть представлены конечными уравнениями следующего вида [c.19]

Легко можно проверить, что уравнения (11) действительно являются интегралами системы дифференциальных, уравнений 10). Для этого составим выражение соответствующих частных производных [c.20]

Соотношения (II) также являются интегралами системы дифференциальных уравнений (I), причем первая группа интегралов не будет содержать явно время t и поэтому она будет являться геометрической группой интегралов, определяющей траекторию движения, изображающей точки в /г-мер ном пространстве. Последний интеграл, содержащий время t в яв ном виде, называется кинематическим, дающим закон движения изображающей точки по траектории. Вторая группа п—1) интегралов служит для определения импульсов ру [c.63]

Первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (4.83) будем называть такие функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, которые обращаются в постоянные в силу этой системы уравнений [c.227]

Для приложений гораздо удобнее другое определение первого интеграла, которое по существу эквивалентно приведенному выше. Именно, первым интегралом системы дифференциальных уравнений (5.32) называется функция f x, t), полная производная которой по времени равна нулю в силу данной системы дифференциальных уравнений [c.290]

Предположим, что интегралом канонической системы дифференциальных уравнений (132.5) является функция вида [c.374]

Если система первых интегралов (27) содержит менее 2п равенств, т. е. если т<с2п, то знания m первых интегралов недостаточно для того, чтобы полностью определить движение, однако эти первые интегралы можно использовать для того, чтобы упростить уравнения движения, в частности, для того, чтобы снизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение. [c.266]

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, отщепить часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. [c.271]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

Если известны к независимых первых интегралов у, ..., ук, то с помощью преобразования к координатам у, ..., ук, Хк+, ..., Хт исходная система дифференциальных уравнений может быть приведена к следующей [c.675]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений облегчается. Хотя отдельные [c.255]

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений Эйлера — Пуассона необходимо найти шесть первых интегралов данной системы, т. е. шесть соотношений вида [c.456]

Если из системы (9) удается найти три независимых первых интеграла, то задача интегрирования упрощается, так как вместо интегрирования системы дифференциальных уравнений второго порядка достаточно проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, которую представляют эти первые интегралы. [c.234]

Теорема 9.6.3. (Теорема о посл(щдем множителе). Если известны т—1 независимых первых интегралов системы дифференциальных уравнений и множитель Якоби М, то интегрирование этой системы заканчивается квадратурой. [c.676]

Соотношение, открытое Гамильтоном, дает новые заключения относительно метода вариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследуюп1 вм интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат известное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельном случае определятся через начальные положения и начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчки, то благодаря этому изменяются только значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета движется по эллипсу вокруг солнца и нолучает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому эллипсу или, может быть, по гиперболе, во всяком случае по коническому сечению, а форма уравнений остается la же. р]сли такие толчки происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто постоянные изменяются непрерывно и притом таким образом, что эти изменения в точности изображают действие возмущающих сил. Эта теория вариации ностоян-дых представится в течение нашего исследования в новом свете. [c.7]

Д. А. Граве исследовал вопрос о нахождении всех интегралов системы дифференциальных уравнений задачи трех тел, не зависящих от закона взаимодействия. Он доказал, что такими интегралами являются только классические. Эту теорему на задачу п тел обобщил Э. Ловетт [c.109]

К. П. Персндский. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений.— Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан, ун-те, 1936—1937, т. 8, серия 3, стр. 47— 86. [c.126]

Н. Г. Четаевым, который предложил взять линейную комбинацию (с постоянными коэффициентами) левых частей первых интегралов системы дифференциальных уравнений движения (либо их квадратов и произведений), подобрав коэффициенты так, чтобы это выражение было положительно знакоопределенной функцией. Сам Четаев таким образом исследовал устойчивость движения продолговатого снаряда по настильной траектории и получил обоснование известного критерия устойчивости, выведенного в свое время выдающимся баллистиком Н. В. Маиевским. [c.135]

Однако только в очень редких случаях удаётся найти все шесть первых интегралов. Но часто бывает достаточно знать один или два первых интеграла. Методы нахождения первых интегралов системы дифференциальных уравнений, описьшающих движение, основаны на общих теоремах динамики материальной точки. [c.87]

Если найдено I интегралов д = д, . .., д = д1 системы (11), то они называются независимыми, если функциональная матрица, образованная из та + 1 частных производных этих интегралов по Хк, I, имеет ранг I. Далее, интеграл называется алгебраическим, если он является алгебраической функцией от Хк, I. Следовательно, выгпе у нас были найдены в случае п > 1 десять алгебраических интегралов системы дифференциальных уравнений задачи п тел (4) легко видеть, что они независимы. Брунс [5] доказал интересную теорему не существует ни одного алгебраического интеграла системы (4), который был бы независимым от десяти классических. Отсюда следует, что каждый алгебраический интеграл системы (4) будет алгебраической функцией уже известных десяти интегралов. С другой стороны, в силу теоремы существования система (4) должна иметь 6п независимых интегралов, но они при 6п > 10 не могут быть все алгебраическими. Так как доказательство теоремы Брунса очень длинно, оно не может быть, к сожалению, здесь помещено. [c.42]

Резюме видим, следовательно, что условие, необходимое для того чтобы ряды (2) могли представлять обпще интегралы системы дифференциальных уравнений (1), выполняется только тогда, когда постоянные А, В, С, Xq, yo, удовлетворяют одному из следующих четырех условий [c.58]

Замечание 1.1. Существование псевдогруппы инвариантности (или, что одно и то же, алгебры, определяемой решением операторного уравнения (1.3)) не является каким-либо существенным ограничением, накладываемым на систему нулевого приближения. Например, если система (1.1) обладает общим решением в некоторой подобласти V из С, то можно показать, что существует п л1шейно несвязных решений уравнения (1.3) в V. Справедливо также обратное утверждение. В процессе обоснования алгоритма асимптотической декомпозиции обнаруживается, что существование псевдогруппы инвариантности связано с наличием интегралов системы дифференциальных уравнений, сохраняющих точку покоя, и рядом других фундаментальных понятий. [c.93]

Полученные уравнения янляются достаточно сложными. В следующем параграфе эта же задача будет рассмотрена другим методом и будут найдены первые интегралы составленной системы дифференциальных уравнений. [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...