Метод штрафных функций

На рис. 6.6 иллюстрируется метод штрафных функций в одномерном случае. Допустимая область S определяется ограничением 7 (Х) 0, в этой области / (X) и Ф(Х, t) совпа-дают. В области, где 7 (Х)<0, функция Ф(Х, t) резко возрастает. На рисунке Х( и X — точки безусловного и условного минимумов. [c.291]

Исходя из организации поиска условного оптимума иногда метод штрафных функций называют методом внешней точки, а метод барьерных функций — методом внутренней точки. [c.292]

Преобразование задачи осуществляется путем введения новой целевой функции в течение всего процесса поиска или на отдельных его этапах. Систематическая см ена целевой функции характерна для методов штрафных функций, а эпизодическая — методов скользящего допуска. Указанные методы наиболее эффективны для преобразования задач, а сами преобразования целесообразны в тех случаях, когда ограничения задачи носят нелинейный характер. В тех случаях, когда в формулировку задачи включены как нелинейные, так и линейные ограничения, нередко используется комбинированный подход. Преобразование задачи осуществляется только относительно нелинейных ограничений, т. е. исходная задача сводится к задаче с новой целевой функцией и прежними линейными ограничениями. [c.129]

Идеи методов штрафных функций и скользящего допуска описаны в приложении И. Однако выбор формы непосредственно функции штрафа и характера последовательности коэффициентов стоимости штрафа осуществляется двояко в зависимости от вида ограничений. [c.129]

Составляющие функций Лагранжа (П.32) и (П.ЗЗ), куда входят множители gi, в совокупности оказывают влияние на значение Q только при нарушении ограничений. В противном случае сумма этих составляющих равна нулю и значения Q и Но совпадают. Поэтому указанной сумме составляющих придается смысл штрафа за нарушение ограничений, а множители g, трактуются как коэффициенты стоимости, определяющие величину штрафа. Исходя из этой аналогии, развит метод штрафных функций, идея которого принадлежит Куранту [76]. [c.252]

Методы штрафных функций так же, как и метод множителей Лагранжа, преобразует исходную задачу к задаче без ограничений. Отличие состоит в том, что вместо функции Лагранжа используется функция более общего вида, а именно [c.252]

При алгоритмической реализации метода штрафных функций большое значение для обеспечения сходимости поиска имеет выбор коэффициента штрафа г. Для иллюстрации в табл. 5.6 приведены результаты минимизации объема генератора с использованием метода внешних штрафных функций в зависимости от значения г [28]. В данном случае оптимальным с точки зрения скорости определения экстремума [c.168]

При рассмотрении особенностей решения задачи градиентным методом с учетом ограничений с помощью штрафных функций вначале разберем случаи, когда ограничения по W и Qb, учитываемые проекционным методом, отсутствуют. Ниже специально будет рассмотрено сочетание проекционного метода и метода штрафных функций при учете всех режимных ограничений. [c.49]

Известно, что сходимость итерационного процесса решения при минимизации целевой функции со штрафами существенно понижается по сравнению со случаем минимизации целевой функции без штрафов. Поэтому в методе штрафных функций особенно желательно использовать возможные способы убыстрения сходимости итерационного процесса решения задачи. Рассмотрим такие способы. [c.49]

Система (4.20) содержит и + X алгебраических уравнений, где п - размерность пространства управляемых параметров, ее решение дает искомые координаты экстремальной точки и значения множителей Лагранжа. Однако при численном решении (4.20), что имеет место при использовании алгоритмических моделей, возникают те же трудности, что и в методе Ньютона. Поэтому в САПР основными методами решения ЗМП являются методы штрафных функций и проекции градиента. [c.167]

Важная идея методов штрафных функций - преобразование задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации путем формирования новой целевой функции Ф(Х), за счет введения в исходную целевую функцию F(X) специальным образом выбранной функции штрафа S(X) [c.167]

Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно методам внутренней точки (иначе называемым методами барьерных функции), исходную для поиска точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки - как внутри, так и вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограничений были определены). Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(д ) и соотношение между условным в точке и безусловным в точке д , минимумами F x) в простейшем одномерном случае иллюстрируется рис. 4.10. [c.167]

Ограничения (74) типа не равно можно также ввести в,исходную целевую функцию. Для этого ограничения типа (75) приводятся к виду (74). Описанный выше подход, заключающийся в сведении задачи с ограничениями к задаче оптимизации без ограничений, называют методом штрафных функций. [c.308]

Таким образом, задача оптимального управления сводится к применению методов прямого поиска. Если имеются граничные условия, то, применяя метод штрафных функций, решение можно свести к решению обычной задачи поисковой оптимизации. [c.310]

Пример 7.5. Для диска турбины (рис. 7.6, б) подбирали первоначальный вынос (смещение) обода для уменьшения его осевого перемещения в результате деформации. На диск действуют равномерно распределенная осевая нагрузка (рис. 7.6, а) и момент на ободе диск неравномерно нагрет по толщине (рис, 7.6, в). С помощью выноса обода удалось существенно уменьшить изгибающие нагрузки и осевое перемещение ободной части во время работы (сплошной линией даны прогибы диска без смещения обода, штриховой —- прогибы при оптимальном смещении рис. 7.6, г). В диске из-за конструктивных особенностей можно было варьировать только вынос обода диска. Получение диска минимальной массы при оптимальном угле подъема срединной линии (меридиана) профиля достигается путем последовательных расчетов. Может быть использован также метод штрафных функций. [c.210]

Контактные задачи принадлежат к классу задач с ограничениями. По своей природе они являются нелинейными, так как при их решении требуется определить заранее неизвестную границу контакта двух (или более) тел и контактные силы взаимодействия этих тел. Наиболее известны такие методы решения контактных задач, как методы множителей Лагранжа и штрафных функций. Применение метода множителей Лагранжа к решению этих задач приведено в [1, 2, 7, 50, 59, 69, 82, 91, 92, 102], а применение метода штрафных функций развито в [1, 2, 55, 57, 58, 69-71, 85-87, 91, 92, 102, 114]. У каждого из этих методов есть достоинства и недостатки. Для метода множителей Лагранжа точно выполняются кинематические условия контакта, но вводятся дополнительные уравнения для множителей Лагранжа и получается усложненная формулировка уравнений. В то же время для метода штрафных функций число уравнений при введении условий контакта не меняется, однако в численном алгоритме точно удовлетворить кинематические условия контакта не удается. Введение большого коэффициента штрафа приводит к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости, а для малого коэффициента штрафа ухудшается выполнение кинематического условия контакта тел. Поэтому выбор величины штрафа является непростой задачей. [c.6]

В книге приводятся формулировки контактных задач и алгоритмов численного решения этих задач, основанные как на методе множителей Лагранжа, так и на методе штрафных функций. [c.7]

Таким образом, контактная задача представляет собой формулировку уравнений для движения двух тел с наложенными кинематическими (4.45) и статическими (4.46) ограничениями на их движения друг относительно друга. Существует два наиболее известных метода решения задач с ограничениями метод множителей Лагранжа и метод штрафных функций. Суть решения [c.152]

Формулировка контактной задачи с помощью метода штрафных функций [c.153]

Основная идея решения контактных задач методом штрафных функций состоит в том, чтобы к стандартному уравнению принципа возможных перемещений, примененному к двум независимым телам, которые входят в контакт, добавить потенциал контактных сил вида [69, 85, 86, 92, 102, 114] [c.153]

Применение метода штрафных функций к решению контактных задач равносильно введению фиктивных пружин на границе контакта, которые предохраняют контактирующие тела от взаимного проникновения. [c.154]

Здесь G — некоторая функция типа (6.20) е > О — заданная достаточно малая величина (параметр штрафа) к — некоторая константа, которая определяется ниже. Предполагая, что второй член в правой части (6.21) имеет конечную величину, получаем, что 0(1з) —) О при б —) 0. Потенциал (6.21) соответствует решению задачи с условием несжимаемости методом штрафных функций. Чем меньше параметр е, тем лучше удовлетворяется условие несжимаемости. [c.200]

Решение контактной задачи методом штрафных функций [c.239]

Сформулированную задачу нелинейного программирования предлагается решать методом штрафных функций в сочетании с методом сопряженных градиентов. В работе этот метод использован для решения оптимизационной задачи по определению минимума функции многих переменных f (х) при наличии ограничений gi (х) = О (i = О, 1, 2. ..). Известны две группы методов решения подобных задач . В первой группе методов ограничения учитываются с помощью множителей Лагранжа . С этой целью составляется функция Лагранжа [c.105]

Для использования метода штрафных функций в виде (3.56) необходимо преобразовать ограничения (3.53) [c.106]

Совокупность методов НЛП, в зависимости от ограничений в математических моделях оптимизации, делится на две группы методы безусловной оптимизации и методы условной оптимизации. Первые используют для решения задач без ограничений на оптимизируемые параметры, вторые — для задач с ограничениями. Следует отметить, что методы безусловной оптимизации (см. описание методов штрафных функций) можно использовать и при решении задач с ограничениями, предварительно приведенных к задачам без ограничений. [c.152]

Основная идея метода штрафных функций заключается в преобразовании исходной задачи нелинейного программирования к последовательности задач без ограничений [44], что позволяет использовать для их решения методы безусловной минимизации. При указанном преобразовании минимизируемую функцию конструируют таким образом, чтобы в процессе поиска либо препятствовать выходу из допустимой области изменения параметров, либо обеспечить быстрое возвращение в нее. [c.170]

Согласно методу штрафных функций эту задачу можно преобразовать в следующую задачу безусловной минимизации функции [4]. [c.170]

Таким образом, алгоритм последовательной безусловной минимизации методами штрафных функций заключается в выполнении следующих шагов. [c.172]

Более полно и строго метод штрафных функций изложен в работе [44]. [c.173]

Описанная оптимизационная модель (119)—(127) относится к классу моделей нелинейного программирования. Для решения задач этого класса широко применяют метод штрафных функций [44]. В соответствии с этим методом исходная задача определения оптимальных параметров хомутового соединения, обеспечивающих минимум целевой функции (119) и выполнение ограничений (120)—(127), сводится к задаче последовательной безусловной минимизации штрафной функции [c.203]

Решение задачи существенно упрощается, если использовать методы штрафных функций, которые имеют одну общую черту во всех этих методах осуществляется преобразование задачи нелинейного программирования в одну (эквивалентную исходной) задачу без ограничений либо в эквивалентную последовательность задач без ограничений [163]. В процессе минимизации объединенной функции качества Роб (х) к функции Р (х) добавляется штрафная функция, которая способствует тому, чтобы вектор в некоторой степени удовлетворял исходному ограничивающему условию [c.256]

Одним из наиболее простых и широко известных методов решения задачи математического программирования является метод штрафных функций. Основная идея метода состоит в приближенном сведении задачи ми-нимизации функции F( ) при ограничениях Q,(XXO, i=l, п, к задаче минимизации функции [c.290]

Для поиска локальных оптимумов используются однопарамвтрические методы оптимизации (метод покоординатного спуска в сочетанжи с методом золотого сечения), Функщюнально-технические огранячендя на систему пластин целесообразно учитывать методом штрафных функций fij. Тогда алгоритм оптимизации заключается в минимизации функции [c.131]

К первому способу относятся дифференциальные градиентные методы, или методы с малым шагом. Они могут быть использованы для решения задач оптимизации в случае задания ограничений в виде системы равенств. Проблема учета границ здесь решается введением функции Лагранжа [9]. Больший интерес представляют методы с конечным шагом, т. е. все методы возможных направлений [10]. В методе штрафных функций [111 градиентный метод поиска экстремума применяется к сумме оптимизируемой функции и функций ограничения, взятых с некоторыми весо- [c.18]

Метод штрафных функций заключается в том, что задача нелинейного програм.мирова- ния сводится к задаче оптимизации без ограничений путем изменения целевой функцииф(х) [c.133]

Таким образом, существенным недостатком классического вариационного исчисления является практическая невозможность учета в сложных задачах ограничений в форме неравенств. В современной математике разработан ряд методов учета таких ограничений—метод штрафных функций, методы возможных направлений (проекционные методы), метод модифицированных множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Первые два метода, используемые в данной работе, будут рассмотрены ниже более подробно. Анализ метода модифицированных множителей Лагранжа применительно к энергетическим задачам проведен в работах [Л. 47, 48]. Исследования по применению принципа максимума Понтрягина к задаче оптимизации долгосрочных режимов ГЭС только еще начаты в работах Л. С. Беляева, Далина, Шена, Нариты [Л. 48, 95, 96]. Авторы отмечают большую перспективность этого метода решения задачи. Исследования но применению принципа максимума Понтрягина, по-видимому, позволят дать объективную оценку этому методу. В настоящей работе этот метод не рассматривается. Р ешение задачи на основе интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера не получило в настоящее время распространения, хотя и не доказано, что оно бесперспективно. [c.37]

Из математики известно [Л. 30], что в сравнении с другими методами (например, методом штрафных функций) проекционный метод учета ограничений в оптимизационных задачах нелинейного программирования обеспечивает сходимость итерационного процесса решения за меньшее число итераций, особенно при линейных или близких к линейным ограничениям, что имеет место и в нашей задаче. Однако проекционный метод может дать выигрыш во времени решения задачи в целом лишь тогда, когда трудоемкость проектирования вектора-антиградиента на поверхность ограничений невелика. [c.48]

Для получения направления, близкого к проекции вектора-антигра-диента целевой функции на поверхность ограничений наиболее часто используется аппарат линейного программирования (метод возможных направлений Зойтендейка [Л. 29]). В нашей задаче проектирование указанного вектора на поверхность ограничений сводится к минимизации линейной формы (2-29) при учете всех режимных ограничений, причем нелинейные ограничения должны быть предварительно линеаризированы в окрестности рассматриваемой точки. Проверка показала, что применять в этом случае хорошо разработанный аппарат линейного программирования (например, симплекс-метод) нецелесообразно, так как решение только этой линейной вспомогательной задачи потребует весьма больших затрат машинного времени. Выходом из положения является разработка специализированных алгоритмов я программ решения линейной вспомогательной задачи, требующих небольших затрат машинного времени. Оказалось возможным разработать такой сравнительно простой алгоритм проекционного метода лишь для ограничений по W я Qb- Для учета же ограничений по расходам воды в нижние бьефы ГЭС и мощностям ГЭС рекомендуется использовать штрафные функции. Таким образом, предлагаемый алгоритм оптимизации долгосрочных режимов ГЭС является комбинированным он базируется на сочетании проекционного метода и метода штрафных функций. [c.49]

Взаимодействие двух соосных цилиндрических оболочек разной длины с зазором между ними при нагружении внутренним давлением оболочки меньшего радиуса hjy4eno в [245, 250]. Авторы работы [250] сопрягают аналитические решения уравнений равновесия оболочек в зоне контакта и вне ее, получают систему уравнений относительно произвольных постоянных, находят осевую координату границы зоны контакта, решая систему трансцендентных уравнений. Сочетание вариационно-разностного метода с методом штрафной функции применено в [245]. Обжатие в обеих работах не учтено, использованы теории Кирхгофа — Лява, Тимошенко, Рейсснера. [c.15]

После того, как поверхность контакта на некоторой итерации определена, необходимо нгийти контактные силы, предотвращающие взаимные проникновения контактирующих тел. Для их определения следует добавить член, полученный варьированием потенциала контактных сил, в стандартное уравнение принципа возможных перемещений. В зависимости от вида потенциала получаем формулировку контактной задачи с помощью либо метода множителей Лагранжа ( 4.5.2), либо метода штрафных функций ( 4.5.3). [c.231]

Из (7.73) следует, что значение нормальной (касательной) контактной силы пропорционально значениям нормального (касательного) штрафа и нормального (касательного) перехлеста. Таким образом, использование метода штрафных функций в случае контакта без проскальзывания эквивалентно введению фиктивных пружин, действующих вдоль нормального и касательного направлений к пассивному сегменту с модулями Юнга, равными значениям штрафных параметров и 0)4. [c.243]

Первоначально, при решении задачи использовался метод штрафной функции Пауэлла—Хестенса—Рокафеллера [163], который прост в реализации, лишен недостатков вычислительного характера, присущих традиционным методам штрафных и барьерных функций, и обладает достаточно быстрой сходимостью. Однако опыт расчетов показал, что для технических задач, не требующих высокой точности расчета параметров, можно использовать обычную [c.256]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.290 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.133 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.167 ]

Теплотехнический справочник том 1 издание 2 (1975) -- [ c.512 ]

Основы теории и проектирования САПР (1990) -- [ c.75 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...