Ланжевена уравнение

Лагерра полиномы 145, 171, 174, 176—178, 207 Ланжевена уравнение 453 [c.489]

Методы, позволяющие надлежащим образом учитывать и описывать флуктуации, которые составляют необходимую часть любой адекватной теории фазовых переходов, дает статистическая механика. Специалисты по статистической механике с восторгом отмечают, что типичные уравнения их науки (такие, как уравнение Ланжевена, уравнение Фоккера—Планка или уравнение для многочастичной функции распределения) занимают достойное место и в синергетике. Инженерам-электрикам знакомы другие аспекты синергетики — теория цепей, положительная и отрицательная обратная связь, нелинейные колебания. Инженеры — механики и строители усматривают в синергетике знакомые черты теории устойчивости под действием статических и динамических нагрузок, выпучивания оболочек при закритическом нагружении и нелинейных колебаний. Синергетика занимается изучением поведения систем при изменении управляющих параметров, поэтому те, кто работает в кибернетике, склонны рассматривать синергетику как часть теории управления. [c.361]

Уравнение (4.3) называется уравнением Ланжевена и представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение, т. е. дифференциальное уравнение, коэффициенты которого (в данном случае Щ) являются случайными функциями (см. гл. V). [c.41]

Поведение брауновской частицы можно описать также, модифицируя (усредняя) само уравнение Ланжевена, а не его решение,, и получая, таким образом, уравнения непосредственно для интересующих нас средних. Прежде всего рассмотрим кинетическую [c.48]

Умножив уравнение Ланжевена (4.3) на Ax = x(t)—х(0), получим уравнение для квадрата смещения z= x(i)—л (0))2 [c.49]

Отсюда сразу получаем формулу, эквивалентную (4.20), Заметим, что для решения уравнений Ланжевена удобно использовать также замену переменных для времени [c.49]

Заметим, что аналогично с помощью представления (4.5) решается задача для уравнения Ланжевена с переменной внешней силой f(i)з [c.53]

Для того чтобы использовать рассмотренную выше теорию для описания поведения частицы с учетом инерции, необходимо расширить фазовое пространство, включив в него не только положение, но и скорость частицы. Такой формально определенный двумерный (или в трехмерном пространстве — шестимерный) случайный процесс z(t) = (x t), v(t)) уже оказывается марковским. Используя полученные в гл. IV формальные решения стохастического уравнения Ланжевена, с учетом (4.6) находим при малых Ai (см. (4.7), (4.8) [c.72]

Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73]

Теперь перейдем к более сложному случаю — масштабу времен, значительно превышающих время корреляции случайной силы т/, но меньших времени релаксации импульса Тр Т/. Тогда стационарным, в отличие от р(0 является процесс /( ). Причем в начальный момент =0 частица покоится. Подставляя спектральное представление p t) и / (О в уравнение Ланжевена [c.78]

Кроме того, при <Стр можно пренебречь вторым (вязкостным) членом в уравнении Ланжевена (5.81) и представить импульс p t) в виде стохастического интеграла случайной силы [c.79]

Рассмотрим другой пример брауновского движения, имеющий совершенно другую физическую природу и связанный с движением заряда Q в проводнике. Описание этого явления аналогично предыдущему примеру. Действительно, соответствующее уравнение Ланжевена для электрической цепи имеет вид [c.79]

Рассмотрим теперь более детально важный пример браунов-ского движения осциллятора, на который кроме случайной /(О воздействует также внешняя переменная сила F t). Соответствующее уравнение Ланжевена имеет вид (4.42) [c.80]

Теперь мы в состоянии дать очень простое решение уравнения Ланжевена. Допустим, что в момент f = О броуновская частица начинает двигаться со скоростью Vq. Если бы мы рассматривали (11.2.2) как обыкновенное дифференциальное уравнение, то его решение имело бы вид [c.13]

Следовательно, мы можем сразу же использовать результаты, полученные из уравнения Ланжевена, чтобы вычислить коэффициенты А (v), В (v) в уравнении Фоккера — Планка. Из соотношения [c.22]

Картина, описываемая уравнением Фоккера — Планка, разумеется, полностью согласуется с уравнением Ланжевена, рассматриваемым совместно со статистическими допущениями относительно А t). Однако в уравнении (11.3.21) и в аналогичном уравнении для вероятности перехода w информация представлена в значительно более компактной форме. Если решить начальную задачу для уравнения (11.3.21) (а в данном случае это можно сделать в явном виде ), то найденная вероятность перехода позволит сразу же вычислить любое среднее значение любой функции от v посредством квадратуры. [c.23]

Уравнение Ландау описывает приближение к равновесию без привлечения каких-либо специальных вводимых ad ho гипотез типа тех, которые понадобились в разд. 11.3 и 11.4. При простом рассмотрении уравнения Ланжевена мы вообще не располагали никакими данными о динамическом механизме взаимодействий, которые позволили бы вычислить функцию а (Г) в уравнении [c.48]

Более того, если случайные потоки даются выражениями (9.2.31), то в непрерывном пределе уравнение (9.2.36) переходит в функциональное уравнение Фоккера-Планка (9.1.66), полученное методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля ). Это очень важный момент, так как возможность различных интерпретаций уравнений (9.2.34) вызвала в свое время возражения против метода Ланжевена в теории нелинейных гидродинамических флуктуаций [67-69]. Частично эти возражения были сняты в работах [45, 166]. Полное доказательство эквивалентности интерпретаций стохастических уравнений для нелинейных гидродинамических флуктуаций было дано в [132]. [c.241]

Метод уравнения Фоккера-Планка и соответствующий нелинейный метод Ланжевена легко могут быть обобщены на многокомпонентные жидкости. Как было показано в параграфе 8.3, единственным новым обстоятельством является то, что в многокомпонентной жидкости существует несколько векторных диссипативных процессов, связанных с переносом энергии и вещества теплопроводность, диффузия и перекрестные эффекты. Поэтому случайные составляющие потока тепла и диффузионных потоков будут линейными комбинациями нескольких гауссовских переменных. Пример построения нелинейного метода Ланжевена для многокомпонентной жидкости можно найти в работе [132]. [c.241]

Во многих экспериментальных ситуациях крупномасштабные флуктуации относительно малы, что позволяет решать уравнение Фоккера-Планка или соответствующие уравнения Ланжевена путем разложения локальных величин в ряды по их отклонениям от средних значений, которые удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Отметим, что даже в случае малых флуктуаций само макроскопическое состояние системы может значительно отличаться от равновесного. [c.242]

Временные корреляционные функции. Линейные флуктуации в неравновесных системах могут изучаться как с помощью уравнения Фоккера-Планка для функции (функционала) распределения, так и с помощью эквивалентной ему системы уравнений Ланжевена для гидродинамических переменных. Наш анализ будет основан на методе Ланжевена ). [c.242]

Во многих задачах удобнее пользоваться переменными, которые выражаются через е, j и из локальных уравнений состояния. К ним относятся, например, локальная скорость движения жидкости v(r, ), температура Т(г, ), давление P r t) и т.д. Уравнения Ланжевена для линейных флуктуаций таких переменных легко выводятся из уравнений (9.3.21) с помощью обычной замены переменных. [c.246]

В главе 9 мы отмечали, что статистическая теория крупномасштабных (гидродинамических) флуктуаций служит основой для описания процессов переноса в окрестности критической точки. За последние тридцать лет в теории фазовых переходов и критических явлений был достигнут существенный прогресс, но до сих пор даже наиболее микроскопические методы в критической динамике [30, 82] являются, по существу, феноменологическими. Эти методы, основанные на стохастических уравнениях переноса типа уравнений Ланжевена, которые обсуждались в разделе 9.2.3, позволяют вычислить так называемые динамические критические индексы для наиболее сильно расходящихся коэффициентов переноса. Однако более тонкие эффекты, связанные со слабыми аномалиями , не удается последовательно описать в рамках чисто феноменологического подхода ). По-видимому, здесь требуются новые принципы построения функционала энтропии для нелинейных флуктуаций, основанные на методе статистических ансамблей. [c.281]

В этих же работах, а также в [304, 435] рассмотрено влияние внешнего шума на поведение системы и показано, что в случае е = О средняя длительность ламинарной фазы т пропорциональна где шума. Чтобы получить этот результат, авторы работ [304, 503] переходят от уравнения Ланжевена к соответствующему уравнению Фоккера — Планка. Однако решение этого уравнения получено в [304, 503] при граничных условиях, не соответствующих рис. 8.18. Соответствующие граничные условия получены в работе [229], результаты которой будут изложены ниже. [c.248]

Уравнение Ланжевена (1.94) имеет набор случайных решений, распределение по которым задается соответствующим уравнением Фоккера— Планка [c.57]

Ланжевена уравнение 371 Ларморовская скорость прецессии 52 Ледук — Рихи эффект 57, 214 Лежандра преобразование 201, 223 Лиданна — Закса — Т еллера уравнение 69 [c.551]

Ландау затухание 308 Ланжевена уравнение 83 Ле Шателье принцип 208 Ледюка—Риги эффект 256 Ленгмора частота 308 Лиувилля теорема 288 [c.446]

Рассмотрим теперь брауновское движение гармонического осциллятора. При этом в уравнении Ланжевена появляется дополнительный член Р (х) =—с1и1ёх = —ах, линейный по смещению [c.50]

Уравнение (2.5) имеет смысл уравнения Ланжевена для одномолекулярного газа, Его фазовый ансамбль на плоскости переменных Ху = и, = й соответствует множеству реализаций случайного процесса и ( ). Энтропия состояния в момент вре-мени определяется выражением типа (2,4). При k = 1 имеем [c.41]

Динамическую теорию крупномасштабных флуктуаций можно сформулировать на языке уравнений движения для гидродинамических нолей, рассматриваемых как случайные неременные. Этот подход является далеко идущим обобщением известного метода Ланжевена в теории броуновского движения [112]. Он был впервые использован Ландау и Лифшицем [23] для описания линейных гидродинамических флуктуаций вблизи равновесия, а затем применялся многими авторами к различным конкретным задачам. [c.237]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

Интересно отметить, что само но себе уравнение Фоккера-Нланка (9.1.66) не соответствует ни интерпретации Ито, ни интерпретации Стратоновича в методе Ланжевена. [c.241]

Флуктуационно-диссипационная теорема (9.3.18) была получена в работе [159] методом Ланжевена вывод, основанный на уравнении Фоккера-Планка, приведен в [76]. [c.244]

Линеаризованные уравнения Ланжевена для простой жидкости, в качестве примера рассмотрим линейные гидродинамические флуктуации в неравновесной однокомнонентной жидкости. Будем исходить из стохастических уравнений (9.2.24) для локальных неременных а (г, ) = е(г, ), j (r), (г, ) . Поскольку нас интересуют лишь линейные флуктуации около детерминированного движения, в выражениях (9.2.31) и (9.2.33) затравочные коэффициенты переноса можно заменить на наблюдаемые (локально-равновесные) коэффициенты. [c.245]

Здесь детерминистические составляющие сводятся к равенствам (1.83), а флуктуационные следуют из известного свойства аддитивности диспе рсий гауссовских случайных величин [44]. Таким образом, синергетический принцип соподчинения преобразует аддитивные шумы вертикальной составляющей скорости v и наклона S в мультипликативные, В результате выражения (1,80), (1.92), (1-93) приводят к уравнению Ланжевена [c.56]

Теория сварочных процессов (1988) -- [ c.33 ]

Равновесная и неравновесная статистическая механика Т.2 (1978) -- [ c.10 ]

Механика электромагнитных сплошных сред (1991) -- [ c.371 ]

Термодинамика и статистическая физика Т.3 Изд.2 (2003) -- [ c.83 ]

Статистическая механика (0) -- [ c.404 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...