Уравнение среды

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

Материал среды принимается однородным, изотропным, подчиняющимся определяющим уравнениям среды, а также условию пластичности Треска. Предполагается, что движения продуктов взрыва и среды изохронны, причем распространение возмущений на большие расстояния происходит мгновенно, скорости частиц среды во всех точках выражаются через скорости частиц на поверхности полости. [c.88]

Широкое распространение при решении задач тепломассообмена получили приближенные методы. Из первой главы следует, что эти задачи, как правило, содержат нелинейные уравнения в частных производных. Применение классических методов математической физики, описанных в гл. 4, 5, 6, эффективно лишь при решении относительно простых линейных уравнений. Поэтому велика роль приближенных методов, с помощью которых можно решать нелинейные уравнения. Среди наиболее эффективных приближенных методов, применяемых к задачам тепломассообмена, можно указать интегральные методы, методы последовательных приближений, асимптотическое методы. [c.267]

Поверхности прочности в пространствах напряжений и деформаций не являются независимыми, поскольку из непрерывности функций в уравнениях (5) и (10) следует возможность взаимно однозначного перехода от одних независимых переменных к другим (от напряжений к деформациям и наоборот), причем связь между этими переменными дается определяющими уравнениями среды. Если используемый критерий определяет начало нелинейной области механического поведения композита, до этого подчинявшегося закону Гука, то переход от одних [c.415]

Совместные уравнения среды и набивки. Из предшествующих рассуждений с учетом сделанных допущений и условий процесс теплообмена в рассматриваемом типе нестационарных теплообменников описывается такой системой двух дифференциальных уравнений в частных производных [c.181]

Из рассмотрения фиг. 4 можно получить соотношение между падением давления и величиной расхода жидкости или газа при истечении через щель конечной длины в направлении оси х и бесконечной протяженности по оси г. Высота щели по оси у считается равной радиальному зазору. При выводе этих уравнений среда считалась несжимаемой, а режим течения ламинарным. [c.50]

В работе [18] предложена модель единого определяющего уравнения среды, объединяющая оба рассматриваемых класса реологических уравнений. Предполагается, что плотность подвижных дислокаций задается функцией сдвига у и максимального касательного напряжения [c.187]

Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волновым числом k и частотой со (рис. 8.11). Это означает, что электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохроматической электромагнитной волны с частотой (О будет распространяться вдоль оси Z в соответствии с выражением Е - exp[j((o/ — kz)], где к = к ьз) определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фаза волны равна [c.515]

Еще большие метаморфозы могут произойти с уравнениями среды. Все предыдущее рассмотрение относится лишь к тому (правда, распространенному) случаю, когда состояние активной среды в любом элементарном ее объеме при заданных условиях накачки однозначно определяется плотностью проходящего через этот объем излучения генерации. Это имеет место, в частности, у большинства типов импульсных лазеров. Тогда можно говорить не только о к.п.д. генератора в целом, но и об эффектив- [c.197]

Для нахождения самосогласованного решения в подобных случаях используются разные методы, наиболее простым и естественным из которых является итерационный. Простейшая итерационная процедура заключается в следующем. Берется некоторое начальное распределение поля (обычно равномерное) это распределение подставляется в уравнения среды, последние решаются и находится пространственное распределение коэффициента усиления. Далее рассчитывается новое распределение поля как результат однократного прохождения исходного пучка через резонатор с активной средой. Вновь полученное распределение поля подставляется в уравнения среды и т.д. [c.198]

Гц) функцию fe (е) можно считать стационарной. Такое упрощение позволяет определить (е) и компоненты элементарных процессов как самостоятельную задачу в общей схеме, не связанную, например, в импульсном режиме возбуждения активной среды с кинетическими уравнениями среды. Исходное уравнение Больцмана для стационарной части (е) имеет следующий вид [128 ]i [c.61]

Для количественного описания явлений сложения (вычитания) частот нужно использовать уравнения Максвелла, которые дают замкнутое описание, если известна связь их правых частей (поляризации, плотности квадрупольных моментов и т. д.) с падающим электромагнитным полем. Эта связь задается материальными уравнениями среды. В простейшем случав немагнитной среды без пространственной дисперсии материальные уравнения имеют вид [1-8] [c.9]

Перейдем к работам по теории устойчивости, не укладывающимся (частично или целиком) в рамки теории Ляпунова. Большой цикл работ по устойчивости принадлежит Н. Д. Моисееву. Многие из них посвящены задачам небесной механики и, кроме теории Ляпунова, используют методы общей качественной теории дифференциальных уравнений. Среди них выделяются работа Н. Д. Моисеева и серия статей о траекториях в ограничен- 131 ной задаче трех тел. [c.131]

Напишем уравнения, среды (G) [c.379]

В уравнениях среды с кубичной нелинейностью есть члены типа р (или эквивалентные им), при зтом возникают отклики в направлении сигнала и обращенной волны. [c.199]

Это соотношение определяет (в неявной форме) материальное уравнение среды и тензор диэлектрической проницаемости [c.206]

Уравнения Максвелла совместно с материальными уравнениями среды и законом Ома, уравнения движения и обобщенное уравнение теплопроводности для изотропных электропроводных тел нетрудно получить из соответствующих уравнений для анизотропных тел. В системе СИ они имеют вид [c.277]

Механика сплошной среды в деятельности, развитии и росте биологических тканей. Моделирование, энергетический баланс мышечной деятельности биосистем, в том числе человека использование математической модели двухфазной, многокомпонентной среды с химическими реакциями для изучения функционирования мышц механизмы и математические модели роста биологических тканей, использующие уравнения среды с распределенными источниками массы. [c.33]

Для получения уравнений среды Максвелла в сложном напряженном состоянии нужно продифференцировать закон Гука (2) по времени и сложить его правую часть с правой частью обобщенного закона вязкости Ньютона (6). [c.137]

Общее уравнение сред подобного типа можно записать в форме [c.139]

Уравнения, записанные в переменных Рг, учитывают движение жидкости, вызванное деформацией границы контакта сред. Если при высокоскоростной деформации границ объем, занимаемый жидкостью, заметно увеличивается, то она теряет сплошность. Это происходит в области, прилегающей к деформирующейся поверхности. Частицы разрушенной жидкости в зонах кавитации движутся с большими скоростями, а волновые процессы выражены слабо (в силу малости скорости звука). Уравнения среды в зонах кавитации желательно записывать в координатах рг и сохранять в них конвективные члены. [c.69]

Чтобы замкнуть систему уравнений МСС, вводят определяющие уравнения среды — уравнения состояния, связывающие т с тензором деформации (и содержащие другие необходимые связи). Но для упругого тела такой длинный путь построения модели не обязателен, в чем читатель сейчас и убедится. [c.57]

Эта глава посвящена задачам динамического деформирования сред, геометрия которых и краевые условия обладают сферической или цилиндрической симметрией. Рассмотрим последовательно задачи для случая сферических волн, цилиндрических радиальных волн и цилиндрических волн сдвига на основе различных определяющих уравнений сред, представленных в гл. I. Благодаря предположению симметрии в этих задачах все параметры, определяющие состояние исследуемой среды, являются функциями только одной пространственной переменной и времени. В отличие от задач, представленных в предыдущей главе, здесь мы будем иметь дело со сложным напряженным и деформированным состоянием. Ограничим наши рассмотрения случаем малых деформаций среды. [c.153]

Дисперсия, связанная с наличием в среде временных масштабов, обычно называется временной, а с наличием пространственных масштабов — пространственной. Заметим, что такая классификация удобна лишь в электродинамике, где можно говорить отдельно об уравнениях среды и поля. На формальном языке уравнений дисперсия — это нелокальная зависимость между различными физическими переменными во времени или пространстве. Так, в электродинамике сплошных сред пространственная дисперсия связана с тем, что электрическая индукция В в данной точке пространства определяется значением напряженности Е электрического поля не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности, т. е. В и Е связаны нелокально в пространстве [c.74]

Большинство методов решения уравнений в частных производных основано на приведении их тем или иным путем к некоторой совокупности обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Среди таких методов одним из наиболее важных для линейной теории является метод Фурье разделения переменных и его обобщение — интегральные преобразования, которым и посвящена данная глава. [c.44]

Следует отметить, что в последние годы появилось очень большое число монографий по механике разрушения. Упомянем семитомный переводной труд энциклопедического характера Разрушение , монографии Морозова и Партона, Черепанова, ряд переводных сборников. Многие авторы понимают под механикой разрушения именно и только механику распространения трещины. Но в теории трещин предполагается, что материал остается упругим и не меняет своих свойств всюду, кроме окрестности конца трещины, которая или стягивается в точку в линейной механике, или рассматривается как пластическая область или область больших упругих деформаций. Такая точка зрения далеко не исчерпывает многообразия реальных процессов разрушения. При переменных нагрузках, например, уже после относительно небольшого числа циклов в материале появляются субмикроскопические трещины, которые растут и сливаются в макроскопические трещины, приводящие к видимому разрушению. Не вдаваясь в детали микроскопической картины, этот процесс можно представить как накопление поврежденности, характеризуемой некоторым параметром состояния. Кинетика изменения этого параметра должна быть включена в определяющие уравнения среды. Такая точка зрения лежит в основе того, что можно назвать механикш рассеянного разрушения. Соответствующая теория развивается применительно к усталости металлов и длительной прочности при высоких температурах. [c.653]

Для описания кривых нагружения поликристаллов, следовательно, и для обработки этих кривых используются эмпирические уравнения, среди которых широко распространенными можно считать уравнения (3.24) Людвика [3141, Холломона [315] [c.133]

В этих уравнениях р — внутреннее давление, D — наружный диаметр, t — толщина стенки. Приведенные уравнения можно рассмат эивать как типичные уравнения среди многочисленных расчетных уравнений [21, 22] для труб, находящихся под воздействием температур и высоких давлений. Ранее для расчета котельных труб широко применяли уравнение ASME [c.146]

В работе [15] в уравнения среды включены упруговязкие члены Максвелла, описывающие процесс релаксации во времени касательных напряжений. На основе этой модели в [16] исследованг структура пррфиля ударной волны в упруговязкой среде с нелинейной зависитстью максвелловской вязкости (величины, обратной времени релаксации касательных напряжений) от параметров состояния вещества. Для одномерного движения вдоль оси я релаксационное уравнение записывается в виде [c.188]

Обьиный метод решения сингулярного интегрального уравнения состоит в регуляризации по Карлеману—Векуа и в последующем численном решении полученного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Такой подход очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод Мультоппа—Каландия [5], основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного интеграла. [c.243]

Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в численных расчетах наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основа1шый на определенных формулах, для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314, 315, 341, 360, 4191. [c.52]

В работе [20] показано, что в случае обратимых деформаций, если известно одно из определяющих уравнений, то, пользуясь методами термодинамики, можно написать дифференциальные уравнения для термодинамических потенциалов. Таким образом, для того, чтобы найти эти потенциалы, необходимо произвести механические и термические измерения, которые дали бы возможность сформулировать условия Коши для упомянутых дифференциальных уравнений. Такой подход на несколько порядков сокращает объем экспериментов по сравнению с чисто эмпирическим подходом к этой проблеме. Заметим, что если известны термодинамические потенциалы, то определяющие уравнения находятся простым дифференцированием. Если известно одно из чисто механических определяющих уравнений среды, т. е. уравнение, в которое не входят температура или энтропия, то также представляется возможным записать дифференциальное уравнерие для плотности механической потенциальной энергии деформации . Однако в этом случае в условия Коши принципиально не могут быть введены параметры температуры или энтропии. Таким образом, этот метод непригоден для нахождения термических или калорических определяющих уравнений сплошной среды. [c.57]

Прямая система электромеханических аналогий не является един-ственно возможной. Можно составить и другие системы аналогий, основанные на сходстве дифференциальных уравнений. Среди них в электроакустике используют обратную (инверсную) систему аналогий, Она основана на сходстве уравнений (11.3.10) для простой механической системы с соединением механических элементов в цепочку с (И.3.8) для электрической цепи с последовательным соединением электрических элементов. Эти уравнения подобны, и можно построить систему аналогий, в которой механическим аналогом индуктивности является гибкость, аналогом сопротивления потерь — величина, обратная механическому сопротивлению, аналогом напряжения — скорость. Такую систему называют инверсной. При этом параллельному соединению электрических элементов соответствует в механических системах соединение в узел, последовательному — в цепочку. Сравнивая элекромеханические схемы одного и того же механического устройства, составленные по прямой и инверсной системам аналогий, видно, что они дуальны одна из них импедансная, а другая представляет собой схему обратных сопротивлений. Пользуясь правилом перехода от одной дуальной цепи к другой, легко перейти от схемы, составленной согласно прямой системе электромеханических аналогий, к соответвующей инверсной схеме. [c.61]

Напряженно-деформированное состояние характеризуется шестьк компонентами тензора напряжений, шестью компонентами тензорг деформаций и тремя компонентами вектора перемещения или векторг скорости течения. Все эти неизвестные связаны между собой пятнадцатью уравнениями. Среди них три уравнения движения или равновесия [c.74]

В более общем виде определяюшде уравнения сред с памятью могут быть представлены с помощью функционалов вида [c.81]

Физические соотношения. Такие соотношения, называемые иногда уравнениями среды или определяющими соотношениями, связывают напряжения с относительными деформациями. Известно большое количество мер (определений) деформаций. Наиболее распространенной среди них является мера Коши, согласно которой линейная относительная деформация (ео> представляет собой отно- [c.303]

Переход от передаточной функции типа (3.19), связывающий частотновременные импульсы вход-выход, к уравнениям (3.89) и (3.90), определяющим связь между волновыми импульсами вход-выход в продольном и поперечном направлениях соответственно, должен учитывать дисперсионное уравнение среды, устанавливающее функциональную зависимость со = И (хт ). Написанные уравнения предполагают эту зависимость линейной, т.е. со = txxi. Такой подход соответствует модели замороженной среды и справедлив для компонент с совпадающими фазовой и конвективной скоростями. Используя для взаимного спектра и его составляющих выражения в форме (4.54), получим на основании (3.92) две компоненты [c.99]

По соображениям, которые сделаются ясными из последующего излон епия, я пришел к следующему обобщению этого понятия. Я буду называть пространство аффинной связности, заданное коэффициентами Несуществующего и нем параллельного перенесения, к -кратно проективным, если его геодезические линии выражаются в соответствующей координатной системе системой уравнений, среди которых имеется к линейных. Такое /с-кратно проективное пространство п измерений мы будем обозначать Р . Это обобщение представляется тем более целесообразным, что свойство, которым определяется /с-кратно проективное пространство, остается инвариантным относительно линейного преобразования координат (относительно коллинеа-ции). В соответствии с этим мы будем называть координатную систему, в которой осуществляется указанное выше свойство пространства Р , проективной. Обыкновенное [c.23]

Зная дисперсионное уравнение среды, заполняющей резонатор f ) = О, и спектр волновых чисел (4.46) или (4.47), мы можем получить уравнение относительно одной переменной A(w) = кп) = = О, определяющее спектр нормальных частот резонатора. Именно это уравнение и есть аналог характеристического уравнения для сосредоточенных систем. Например, в случае среды без дисперсии при идеальных отражениях на концах кп = ттп/1 и = ттпЦЫЬС) = kn/ VL ) (рис. 4.21). Каким при эквидистантном спектре к будет спектр ш, если среда обладает дисперсией Качественное поведение спектра, зная дисперсионные характеристики, можно получить с помощью элементарного графического построения, которое ясно из рис. 4.22 и 4.23. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...