Исключение переменной

Далее по (9.8) для исследуемого механизма строим график зависимости приведенного момента инерции /п от угла ф, причем с целью упрощения последующего исключения переменной ф из графиков /п(ф) и АГ(ф) располагаем координатные оси, как показано на рис. 38, в. Пересечение горизонталей, проведенных из точек графика АТ с вертикалями, проведенными из соответствующих точек графика /п (рис. 38, г), дает график зависимости приращения кинетической энергии АТ от приведенного момента инерции Д, называемый диаграммой Виттенбауэра. По ней можно определить угловую скорость (U начального звена в любом положении механизма, если известно значение и = соо при ф = 0. [c.93]

Исключение переменных р из этих уравнений приведет, очевидно, к обычным уравнениям движения. [c.480]

При помощи одних дифференцирований и исключений переменных всегда можно определить, является ли данная совокупность дифференциальных условий голономной или нет. Покажем, как это делается, на простейшем примере одного соотношения между тремя переменными обобщение на случай большего количества уравнений и переменных следует автоматически. Сначала запишем заданное условие в виде [c.48]

Естественно сначала исключить одну из переменных — например, и — при помощи дополнительного условия, выразив ее через остальные и . Тогда мы получим функцию гг — 1 переменных Wi, Un-i, которую можно уже исследовать методами свободной вариационной задачи. Этот способ вполне оправдывает себя, а иногда оказывается и наиболее простым. Однако очень часто исключение переменных является чрезвычайно обременительной задачей. Кроме того, условие (2.5.2) может быть симметричным относительно переменных и ,. .., тогда, вообще говоря, нет никаких оснований искусственно выделять одну из переменных в качестве зависимой, выражая ее через остальные как через независимые переменные. [c.66]

Задачу с неголономными условиями нельзя решать методом исключения переменных, потому что нет уравнений, с помощью которых можно бы выразить одни переменные через другие. Метод множителей Лагранжа тем не менее применим. При помощи операций, в точности подобных описанным ранее, можно получить уравнение, аналогичное (2.5.20), а именно [c.71]

Можно исключить какие-то m переменных q , выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п — т после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5. [c.86]

Введение. Приступая к принципу Даламбера, мы покидаем область статики и попадаем в область динамики. Здесь задачи гораздо более сложны и их решение требует более совершенных методов. В то время как задачи статики для систем с конечным числом степеней свободы приводят к алгебраическим уравнениям, которые могут быть решены при помощи исключения переменных и подстановок, задачи динамики приводят к дифференциальным уравнениям. Настоящая книга посвящена главным образом формулировке и интерпретации основных дифференциальных уравнений движения, а не их окончательному интегрированию. Принцип Даламбера, который мы обсудим в настоящей главе, непосредственно ничего не дает для целей интегрирования. Однако он является важной вехой в истории теоретической механики, так как он дает интерпретацию силе инерции, а это существенно для дальнейшего развития вариационных методов. [c.112]

Мы закончили таким образом исключение переменной t и получили интеграл действия для приведенной системы. Время t не входит в интеграл Л, и, кроме того, А не зависит также от параметра т. Однако ds не есть полный дифференциал, и было бы совершенно неверно считать, что 1/2(Е— V) — это подинтегральное выражение в Л, а соответствует дифференциалу независимой переменной. Чтобы избежать этого недоразумения, мы и поставили черту над ds. В качестве аргумента нужно выбрать какой-либо параметр т. В частности, в качестве такого параметра можно взять одно из qi, например <7 , считая все остальные qi функциями qn- Это сразу сведет вариационную задачу от п к п — 1 степеням свободы. [c.162]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Замечательное преобразование уравнений Лагранжа, произведенное Гамильтоном, фактически означает, что произвольная сколь угодно сложная вариационная задача может быть преобразована в эквивалентную задачу с удвоенным количеством переменных и с кинетической частью, приведенной к простой форме. Это преобразование осуществляется без какого бы то ни было интегрирования, лишь при помощи дифференцирований и исключения переменных. [c.199]

Это и есть описание движения жидкости с помощью поля, которое определяет вектор скорости в любой точке пространства в любой момент времени. Из заданного описания с помощью частиц можно получить описание с помощью поля путем дифференцирований и исключения переменных. С другой стороны, для получения описания второго типа из первого нужно проинтегрировать уравнения (6.5.4). Оба способа описания эквивалентны. [c.204]

А это уже задача интегрирования. Первая задача была проще, потому что она не требовала ничего, кроме дифференцирования и исключения переменных. Новая задача гораздо более трудная, и она будет подробно рассматриваться в следующей главе. Можно показать, что для каждой заданной функции Н может быть найдена соответствующая функция 5 более того, существует бесконечное множество возможных функций S. Построенная таким образом 5-функция [c.254]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Результатом этого нового способа рассмотрения оказалось, главным образом, значительное, бросающееся в глаза, обобщение. А именно кинетический потенциал в противоположность энергии отличается не только своей аналитической формой, но и своей величиной, в зависимости от выбора независимых переменных. Привожу пример используя некоторые уравнения движения, можно с их помощью соответственно сокращать число независимых переменных. Тогда исключенные переменные совсем исчезают, они соответствуют так называемым скрытым движениям. В каждом таком случае кинетический потенциал принимает другую величину, и этим объясняются, например, разнообразные выражения потенциала, с которым сталкиваются в термодинамике, в зависимости от выбора независимых переменных. Гельмгольц показал, как эти различные выражения связаны между собой [c.586]

Для матриц [К] и [М], не представимых в виде (11), (15), возможно следуюш ее исключение переменных, показанное ниже на примере [5]. После исключения из уравнений (14) коэффициенты матриц [К] и [М] принимают вид [c.141]

Интересно отметить, что решение поставленной задачи по методу В. А. Зиновьева требует составления тридцати четырех уравнений зависимости между параметрами (уравнения проекций на оси координат замкнутого векторного контура и взаимосвязей между косинусами направляющих углов). В них содержится 19 независимых постоянных параметров механизма, 13 зависимых постоянных параметров и 19 переменных параметров. Если не прибегать к взаимному исключению переменных и постоянных параметров из уравнений, то неравенство типа (29) принимает вид [c.48]

Исключение переменной у из этих соотношений приводит к уравнению так называемой дискриминантной кривой(само уравнение называется р-дискриминантом в связи с часто употребляемым обозначением у = р). В окрестности любой точки этой кривой поле касательных, определяемое диференциальным уравнением / х, у, = О, неоднозначно. Решение диференциального уравнения, построенное из непрерывной последовательности особых элементов, называется особым решением. Сот ответствующая интегральная кривая совпадает, таким образом, с дискриминантной кривой или является одной из её ветвей. Условие Липшица не выполняется, вообще говоря, в точках этой кривой, и в окрестности любой её точки существуют, в общем случае по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку. Необходимым условием для того, чтобы дискриминантная кривая представляла особое решение, является совпадение направления касательной к кривой в каждой её точке, с направлением особого линейного элемента, соответствующего этой Точке и определяемого значением перемен- [c.227]

Исключение предположительно установленного переменного рассеивания. Цель и пор,(док проведения этого исследования аналогичны описанным выше относительно исключения смещения центра группирования. Особенности заключаются в том, что операция исключения переменного рассеивания должна проводиться при отсутствии смещения центра группирования или после его исключения или после хотя бы установления вида и параметра функции а (t). [c.641]

В зависимости от сложности задачи используются различные принципы построения моделей. Зачастую возникает необходимость разработки меиее точной модели, но тем не менее более полезной для практики. Возникают две задачи с одной стороны, — нужно разработать модель, на которой проще всего получать численное решение, а с другой стороны,— обеспечить максимально возможную точность модели. С целью упрощения модели используются такие приемы, как исключение переменных, изменение характера переменных, изменение функциональных соотношений между переменными (например, линейная аппроксимация), изменение ограничений (их модификация, постепенный ввод ограничений в условие задачи). Модели, являясь эффективным средством исследования структуры задачи, позволяют обнаружить принципиально новые стратегии. [c.219]

В монографии для иллюстрации метода исключения переменных приводятся решения как известных, так и неизвестных (т. е. не решенных до настоящего времени) задач теплопроводности. [c.4]

В предлагаемой вниманию читателей монографии излагаются далеко не все задачи, решенные методом исключения переменных. Однако приведенных примеров вполне достаточно, чтобы приобрести необходимые навыки и решить, затем по трафарету недостающие задачи. [c.10]

Исключение переменных базируется на предварительном анализе физической картины процесса теплопроводности и исключении второстепенных факторов, оказывающих незначительное влияние на ход процесса. [c.23]

Рассмотрим отдельные характерные свойства температурного поля твердого тела, которые позволяют в дальнейшем существенно упрощать задачу и использовать при ее решении метод исключения переменных. Начнем с изучения свойств направляющей точки. [c.26]

В данном случае достигается наибольшее упрощение задачи, так как тепловое состояние тела в целом вполне определяется одним значением температуры. В терминах метода исключения переменных это означает, что из рассмотрения исключаются все три координаты одновременно х, у и z). Такие задачи довольно часто встречаются на практике, и их решение не вызывает особых затруднений. [c.29]

В соответствии с методом исключения переменных заранее принимаем определенный закон распределения температуры в сечении полуограниченного тела. В результате из уравнений выпадает пространственная координата х, и решение задачи крайне упрощается. [c.42]

Решение методом исключения переменных. Будем считать, что кривая распределения температуры в сечении полуограниченного тела в любой момент времени отвечает уравнению параболы п-го порядка. На рис. 16 изображена приближенная картина изменения со временем [c.42]

Продвижение фронта постоянной температуры. На практике часто требуется знать толщину прогретого слоя или закон продвижения в теле фронта определенной наперед заданной температуры. Обе эти задачи легко решаются методом исключения переменных. [c.50]

Определение температурного поля. В соответствии с методом исключения переменных упростим исходные дифференциальные уравнения теплообмена. С этой целью будем считать, что температурное поле неограниченного тела с цилиндрической полостью по-прежнему описывается уравнением (31) параболы [c.53]

Вторая стадия. В соответствии с методом исключения переменных будем считать, что температурное поле стенки в течение второй стадии прогрева (достаточно большие значения критерия Фурье) также приближенно описывается уравнением параболы. Это допущение, как и прежде, позволяет исключить из уравнений координату х. [c.66]

Формулы (130) —(131) можно преобразовать путем исключения переменной температуры Например, из выражений (120) и (131) получаем [c.68]

Первая стадия. По методу исключения переменных весь процесс нагрева шара разбивается а две стадии. Первая стадия соответствует проникновению тепла в глубь шара до расстояния Xq. Температура шара в течение первой стадии нагрева подсчитывается по формуле (99) [c.83]

Как ВИДИМ, при достаточно больших значениях критерия Фурье строгое решение в точности совпадает с приближенным решением (224), полученным методом исключения переменных. Это объясняется тем, что при больших Fo все члены бесконечного ряда точного решения становятся пренебрежимо малыми по сравнению с двумя первыми слагаемыми решения. [c.102]

Сравнение решений. Сравним приближенные решения, полученные методом исключения переменных, с точными решениями той же задачи. [c.116]

В соответствии с методом исключения переменных будем считать, что процесс охлаждения тела приближенно описывается уравнением параболы л-го порядка [c.132]

Первая стадия. В соответствии с методом исключения переменных разО бъем весь процесс охлаждения плиты на две стадии. В течение первой стадии происходит внедрение зоны охлаждения в толщу плиты. Этот процесс длится до тех пор, пока величина X станет равной Хо- [c.134]

Уравнение температурной кривой. В соответствии с методом исключения переменных будем считать, что в любой момент температурное поле затвердевшей корки описывается [по аналогии с формулой (31)] уравнением [c.136]

На рис. 362 предсгавлен пример оформления группового чертежа детали рычага, в котором приведены сведения, необходимые для изготовления четырех деталей, имеющих общие конструктивные признаки. Каждый из рычагов, изготовляемый по груигювому чергежу, должен иметь одинаковые размеры, нанесенные на чертеже, за исключением переменных размеров (с/, h и др.). [c.202]

Затем по формуле (7.8) для исследуемого механизма строим график зависимости приведенного момента инерции /п от угла Ф, причем с целью упрощения последующего исключения переменной ф из графиков /п(ф) и А7 (ф) располагаем координатные оси, как показано на рис. 58, в. Исключение угла ф выполняется путем нахождения пересечения горизонталей, проведенных из точек графика АГ с вертикалями, проведенными из соответствующих точек графика (рис. 58, г). Полученный график зависимости приращения кинетической энергии АГ от приведенного момента инерции называется диаграммой Виттен-бауэра. По ней можно определить значение угловой скорости (о начального звена в любом положении механизма, если известно значение ю == соо при ф = 0. Для этого откладываем значение кинетической энергии при ф = О от начала координат графика АТ (In) вниз по оси ординат. Полученная точка От определяет начало координат графика T(J ). Луч, соединяющий любую точку N диаграммы Виттенбауэра с началом координат От, образует с осью абсцисс угол ijj, тангенс которого пропорционален квадрату угловой скорости со. Для доказательства этого положен нпя найдем из прямоугольного треугольника OnN [c.207]

Метод, изложенный во втором отделе, может быть применен во всех случаях и, как мы видели, требует ЛИШ1, выполнения чисто аналитических операций но так как непосредствсшноо исключение переменных или их дифференциалов с помощью условных уравнений может привести к очень сложным вычислениям, мы представим тот же метод в более простом виде, сведя с помощью некоторого приема все случаи к случаю совершенно свободной системы. [c.105]

Этих уравнений достаточно для исключения переменных N , N q, Л го. Л/i, Л/гж- 1 и Л 2 . если даны полные числа атомов NihN . Теперь свободная энергия F может быть подсчитана как функция общего числа атомов или молей. При дифференцировании свободной энергии по числу молей каждого компонента получаются парциальные молярные свободные энергии Fi и F2. Простые решения получены только для некоторых случаев, как будет показано ниже. [c.71]

Автором в разное время были решены методом исключения переменных многие задачи теории теплопроводности, включая задачи для Tejr произвольной формы, задачи с изменением агрегатного состояния вещества и т. д. Полученные решения не имеют принципиального математического значения. Однако практическая их ценность несомненна, в чем автор имел возможность не раз убедиться. Именно поэтому автор счел целесообразным опубликовать эту книгу. [c.4]

Как и все перечисленные методы решения задач теплопроводноо-и, излагаемый метод (исключения переменных) имеет свои преимущества и недостатки. Важным преимуществом метода исключения переменных являются его исключительная простота и возможность получать удовлетворительные по точности и удобные в использовании решения многих задач, возникающих на практике. [c.24]

При решении различных задач теплопроводности методом исключения переменных приходится заранее задаваться определенным распределением температуры в оечении рассматриваемого тела. В качестве приближенных температурных кривых можно выбирать кривые, описываемые самыми различными функциями тригонометрическими, показательными, гиперболическими, логарифмическими и т. д. [c.31]

Таким образом, поставленная задача решена с помощью выведенных формул можно рассчитать температурное поле и количества переданной теплоты для по-луограниченного тела. Обращает на себя внимание большая простота выкладок, обусловленная применением метода исключения переменных (была исключена пространственная координата -посредством задания параболического закона распределения температуры в сечении полуогра-ниченного тела). [c.46]

Из формулы (234) видно, что при достаточно больших Ро, когда все члены бесконечного ряда становятся пренебрежимо малыми по сравнению с двумя первыми слагаемыми решения, она в точности соответствует приближенному выражению (233), полученному методом исключения переменных. Согласно приближенной теории формулой (233) можно пользоваться во второй стадии нагрева, т. е. при Fo Foi = 0,125. При FoFoi имеет место первая стадия нагрева, когда справедливы формулы 27. [c.104]

Из уравнения (243) видно, что при достаточно больших значениях критерия Фурье (FoSspoi) все члены бесконечного ряда становятся пренебрежимо малыми по сравнению с двумя первыми слагаемыми решения и оно превращается в приближенное решение (242), полученное методом исключения переменных. [c.106]

Уравнение температурной кривой. В соответствии с методом исключения переменных будем считать, что температурное поле тела приближенно описывается уравнецием (31) [c.107]

В соответствии с методом исключения переменных М0Ж1Н0 приближенно считать, что тела конечных размеров в тепловом отношении ведут себя как неограиичеяные в первой стадии процесса, когда глубина прогретого (или охлажденного) слоя не достигает еще толщины самого тела. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...