Устойчивость при достаточно малых значениях параметр

В силу положительной определенности удельной потенциальной энергии деформации состояние равновесия ненапряженного тела — устойчиво. При достаточно малых значениях параметра нагрузки F напряженно-деформированное состояние упругого тела может быть описано уравнениями линейной теории упругости это состояние равновесия будем называть начальным. В окрестности точки F =-= О начальное состояние равновесия, как нетрудно показать, остается устойчивым, Начальное состояние равновесия нагруженного тела может перестать быть устойчивым только тогда, когда параметр F превысит некоторое критическое значение F p, т. е. при F > F p становятся возможными такие отклонения от начального состояния равновесия, при которых АЭ О.. А поскольку при F а F p начальное состояние остается устойчивым и любые возможные малые отклонения приводят к увеличению полной потенциальной энергии, то естественно так определить критическое значение параметра нагрузки — это нижняя граница тех значений F, при которых возможны малые отклонения системы от начального состояния равновесия, приводящие к АЭ == 0. [c.29]

Вопрос о нелокальном использовании результатов локального исследования. В подавляющем большинстве прикладных работ авторы ограничиваются установлением факта существования и устойчивости пе риодического решения, а также сходимости рядов при достаточно малых значениях параметра [Я, Между тем в каждой реальной задаче приходится иметь дело с некоторыми конкретными конечными значениями я. Возникает вопрос, как следует относиться к результатам, получающимся при таком нестрогом образе действий. [c.163]

Граница ВО (см. рис. 11.5) области устойчивости нулевого решения системы (11.27) является опасной при > > О и безопасной при ><0. В последнем случае при переходе параметров через фаницу ВО из области устойчивости в область неустойчивости в системе возбуждаются автоколебания, причем режим возбуждения мягкий. Приближенное аналитическое выражение автоколебаний дается формулами (11.38), (11.39), справедливыми при достаточно малых значениях параметра 8. [c.234]

Схема l может обеспечить расширение области устойчивости при высоких давлениях Роа и отношениях объемов N и при достаточно малых значениях ho. Однако подобрать параметры для систем первого типа сложнее, чем для второго. [c.127]

Рассмотрим устойчивость точек либрации для малых значений эксцентриситета. Покажем, что если параметры е и [д, находятся в области устойчивости в первом приближении и не принадлежат резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то при достаточно малых значениях е (зависящих от fi) треугольные точки либрации устойчивы, если в нормальной форме функции Гамильтона пренебречь членами выше четвертого порядка по [Iр . [c.180]

Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений ip,g, это свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра р они существуют для достаточно малых значений р и при р О стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период а (р) при р О стремится к значению 2я/цо- [c.603]

Если упругая конструкция типа крыла самолета находится в потоке газа (жидкости), то свойства состояния ее равновесия (устойчивость или неустойчивость) зависят от параметров потока, т. е. от плотности газа (жидкости) р и скорости о, или, проще, от скоростного напора pv /2. Как оказывается, система, устойчивая при малых значениях скоростного напора, может потерять устойчивость при достаточно больших его значениях тогда после сколь угодно малого возмущения начинается движение, все дальше уводящее систему от ставшего неустойчивым состояния равновесия. Движение, представляющее собой монотонное возрастание отклонений от состояния равновесия, называется дивергенцией, а движение, носящее характер колебаний с возрастающими пиковыми значениями, — флаттером. Скорость, при которой возникает потеря устойчивости того или иного типа, называется критической скоростью. [c.184]

С помощью решения линеаризованной задачи о потере устойчивости конструкций [51] можно достаточно точно определить форму выпучивания. Критическое значение параметра деформирования в интервале времени t, t+At) можно уточнить при достаточно малом шаге интегрирования для конструкций из упругого материала. При решении задачи о выпучивании конструкции из упругопластического материала с помощью линеаризованной задачи о потере устойчивости можно определять только (собственные) формы потери устойчивости. Для уточнения критической нагрузки надо уменьшать шаг интегрирования нелинейных уравнений. [c.228]

Вопрос о характере зависимости движений с кратными ударами от параметров остается открытым. Данная проблема относится к так называемым С-бифуркациям [44]. В [41-44] рассмотрены некоторые случаи поведения неподвижной точки отображения (16) при изменении параметра /i в предположении, что для значений /i < О такая точка существует в области С , а при /i = О она попадает на поверхность 0(х) = 0. Полученные результаты вывести ряд необходимых условий структурной устойчивости, т. е. сохранения локальной топологической структуры фазового портрета при достаточно малых /i > 0. [c.250]

Решив его, мы можем найти амплитуду В как функцию инверсии Можно показать, что при достаточно малых, но отличных от нуля значениях существует устойчивое стационарное состояние. Исследованные случаи относятся к лазеру бегущей волны. В некоторых интервалах параметров можно получить сразу три решения с постоянными амплитудами, и при этом будет возможен гистерезис. [c.201]

Это — кубическое уравнение, которое может быть исследовано известными методами. Мы, однако, не будем останавливаться на его исследовании подробно, а покажем только, что существуют как значения параметров Ь, у и р, при которых это уравнение имеет только один корень, так и значения параметров, при которых это уравнение имеет три корня. Очевидно, случай, когда уравнение (3) имеет один корень, соответствует случаю (при достаточно малых г), когда существует один устойчивый предельный цикл, а случай, когда это уравнение имеет три корня, соответствует случаю, когда система (1) имеет три предельных цикла — два устойчивых и между ними неустойчивый. [c.261]

ТО устойчивость круговых орбит не нарушается при достаточно малых по модулю значениях параметра [х. Другими словами, зональные гармоники в разложении потенциала центрального тела (см. ч. IV, гл. 5 и ч. VI) не нарушают устойчивости круговых орбит, если только разложение потенциала сходится достаточно быстро , [c.847]

А каков ответ (кроме устойчивости по мере) на вопрос об устойчивости для значений параметров е я ц, которые лежат в не-заштрихованной части плоскости е, ц на рис. 18 и 19 и при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков При достаточно малых е и значениях [д,, не принадлежащих резонансным кривым пятого и шестого порядков (в табл. 5 и 6 приведены соответствующие порождающие точки при е = 0), а также при [Л Ф 1х = 0,00861, ц Ф и" = 0,01656..., [X ф г" = 0,00509... и, быть может, значениям [д, из интервала (О, 0,0242938...), соответствующим двукратным резонансам выше шестого порядка, в настоящей главе мы показали формальную устойчивость точек либрации. А какова ситуация ири значениях е, не являющихся малыми и лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 [c.170]

Полученное поведение Ке и (Ке ) связано с достижением температурой поверхности на некотором интервале времени достаточно высоких значений, при которых возникает узкая область неустойчивости с малыми волновыми числами и достаточно малым значением критического числа Ке. В то же время, если ограничить максимальную температуру поверхности, достигаемую на временном интервале, значением, при котором узкая область неустойчивости, обладающая очень малым значением Ке . не возникает, можно получить обратный результат, а именно что квазистационарное периодическое по времени течение в пограничном слое будет обладать большим запасом устойчивости, чем полностью стационарное, соответствующее фиксированным средним значениям основных параметров. [c.59]

Легко заметить, что неограниченное возрастание принципиально возможно только за счет экспоненциального множителя, который, в свою очередь, может достичь бесконечно больших значений при z —оо. Такая возможность, как было установлено выше, имеется в резонансных зонах условного осциллятора. Подобный характер поведения системы свидетельствует о потере динамической устойчивости, когда малые возмущения могут привести к существенным изменениям движения системы. Действительно, при Ло = О имеем = 0. Однако при отмеченных выше условиях достаточно малым возмущениям вызвать начальную амплитуду АА, чтобы при tоо получить оо. Поскольку отмеченный эффект вызван определенным изменением параметров системы, его называют параметрическим резонансом (см. подробнее п. 27). [c.152]

Таким образом, при наличии кулонова трения в регуляторе малые колебания системы оказываются устойчивыми при любом значении параметров. Однако, если регулятор без трения неустойчив, то достаточно большие возмущения, величина которых превышает амплитуду предельного цикла, неизбежно приводят к тому, что в регуляторе, устойчивом лишь из-за трения, могут появиться сильные вибрации. [c.223]

При помощи формального метода осреднения получены аналитическое решение и условие устойчивости, которые были проверены путем сравнения с численными решениями в некоторой области значений параметров, при которых эти численные решения достаточно точны, когда скорость вращения маховика велика по сравнению со скоростью вращения корпуса, а отношение массы демпфера к массе всей системы очень мало точность вычисления показателей Флоке ухудшается, что подрывает надежность условий устойчивости, получаемых указанным способом. Напротив, при нахождении приближения решения по способу осреднения, предложенного здесь, это решение все точнее при- [c.89]

Далее естественно предположить, что Рп скп- Как следует из (18), для достаточно больших п допущение справедливо, поскольку ап п" , Рп п при п —) оо. Это позволяет применить методы теории возмущений и найти условия, при которых происходит потеря устойчивости нулевого (или любого) решения уравнений (19). В малой окрестности резонансных значений параметров отвечающих основной и более высоким резонансным зонам, условия экспоненциальной неустойчивости на плоскости параметров а , Рп имеют вид двусторонних неравенств [6]. Выпишем эти условия для первых четырех резонансных зон параметрических [c.50]

Задача определения параметров привода из условия получения Q = Qn,in является одним из этапов проектирования устройства, которое должно устойчиво работать в условиях изменяющихся сил сопротивления или давления питания. Чем меньше значение Q, тем в меньшей степени установившаяся скорость привода зависит от колебаний сил сопротивления (давления питания) как в пределах одного цикла движения, так и от цикла к циклу. Выполнив расчет по п. в) последнего примера, можно установить минимальное значение Q = Отш- при котором еще может быть обеспечена заданная скорость поршня. Далее конструктор оценивает, достаточно ли мало значение Q для достижения требуемой стабильности движения при ожидаемых изменениях силы сопротивления или давления питания. Когда последнее условие не выполняется, приходится вносить изменения в исходные значения параметров, например, увеличивать (р)тах или jy (зз счет увеличения уменьшения v p или Р). [c.183]

Однако в задачах устойчивости равновесия упругих систем получил распространение иной подход, называемый статическим и связываемый с именем Эйлера. При этом критическими считаются те значения параметров, при которых уравнения статики для малых отклонений приобретают нетривиальное решение. Иными словами критическим считается то равновесное состояние, которое перестает быть изолированным, — в его окрестности появляется множество смежных равновесных форм. При таком подходе достаточно решить соответствующую задачу на собственные значения. [c.253]

Для этого уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости — положительность коэффициентов характеристического уравнения. Динамическая система с подобным характеристическим уравнением неустойчива. При малых значениях асинхронного момента синхронного двигателя рассматриваемой двухмассовой динамической системе свойственны крутильные колебания со слабым затуханием. Для обеспечения крутильных колебаний с сильным затуханием необходимо, чтобы синхронный двигатель обладал достаточно большим асинхронным моментом, т. е. имел мощную демпферную обмотку на роторе двигателя [12]. При разработке систем синхронного привода поршневых компрессорных установок рассмотрение двухмассовой динамической системы позволяет определять частоту свободных колебаний и сопоставлять ее с частотой периодического возмущения, свойственного компрессорным установкам. Выбором рациональных параметров системы привода (маховик, режим двигателя) в системе устраняют резонансные явления. [c.30]

Основные результаты. Релаксация является эффективным средством повышения скорости сходимости, стабилизации итерационного процесса (рис. 5.8). В особенности это заметно при больших Ка, когда даже незначительное отклонение какого-либо из параметров от оптимального значения пагубно отражается иа устойчивости алгоритма. Наиболее стабилизирующее влияние на вычисления оказывает параметр д , наименее существенна релаксация уравнения переноса тепла. Например, при Ка=10 установления итераций можно добиться посредством одного лишь да, выбирая его достаточно малым при дт—д —1. Но если при том же Ка положить да=1, то итерации не сходятся при любом выборе дт и При малых числах Рэлея (Ка <10 ) релаксацией уравнений переноса тепла и функции тока можно вообще не пользоваться, так как почти оптимальная сходимость достигается только за счет да. [c.132]

При малых значениях е для исследования устойчивости на резонансных кривых четвертого порядка достаточно вычислить величину Ж (— ТУ, г, П]) и убедиться в том, что эта величина не обращается в нуль (то, что она может обратиться в нуль,— маловероятно). Тогда можно утверждать, что при соответствующих значениях параметров в плоской задаче будет устойчивость, а в пространственной задаче — устойчивость в четвертом приближении. [c.236]

Локальным считается исследование объекта в данной точке , т. е. в некотором достаточно малом объеме, заключающем достаточно много компонентов структуры и тем самым допускающем устойчивое осреднение по совокупности компонентов. При определении пористости и проницаемости таким объемом, как правило, может служить керн. В некоторых случаях к локальным можно отнести каротажные исследования типа электрометрии. Обобщая, можно сказать, что локальными считаются исследования, проводимые с масштабом осреднения, значительно меиьшим характерных размеров изучаемых фильтрационных полей. Опыт показывает, что локальные характеристики реальных объектов обычно довольно резко изменяются от одной точки пласта к другой. Поскольку локальные исследования проводятся только в скважинах, общий объем, информации, полученной таким образом, чрезвычайно мал по сравнению с той информацией, которая при локальных исследованиях характеризует весь объект во всех точках . Экстра-интерполяция по пространству локальных значений любого параметра может привести к грубым ошибкам в тех точках, для которых измерения отсутствуют. [c.10]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Таким образом, система прямого регулирования гидротурбины малой мощности описывается уравнением (12.35) и первым из уравнений (12.36). В данном случае после подстановки значений величин 2, 2 и 2 в уравнение (12.35) получится нелинейное дифференциальное уравнение, исследование которого затруднительно. Однако нам достаточно установить, является ли переходный процесс при полном сбросе нагрузки сходящимся или расходящимися. Это можно исследовать по малым параметрам 2 и I, из которых 2, как мы уже видели, представляет собой малое отклонение муфты от устойчивого перед переходным процессом положения, а — малое изменение предварительной устойчивой величины фо параметра ф. [c.348]

Особенно просто таким способом введения параметра решается вопрос об устойчивости, если полиномы ДХ) и В(1) содержат лишь четные степени В этом случае вещественные части корней при изменении [а от нуля до единицы знаков не меняют и достаточно, как это сделано выше, определить знаки вещественных частей корней при малых положительных значениях j .. [c.159]

Для того чтобы в нерезонанспом случав при достаточно малых значениях параметра е сделать заключение об устойчивости в плоской задаче или заключения об устойчивости для большинства начальных условий и о формальной устойчивости в пространственной задаче, достаточно вычислить коэффициенты форм (10.4) и 10.5) при значении параметра е, равном нулю. [c.231]

Приведенные выше результаты устанавливают существование, единственность, аналитичность, а также устойчивость периодического решения лишь при достаточно малых значениях р между тем в каждой прикладной задаче теории колебаний встречаются некоторые конечные значения (.i. Сходимость рядов, а также устойчивость решений при этих конечных значениях параметра в подавляющем большинстве прикладных исследований ие изучают, так как, во-первых, это трудоемкий процесс, во-вторых, соответствуют,не оценки часто оказываются неэф ективными, ибо всегда ориентированы на худший случай. Таким образом, строго установленные локальные резу ч.таты фактически используют нелокально. По этой причине, а также в связи с тем, что обычно находят лишь один—три члена ряда, к соответствующим результатам следует относиться как к пол ченным лишь на рациональном уровне строгости , несмотря на полную строгость указанных выше теорем. Поэтому проверку результатов с помощью физического или численного эксперимента не следует считать излишней [2, 7, 8, 10]. [c.62]

В качестве примера использования энергетического критерия устойчивости для систем с распределенными параметрами рассмотрим прямой стержень, нагруженный продольными силами, значения и направления которых не изменяются при деформациях стержкя (рис. 1.15, а). Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня будем считать решенной и закон распределения по длине стержня начальных сил N о х) известным. При достаточно малых значениях этих сил начальное состояние равновесия стержня с прямолинейной осью является единственным и устойчивым. Найдем условия, при которых это начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. [c.32]

Все корни уравнения (1.23) имеют отрицательные действительные части, поэтому поверхность медленных движений G является устойчивой по отношению к быстрым движениям. Следовательно, при любых начальных условиях изображающая точка в фазовом пространстве qj, qjy 5/, ф/) при достаточно малом параметре х скачком приходит на поверхность G, где продолжает движение в соответствии с уравнениями (1.18) и (1.22). Таким образом, в случае движения экипажа на баллонных колесах с очень большой скоростью V = onst изменение переменных и ф/ можно рассматривать как быстрое по сравнению с медленным изменением переменных qi и qj. Пренебрегая временем переходных процессов для переменных li и ф/, можно считать, что в каждый момент времени эти переменные принимают значения, удовлетворяющие уравнениям (1.22). Исключая из уравнений (1.22) величины ф/, приходим к соотношению [c.328]

К системе с гамильтонианом (3.14) применим теорему Мозера об инвариантных кривых, аналогично тому, как это было в системе с гамильтоьианом (6.12) в третьей главе. В нашем случае, правда, возмущающая часть Ф функции Гамильтона (3.14) зависит еще от малого параметра h. Но теорема Мозера все равно применима при рассмотрении окрестности начала координат, для которой О < Е < Ео, где Ео не зависит от h, если h достаточно малая величина [12, 72]. Так как в малой окрестности начала координат инвариантные кривые существуют при всех достаточно малых значениях постоянной интеграла Н = h = onst, то отсюда следует, что положение равновесия qi = = О изучаемой системы (1.1) устойчиво по Ляпунову. [c.77]

Теперь изменим параметры эксперимента так, чтобы течение в трубе стало турбулентным. Вновь проведем опыт N раз в идентичных условиях, чтобы получить TV реализаций турбулентного поля скорости. Убеждаемся, что все реализации турбулентного течения различны Причина различий заключается в том, что задаваемые нами режимные параметры, неизменные от опыта к опыту, в случае турбулентного течения не полностью определяют поле скорости, поскольку турбулентное течение неустойчиво к малым возмущениям поля скорости. При течении вязкой несжимаемой жидкости с постоянными свойствами в отсзлтствие внешних массовых сил (будем рассматривать только такие течения) критерием устойчивости является число Рейнольдса. Критерий Re может быть интерпретирован как соотношение характерных значений сил инерции и вязкости. Силы инерции, связанные с перемешиванием различных объемов жидкости, движущихся с разными скоростями, способствуют образованию в потоке структурных неоднородностей, характерных для турбулентного течения. Силы вязкости, наоборот, приводят к сглаживанию неоднородностей, возмущающих плавное движение жидкости. Поэтому очевидно, что течения с достаточно малыми значениями Re будут ламинарными, а с достаточно большими — турбулентными. Этот принципиальный вывод и был сформулирован О. Рейнольдсом. [c.134]

На рис. 7.18 приведены кривые переходных процессов в ЖРД с цифровым регулятором расхода bG i и безынерционным приводом при различных сочетаниях параметров и Tq. При малом модуле коэффициента усиления о= —0,5 (кривые 1, 2, 3) изменение в пределах от 0,005 до 0,02 с мало сказывается на характере переходного процесса. При таком q обеспечивается хорошее качество переходных процессов, но точность поддерживания 5Gri явно невелика. При qQ= — l,5... — 3 повышается точность, но ухудшается качество переходного процесса—появляются временные повышения значений регулируемого параметра и их колебания, особенно существенные при q — —3. При дальнейшем увеличении модуля коэффициента усиления система теряет устойчивость. Таким образом, цифровой П-регулятор расхода при достаточно малом такте квантования 7 о = 0,01 с и безынерционном приводе не обеспечивает в рассмотренном примере приемлемой точности регулирования из-за ограничения модуля по условиям устойчивости системы (у ЭВМ ЖРД Спейс шаттл Tq = 0,02 с [37 ]). В то же время система с [c.275]

Для плотности имеются 2 предела—нижний и верхний. Ниж. предел по плотности связан с образованием т. н. ускоренных, или убегающих электронов. При малой плотности частота столкновений электронов с ионами становится недостаточной для предотвращения их перехода в режим непрерывного ускорения в продольном электрич. поле. Ускоренные до высоких энергий электроны могут представлять опасность для элементов вакуумной камеры, поэтому плотность плазмы выбирается настолько большой, чтобы ускоренных электронов не было. С др. стороны, при достаточно высокой плотности режим удержания плазмы вновь становится неустойчивым из-за радиационных и атомарных процессов на границе плазмы, к-рые приводят к сужению токового канала и развитию винтовой неустойчивости плазмы. Верх, предел по плотности характеризуется безразмерными параметрами Му-раками M=nRjB и Хьюгелла H=nqR B (здесь ср. по сечению плотность электронов п измеряется в единицах 10 частиц/м ). Для устойчивого удержания плазмы необходимо, чтобы числа М и Я не превышали нек-рых критич. значений. [c.120]

Пусть /—установившееся движение, т. е. состояние равповесия, периодическое или стохастическое движение, точнее, пе само движение, а его геометрический образ в фазовом пространстве. Установившееся движение / имеет область притяжения П(/), внутри которой находится /. При непрерывном изменении параметра (х динамической системы меняется как установившееся движение, так и его область притяжения П(7). Возможны два различных случая первый — когда при бифуркационном значении параметра [х = ц существуют сколь угодно малые е-ок-рестности /, которые со временем преобразуются строга внутрь себя, и второй — когда таких окрестностей нет, и любая достаточно малая е-окрестпость / преобразуется в область, у которой есть точки, лежащие вне этой е-окрестности. При этом отброшена возможность граничного случая, когда существуют сколь угодно малые окрестности /, преобразующиеся в себя. Первый случай соответствует мягкому режиму смены установившегося движения, второй — жесткому. В первом случае вновь возникающее установившееся движение отделяется от прежнего установившегося движения /, а его область притяжения непрерывно возникает из области притяжения прежнего установившегося движения /. Во втором случае, напротив, прежнее установившееся движение / теряет устойчивость или исчезает, и фазовые точки из его окрестности с ростом времени переходят к новому установившемуся движению, которое, как правило, существовало и до рассматриваемой бифуркации установившегося [c.166]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых значениях эксцентриситета е), так и численными (при произвольных параметрах е и [х) методами. В области устойчивости в линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для значений параметров е ж ц, принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для большинства начальных условий и формальная устойчивость. [c.14]

Первый этап доказательства сформулированной теоремы, существенной для теории разрывных колебаний в системах второго порядка, будет состоять, как и в 5 гл. VIII, в построении по заданному достаточно малому j- 0 замкнутой двусвязной области (s) со следующими свойствами 1) в области (г) нет состояний равновесия системы (10.15а) 2) разрывный предельный цикл Q лем<ит внутри этой области, причем область (s) стягивается к С,, при (х -[- О, и 3) траектории системы (10.15а) при заданном значении параметра J. входят (при возрастании t) в область (s). Очевидно, эта область (согласно теореме V 2 гл. VI) будет содержать внутри себя по крайней мере один устойчивый предельный цикл системы уравнений (10. 15а) при заданном значении параметра х. [c.764]

После подробного изложения математических методов, иногда сопряженных с необходимостью производить довольно громоздкие вычисления, уместно перевести дух и кратко сформулировать наиболее существенные выводы, к которым приводят отдельные этапы алгоритма. Отправным пунктом наших теоретических построений были нелинейные уравнения с флуктуирующими силами. На первом этапе мы предполагали, что эти силы пренебрежимо малы. Затем мы исследовали поведение систем, содержаших флуктуирующие силы, вблизи критических точек. Оказалось, что в достаточно малой окрестности критической точки поведение системы определяется небольшим числом параметров порядка и принцип подчинения позволяет исключить все подчиненные переменные. Включение флуктуирующих сил не нарушает процедуру исключения переменных, и мы приходим к уравнениям для параметров порядка с флуктуирующими силами. Такие уравнения для параметров порядка могут быть типа уравнений Ланжевена—Ито или Стратоновича. Эти уравнения, вообще говоря, нелинейны, и вблизи критических точек нелинейность не становится пренебрежимо малой. С другой стороны, часто бывает достаточно учесть лишь главный член нелинейности. Наиболее изящный подход к решению такого рода задач состоит в преобразовании уравнений для параметра порядка типа уравнения Ланжевена—Ито или Стратоновича в уравнение Фоккера—Планка. За последние десятилетия эта программа была реализована на различных системах. Выяснилось, что во многих случаях, когда возникают пространственные структуры, принцип детального равновесия на уровне уравнений для параметров порядка обусловлен соотношениями симметрии. В подобных случаях удается оценить распределение вероятности, с которой реализуются отдельные конфигурации при определенных значениях параметров порядка и,-. В свою очередь это позволяет вычислить вероятность образования тех или иных пространственных структур и найти устойчивые конфигурации по минимуму V (и) в [c.348]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...