Нормальная форма функции Гамильтона

В случае резонанса (139) порядка М нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вид [c.226]

Если система (1) автономна, то сформулированные утверждения о неустойчивости остаются в силе надо только в резонансном соотношении (3) и нормальной форме функции Гамильтона положить ТУ = 0. Если п = 1 и система неавтономна или она автономна и п = 2, то при выполнении неравенства (16) с обратным знаком имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.122]

Одномерный гармонический осциллятор в механике может быть описан классически через канонически сопряженные обобщенные координаты д я р с представленной в нормальной форме функцией Гамильтона [c.87]

Для практического применения полученных результатов нужно иметь эффективные способы нахождения нормальной формы функции Гамильтона. Нахождение нормальной формы в неавтономном случае особенно затруднено. Если, например, воспользоваться классическим преобразованием Биркгофа, то для нахождения соответствующей производящей функции придется строить периодические решения некоторой системы дифференциальных уравнений. Необходимые при этом вычисления весьма громоздки. [c.12]

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

Для исследования устойчивости надо получить нормальную форму функции Гамильтона возмущенного движения. Сначала необходимо провести нормализацию квадратичной части Яа функции Гамильтона. Соответствующая линейная каноническая замена переменных для величин qi, ( = 1, 2 ) имеет вид (4.2) главы 7. Пространственные переменные q и при линейной нормализации не изменяются q = q , рз = рз- Сделав еще замену переменных по формулам (4.4) главы 7, в которых сОз = 1, получим квадратичную часть функции Гамильтона в виде [c.132]

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА [c.133]

В этом параграфе исследуется устойчивость лагранжевых решений при резонансах четвертого порядка. Резонансы — ЗХ = 2 и ЗХ — Xg = 3 при малых значениях е не могут привести к неустойчивости при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов не выше четвертого порядка относительно координат и импульсов [157]. [c.159]

Для остальных шести пар резонансных значений е и [д,, в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы функции Гамильтона, возможна как неустойчивость по Ляпунову, так и устойчивость в конечном порядке. [c.172]

Нормальная форма функции Гамильтона [c.176]

Рассмотрим устойчивость точек либрации для малых значений эксцентриситета. Покажем, что если параметры е и [д, находятся в области устойчивости в первом приближении и не принадлежат резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то при достаточно малых значениях е (зависящих от fi) треугольные точки либрации устойчивы, если в нормальной форме функции Гамильтона пренебречь членами выше четвертого порядка по [Iр . [c.180]

Пусть fi не равно ни одному из значений задаваемых табл. 2 и 3 главы 9, и принадлежит интервалу О < [д, < fi устойчивости в первом приближении для круговой задачи. Тогда при малых значениях эксцентриситета отсутствуют резонансы третьего и четвертого порядка и нормальная форма функции Гамильтона будет иметь вид (4.1). Рассмотрим свойства нормальной формы при малых е. Согласно 4, для доказательства устойчивости нужно проверить, что функция Fg (4>) отлична от нуля при любых значениях ijj. [c.180]

Функция Рд (г )) при всех г]з, очевидно, отрицательна. Поэтому (см. 4) в пространственной задаче треугольные точки либрации устойчивы при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно по координатам и импульсам возмущенного движения. [c.185]

Пусть выполнено резонансное соотношение (8.2). Тогда нормальная форма функции Гамильтона (8.11) будет такой [c.225]

НЫХ уравнений, но с фиксированными (нулевыми) начальными условиями. После получения функции 5 вводятся такие координаты, в которых она записывается в простейшей (нормальной) форме. А затем по нормальной форме функции 5 находится нормальная форма соответствующей функции Гамильтона. [c.13]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Как и в случае, когда в системе (2.92) матрица G t) постоянна, нормальной формой системы (2,92) будем называть такую систему уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует функция Гамильтона вида (2.93). [c.129]

В нерезонансном случае нормальная форма степени М (т. е. нормализация проводится до членов степени М относительно кОординат и импульсов) функции Гамильтона возмущенного дви-кения, будет иметь вид (см. (145)) [c.225]

В заключение отметим, что коэффициенты С ц в (154) и коэффициент Ср в (157) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований [172], т. е. не зависят от способа нахождения нормальной формы. [c.226]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

При отсутствии резонансов (7.5) в гамильтоновой системе нет резонансов (7.4) порядка 3 и 4 (когда /г = к = 3 или А = 4). Поэтому, согласно классическому результату Биркгофа, вблизи точки р функция Гамильтона приводится к нормальной форме [c.300]

Мы должны теперь придать классической теории Плачека такую форму [ср. уравнение (В2.13-3)], которая допускала бы непосредственное сравнение с приведенными выше последовательными квантовыми результатами. Поскольку мы здесь сможем только наметить принципиальный путь, выберем возможно более простые условия будем рассматривать молекулу при г.— О с только одним нормальным колебанием частоты со отклонения X от положения равновесия будем считать малыми, благодаря чему функция Гамильтона невозмущенной молекулы будет функцией Гамильтона гармонического осциллятора [c.358]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

По коэффициентам нормальной формы функции Гамильтона, на основании соответствуюгцих теорем, полученных к настоягцему времени для резонансных и нерезонансных случаев, можно сделать те или иные выводы об устойчивости системы (1). [c.116]

Во-первых, ясно, что коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона будут аналитическими функциями е. Во-вторых, замечая, что iV-я гармоника v входит в производящую функцию линейного нормализующего преобразования, а также ъ ti Hi с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени, не меньшей N, нолучаем, что при резонансе -f к Х — N отличие коэффициентов а(с,д2. в нормальной форме от нуля может обнаружиться только в N-ш приближении по е. [c.157]

Рассмотрим задачу о приведении к нормальной форме (2.93) гамильтониана //j в разложении функции Гамильтона (2.44), описывающей возмущенное движение динамически симметричного спутника относительно центра масс в окрестности цилиндрической прецессии. Предполагается, что значения параметров задачи а, /J принадлежат об/щстям /, //устойчивости цилиндрической прецессии (см. рис. 15). Из рассмотрения исключается единственная точка a — 1, = 2 области /, в которой [c.126]

Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равно-ise Horo решения (положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. Впервые вопросы нормализации гамильтоновых систем были подробно исследованы Биркгофом [161, 162]. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято иа- 1ывать нормальной формой гамильтониана возмущенного движения. [c.195]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с вырожденными квадратичными частями. Пусть г = 2 и коэффициенты ьаг в квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции е удовлетворяют условию ГП]а1 + гпгаг О для всех целых т, т2, не равных одновременно нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает формальный интеграл Г = Гд + Гд+ +. .. д 2), аналитический по е, причем однородные формы Гд и Яг функционально независимы при всех е, то существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее от е. [c.130]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

Преобразование гамильтониана к более простой форме называют нормализацией. Нормальные формы в окрестности особых точек подробно исследовал Дж. Бирхгоф [16, 227]. Произведем линейное КП х, р х, р , диагонализирующее форму ктпРтХп- Выберем производящую функцию в виде [c.334]

Теорема. Предположим, что собственные частоты щ не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка 8 и меньше. Тогда существует такая каноническая система координат в окрестности положения равноеесия, что в ней функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени 8 с точностью до членов степени + 1 . [c.353]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...